曹亞東

(江蘇省海門中學 226100)

一、公式教學——在實際情境中發(fā)展直觀想象

在高中數(shù)學教學中，直觀想象是學生通過空間形式解決問題的重要數(shù)學素養(yǎng)，簡單來說就是通過幾何直觀與空間想象來對事物的形態(tài)和變化進行感知，是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題以及解決問題的重要手段，將其應用于公式教學中，有利于培養(yǎng)學生的論證思維和推理思維.例如，在人教版高中數(shù)學教材《三角函數(shù)》中，教師可以利用學生比較熟悉的摩天輪來展開相關教學活動，展示相關圖形，讓學生發(fā)散思維，分組討論和思考摩天輪的點與地面距離應當如何進行表示.學生利用圖形的特點建立起直角坐標系，同時對摩天輪上的點到地面的距離利用三角函數(shù)的定義來列舉公式，即h=9+8sinα.這種從實際出發(fā)來創(chuàng)設情境的教學，不僅能夠有效地激發(fā)出學生的學習熱情，同時也能夠幫助學生用數(shù)學公式來表達問題，從而使學生能夠更為深入地了解到三角函數(shù)的知識點，并且使其懂得利用知識點來刻畫相關周期現(xiàn)象.

教師可以進一步地提出問題進行引導，比如：“在這個公式中，如果角α等于150°，那么應當如何計算點P到地面的距離？”學生通過對圖形進行觀察，能夠發(fā)現(xiàn)角150°與角30°的終邊關于y軸對稱，也就是說150°與角30°的終邊與單位圓的交點縱坐標相等，因此兩個角的正弦是相等的.有了這個基礎，學生便能夠很輕松地算出點P到地面的距離.教師在對學生進行引導時，應當側重于圖形的觀察，讓學生能夠察覺到單位圓交點與互補角的終邊是位于同一水平線，地面與兩點之間的距離相等，最終得出結論，即其正弦值相等，這種教學方法能夠牢牢抓住誘導公式這一教學本質，通過教學模型來得出結論能夠使得學生更為直觀地了解公式，進而促使學生更為靈活地應用三角函數(shù)的誘導公式.

二、公式教學——在公式應用中發(fā)展運算能力

數(shù)學運算能力是通過運算法則來解決數(shù)學問題的能力，其前提條件便是能夠對運算對象有著明晰的認識，這也是高中數(shù)學里，學生必須要掌握的數(shù)學素養(yǎng)，其主要內容包括對運算對象的深入理解、運算法則的掌握程度、運算思路的清晰明確、運算方法的合理選擇、運算程序的科學設計以及運算結果的正確求得等，是解決數(shù)學問題的基礎所在.以人教版高中數(shù)學教材《三角函數(shù)》為例，“當旋轉角α分別等于-240°和495°時，摩天輪上的點P到地面的距離為多少？”在對該問題進行計算時，教師應當引導學生將誘導公式運用其中，使得負角誘使為正角，大角誘使為小角，同時將未知角轉化為已知角，通過誘導公式來解決問題.總結概括起來便是“負化正，大化小，化到銳角為終了”.在這一過程中，學生經歷了運算對象的分析、運算方向的推斷、運算規(guī)則的選擇、運算結果的計算與判斷等.這種公式教學能夠有效地提升學生的數(shù)學運算能力，使其能夠經歷“具體——抽象——具體”這一過程，使其能夠有效地構建其新的知識體系.

在高中數(shù)學教學中，所有的教學過程都可以概括為從具體到抽象再到具體，在“具體——抽象”中，是學生汲取新知識與構建知識體系的過程，而在“抽象——具體”中，是學生通過已學知識和已知方法來解決相關問題的過程.而這個過程在進行時，會使學生經歷一系列的數(shù)學運算法則，使其能夠具體地運用公式來解決相對應的問題.通過誘導公式來總結步驟與方法，有利于加深對數(shù)學本質的領悟，對學生數(shù)學運算能力的發(fā)展有著積極作用.

三、公式教學——在公式探究中發(fā)展數(shù)學抽象

通過對數(shù)量關系與空間形式的抽象來獲取數(shù)學研究對象，這種數(shù)學素養(yǎng)便是數(shù)學抽象，該素養(yǎng)是高中數(shù)學的核心素養(yǎng)之一，是學生形成理性事物的基礎所在，同時也能夠反映出數(shù)學的本質特征，而公式教學則是能夠很好地培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象.依舊以人教版高中數(shù)學教材《三角函數(shù)》為例，在學生得出相關公式后，教師可以繼續(xù)提出相關問題：“終邊關于y軸對稱的角的正弦是否都相等？為什么？除了正弦相等，余弦與正切之間又存在什么關系？”教師同樣分組讓學生進行小組內的探究討論，學生在對圖形特點進行仔細觀察后，通過小組之間的合作交流與數(shù)形結合的方法，推導出誘導公式2，之后讓小組派出代表來對誘導公式所經歷的思維過程進行概括，教師做出總結，最終得出誘導公式的思維過程，即角的關系到對稱關系再到坐標關系，最后到函數(shù)關系.這種方法能夠幫助學生了解如何去學數(shù)學，同時有助于培養(yǎng)學生及時反思與總結的良好習慣.

繼而教師可以利用對稱關系入手，來引導學生學會縱向思考：“兩角終邊處理縱軸對稱之外，是否還存在其它對稱關系？其類似的公式又是什么？”學生通過對原點對稱和橫軸對稱的角的三角函數(shù)關系探究，能夠得出誘導公式3和誘導公式4.這樣的教學方法能夠將教學重點突顯出來，有利于促進學生的自主探究的能力，通過圖形的觀察到公式的猜想再到推理的證明，能夠使學生的感性認知轉變?yōu)槔硇哉J知，有助于學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的提升.

四、公式教學——在公式變形中升華知識體系

通過上述過程后，學生能夠對數(shù)學公式有著一定的認識，但難以將其靈活運用，無法做到舉一反三，而公式的應用于呈現(xiàn)方式是靈活多變的，這就需要教師通過公式變形來強化學生的知識體系.例如，在人教版高中數(shù)學教材《三角函數(shù)》中，教師可以引導學生用數(shù)學對象來替代公式中的元素和符合，在傳授三角函數(shù)的二倍角公式“sin2α=2sinαcosα”時，教師需得讓學生真正了解到二倍角公式的形式不單單只是“2α是α的二倍”，同時還可以在其它形式中應用二倍角公式，包括“α/2是α/4的二倍”；“α/3是α/6的二倍”；“4α是2α的二倍”；“3α是3α/2的二倍”等.

因此，在進行公式教學時，教師需要讓學生理解公式的相關含義，在二倍角公式中，其含義便是“當α/β=2時，α便是β的二倍角，只有問題中的關系符合二倍角，則都可以將二倍角公式應用其中”.除此之外，三角函數(shù)的二倍角公式“cos2α=cos2α-sin2α”能夠轉變?yōu)椤癱os2α=1-2sin2α”或者“cos2α=2sin2α-1”.將這些公式靈活應用到實際解題當中，能夠幫助學生更快地解題，有益于學生實現(xiàn)事半功倍的學習效率.教師通過公式的變形、公式的逆用或者遷移訓練，能夠使學生內化對數(shù)學公式的理解程度，通過這種舉一反三的教學形式，有利于學生公式的靈活應用，使其知識結構與體系德育升華.

簡而言之，在高中數(shù)學中，公式教學的應用是否有效，對學生的數(shù)學素養(yǎng)、思維與能力有著非常大的影響，學生只有真正掌握了數(shù)學公式，才能夠對所學知識的本質有一個清晰的認知.因此，在高中數(shù)學課堂中，教師應當以數(shù)學公式教學為載體來提高學生的解題質量與效率，有助于學生數(shù)學素養(yǎng)的全面發(fā)展.