韋華全，謝芬芳，周宇珍，李姣，古徽龍

(1.廣西大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 廣西 南寧 530004；2.南寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)科學(xué)學(xué)院， 廣西 南寧 530299)

0 引言

近十幾年來, 國內(nèi)外的許多群論學(xué)者和專家在對有限群結(jié)構(gòu)的研究上已經(jīng)取得了豐碩的成果，并且提供了這一領(lǐng)域許多新的研究方法。而近幾年, 利用群的某些特殊的子群, 如正規(guī)子群，極大子群，Sylow子群等的特性來研究群的可解性，已經(jīng)成為群論研究的重要課題，有關(guān)這方面的新的研究課題不斷地被提出來，形成了有特色的研究熱點(diǎn)。

有限群的可解性和非可解性是有限群論研究的兩個(gè)重要方向。自20世紀(jì)80年代，有限單群分類完成后，可解群的研究也有了很大的進(jìn)展。通過子群的特性來確定有限群的可解性是研究有限群結(jié)構(gòu)的重要方法之一。1996年，王燕鳴[1]引入了群的c-正規(guī)子群的概念，給出了群可解，超可解的若干判定準(zhǔn)則。之后，作為c-正規(guī)和可補(bǔ)概念的推廣，王燕鳴[2]，Ballester-Bolinches等[3]在2000年引入了c-可補(bǔ)子群的概念。1962年，GASCHUTZ[4]引入了可解子群的某個(gè)共軛類，并稱這些子群為Pre-Frattini(后稱為CAP-子群)，也即這些子群具有所謂的覆蓋—遠(yuǎn)離性。2003年，郭秀云等[5]利用某些極大子群的覆蓋—遠(yuǎn)離性，得到了有限群可解、p-可解和p-冪零的一些充分或必要條件。2006年，韋華全等[6]引入了c*-正規(guī)，c#-正規(guī)和c#-可補(bǔ)子群(亦稱CAS-子群)的概念，分別統(tǒng)一推廣了c-正規(guī)和s-置換嵌入子群，c-正規(guī)和CAP-子群，c-可補(bǔ)和CAP-子群的概念，并統(tǒng)一推廣了若干熟知的重要結(jié)果[7-9]。

筆者結(jié)合CAP-子群和c#-正規(guī)子群的概念，引入擬c#-正規(guī)子群的概念。首先，利用有限群Sylowp-子群的擬c#-正規(guī)性，得到有限群為p-可解的一個(gè)充要條件。之后，利用極大子群，2-極大子群和3-極大子群的Sylow子群的擬c#-正規(guī)性，得到了有限群成為可解的三個(gè)判別條件(充分或必要條件)。

文中G總表示有限群，M<·G表示M是G的極大子群，N·?G表示N為G的極小正規(guī)子群，其他符號和術(shù)語請參考文獻(xiàn)[10]。

1 預(yù)備知識

定義1設(shè)G是群，H是G的子群。稱H在G中擬c#-正規(guī)，如果存在G的次正規(guī)子群K和含于H的CAP-子群Hc，使得G=HK且H∩K≤Hc。

定義2設(shè)G是群，H≤G，M/N為G的主因子[11],則：

① 若MH=NH,稱H覆蓋M/N;

② 若H∩M=H∩N,稱H遠(yuǎn)離M/N;

③ 若H或覆蓋或遠(yuǎn)離G的每個(gè)主因子，也稱為G的CAP-子群或者覆蓋—遠(yuǎn)離子群,稱H具有覆蓋—遠(yuǎn)離性質(zhì)。

定義3子群L稱為群G的一個(gè)2-極大子群，若存在G的極大子群M，使得L為M的極大子群[6]。

引理4設(shè)G是群，H≤G，N?G,則:

① 若H是G的覆蓋—遠(yuǎn)離子群，則HN/N是G/N的覆蓋—遠(yuǎn)離子群；

② 若N≤H，則H是G的覆蓋—遠(yuǎn)離子群當(dāng)且僅當(dāng)H/N是G/N的覆蓋—遠(yuǎn)離子群。

引理5設(shè)G是群，H≤G，N?G。如果N是H的子群，那么H在G中擬c#-正規(guī)的充要條件是H/N在G/N中擬c#-正規(guī)。

證明先證必要性。假設(shè)H在G中擬c#-正規(guī)，根據(jù)擬c#-正規(guī)的定義，存在G的次正規(guī)子群K及含于H中的CAP-子群Hc,使得G=HK且H∩K≤Hc。于是G/N=(H/N)(KN/N)且(H/N)∩(KN/N)=(H∩K)N/N≤HcN/N≤H/N。根據(jù)引理4，HcN/N是G/N的CAP-子群，因而H/N在G/N中擬c#-正規(guī)。

再證充分性。若H/N在G/N中擬c#-正規(guī)，由定義，存在K/N??G/N及含在H/N中的G/N的CAP-子群(H/N)c，滿足G/N=(H/N)(K/N)，而且(H/N)∩(K/N)≤(H/N)c。注意到(H/N)c≤H/N，故可令(H/N)c=H1/N，其中H1≤H。由引理4，H1是G的CAP-子群。而G=HK且K??G，(H/N)∩(K/N)=(H∩K)/N≤(H/N)c=H1/N≤H/N， 故H∩K≤H1≤H，因此H在G中擬c#-正規(guī)。證畢。

引理6設(shè)G是群，N?G，H是G的p-子群，K≤G使得G=HK。若H∩N∈Sylp(N)，則HN∩KN=(H∩K)N[6]。

引理7群G可解當(dāng)且僅當(dāng)存在的G可解2-極大子群L使得L是G的CAP-子群[5]。

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)P∈Sylp(G)，其中p∈π(G)， 則G為p-可解當(dāng)且僅當(dāng)P在G中擬c#-正規(guī)。

證明若G為p-可解群，H/K是G的主因子，根據(jù)p-可解群的定義，H/K為p-群或者p′-群。

若H/K是p-群，則H/K≤PK/K，故(PK/K)(H/K)=PH/K≤PK/K，即PH≤PK，而由K≤H,從而PK≤PH，這樣PH=PK，即P覆蓋H/K。

若H/K為p′-群，則H與K的p部分相同，故有P∩H=P∩K，P遠(yuǎn)離H/K。

因此P是G的CAP-子群，當(dāng)然P是G的c#-正規(guī)子群，從而也是G的擬c#-正規(guī)子群。

現(xiàn)在假設(shè)P在G中擬c#-正規(guī)，由引理5，P/PG在G/PG中擬c#-正規(guī)。若PG≠1，則由歸納，G/PG是p-可解群, 從而得G為p-可解群。設(shè)PG=1，因P在G中擬c#-正規(guī)，故存在T??G及含在P中的G的CAP-子群Pc，使得G=PT且P∩T≤Pc。取N·?G，考慮N與Op(G)的關(guān)系，若N≤Op(G)，設(shè)Q是G的Sylowq-子群，其中q≠p，假設(shè)T?T1?T2?…?TS?TS+1=G是G的一個(gè)次正規(guī)群列的一部分，顯然，Q∩Ts∈Sylq(Ts)，且(Q∩Ts)∩Ts-1=Q∩Ts-1∈Sylq(TS-1)，依次類推，可得Q∩T∈Sylq(T)。然而G=PT,故Q∩T∈Sylq(G)。通過比較階有Q∩T=Q，從而Q≤T。如此一來，由Q及q的任意性可得Οp(G)≤T。因P無核，Pc不能覆蓋N/1，從而Pc∩N=1。但是，P∩T≤Pc， 故P∩T∩N=1，亦即P∩T=1，這樣N為p′-群，因Pc是G的CAP-子群，故PcN/N是G/N的CAP-子群?，F(xiàn)在，G/N=(PN/N)(T/N)且(PN/N)∩(T/N)=(P∩T)N/N≤PcN/N≤PN/N, 從而PN/N在G/N中擬c#-正規(guī)。由歸納，G/N為p-可解，進(jìn)而G為p-可解。若N?Op(G)，則由N?NOp(G)/OP(G)≤G/OP(G)為p-群且N·?G，必有N≤Op(G)≤P，這與PG=1矛盾。證畢。

定理2群G可解的充要條件是存在M<·G使得M的每個(gè)Sylow子群在G中擬c#-正規(guī)。

證明先證必要性。若G為可解群，則對任意的M<·G,M在G中具有覆蓋—遠(yuǎn)離性。由文獻(xiàn)[8]可知M的每個(gè)Sylow子群都在G中具有覆蓋—遠(yuǎn)離性， 即M的每個(gè)Sylow子群都是G的CAP-子群，從而是G的擬c#-正規(guī)子群。

下證充分性。先設(shè)M在G中的核MG≠1，取N·?G且N≤MG，假設(shè)PN/N∈Sylp(M/N)，其中P∈Sylp(M)。由題設(shè)，存在K??G及G的含于P中的CAP-子群Pc使得G=PK且P∩K≤Pc。由引理6，有PN∩KN=(P∩K)N，因?yàn)镚/N=(PN/N)(KN/N)，且(PN/N)∩(KN/N)=(P∩K)N/N≤PcN/N≤PN/N，由引理4，PcN/N是G/N的CAP-子群，故PN/N在G/N中擬c#-正規(guī)，即商群G/N滿足定理的假設(shè)條件，根據(jù)歸納法可得G/N可解。因Pc是G的CAP-子群，若Pc覆蓋N/1，則PcN=Pc，即N≤Pc≤P，故N可解，導(dǎo)致G可解。若Pc遠(yuǎn)離N/1，則Pc∩N=1，而P∩K≤Pc，故P∩K∩N=1?？紤]N與Op(G)的關(guān)系，若N∩Op(G)=1，則N?NOp(G)/Op(G)≤G/Op(G)，故N為p-群，即N可解，仍可得G可解。設(shè)N≤Op(G)，類似定理1的證明，可知Op(G)≤K，故P∩N=P∩K∩N=1。由p及P的任意性，必有M∩N=1。事實(shí)上，若M∩N≠1， 則有p∈π(M∩N)及S∈Sylp(M∩N)使得S≠1。顯然，存在P∈π(M)使得S≤P，于是S≤P∩N=1，即得S=1，矛盾?，F(xiàn)在，由N≤MG及M∩N=1得到N=1，矛盾。

設(shè)MG=1。對于任意p∈π(M)，設(shè)Sylp(M)={P1,…,Pn}，由擬c#-正規(guī)的定義對每個(gè)Pi，存在Ki??G及G的含于Pi的CAP-子群(Pi)c，滿足G=PiKi且Pi∩Ki≤(Pi)c，由于G/Op(G)為p-群，當(dāng)然可解，故可設(shè)Op(G)≠1?，F(xiàn)設(shè)N1·?G，且N1≤Op(G)≤Ki，因M無核，故(Pi)c不可能覆蓋N1/1,(Pi)c必遠(yuǎn)離N1/1，即(Pi)c∩N1=1，從而Pi∩Ki∩N1=Pi∩N1=1。由Pi及p的任意性，M∩N1=1，進(jìn)而M?G/N1。由G/N1=(PiN1/N1)(Ki/N1)，且(PiN1/N1)∩(Ki/N1)=(Pi∩Ki)/N1/N1≤(Pi)cN1/N1≤PiN1/N1。故PiN1/N1在G/N1中擬c#-正規(guī)。這實(shí)際上證明了G/N1的每個(gè)Sylow子群都在G/N1中擬c#-正規(guī)。應(yīng)用定理1得G/N1為p-可解，再由p的任意性知G/N1可解群。這樣M(?G/N1)是G的可解c-正規(guī)極大子群。最后由文獻(xiàn)[1，定理3.4]，可得G可解。證畢。

定理3群G可解得充要條件是存在G的2-極大子群L，滿足L的每個(gè)Sylow子群在G中的擬c#-正規(guī)。

證明必要性。若G可解， 由引理7，存在G的可解2-極大子群L，使得L是G的CAP-子群。由文獻(xiàn)[8]，L的每個(gè)Sylow子群都在G中具有覆蓋—遠(yuǎn)離性, 從而在G中擬c#-正規(guī)。

充分性。假設(shè)G是極小階反例，若LG≠1，取N·?G且滿足N≤LG。設(shè)PN/N∈Sylp(L/N)，其中P∈Sylp(L)。由題設(shè)，P在G中擬c#-正規(guī)， 故存在K??G及G的含在P中的CAP-子群Pc， 滿足G=PK且P∩K≤Pc。類似定理2的證明，可知PN/N在G/N中擬c#-正規(guī)，故G/N滿足定理的條件。由G的極小性得G/N可解，又因Pc是G的CAP-子群, 若Pc覆蓋N/1，則PcN=Pc，即N≤Pc≤P，故N可解，從而G可解，矛盾。若Pc遠(yuǎn)離N/1，則Pc∩N=1，故P∩K∩N=1。此時(shí)若N?Op(G)，則N?NOp(G)/Op(G)≤G/Op(G)，N為p-群，故N可解，仍得到G可解，矛盾。如果N≤Op(G)≤K，則P∩K∩N=P∩N=1，由p及P的任意性，有L∩N=1，因而N=1，矛盾。

所以LG=1。設(shè)Sylp(L)={P1,…,Pn}，其中p∈π(L)。由定理假設(shè)，對于每個(gè)i，存在Ki??G及G的含在Pi中的CAP-子群(Pi)c使得G=PiKi且Pi∩Ki≤(Pi)c。不妨設(shè)Op(G)≠1并設(shè)N1·?G使得N1≤Op(G)≤Ki,i=1,…,n,考慮商群G/N1。類似定理2的證明, 可證PiN1/N1在G/N1中擬c#-正規(guī)，因LG=1，故(Pi)c不能覆蓋N1/1，必有(Pi)c遠(yuǎn)離N1/1，即(Pi)c∩N1=1，當(dāng)然有Pi∩Ki∩N1=Pi∩N1=1，從而L∩N1=1。假設(shè)L<·M<·G，則由模律，L(M∩N1)=LN1∩M，而L≤LN1∩M≤M。由L在M中的極大性，有L(M∩N1)=L或者L(M∩N1)=M。

若L(M∩N1)=L，則M∩N1=1，故G=MN1。假設(shè)LN1≤M1<·G，則L≤M∩M1≤M，由L在M中的極大性，M∩M1=M或者M(jìn)∩M1=L。若M∩M1=M，則M≤M1，從而M=M1，故G=M1N1=M1，矛盾。故M∩M1=L，因而LN1=(M∩M1)N1=M1是G的極大子群。上面已證LN1/N1的每個(gè)Sylow子群在G/N1中擬c#-正規(guī)， 故由定理2，可知G/N1可解， 從而M?G/N1可解。進(jìn)一步，M是G的可解c-正規(guī)極大子群，由文獻(xiàn)[1,定理3。4]得G可解，矛盾。

若L(M∩N1)=LN1∩M=M，則M≤LN1。由M的極大性，LN1=M或LN1=G，若LN1=M，則M/N1=LN1/N1的每個(gè)Sylow子群在G/N1中擬c#-正規(guī)。由定理2，G/N1可解。從而L?M/N1≤G/N1可解，因此L是M的可解c-正規(guī)極大子群。由文獻(xiàn)[1，定理3.4],M可解。故N1可解,得G可解,矛盾。若LN1=G,則G/N1的每個(gè)Sylow子群在G/N1中擬c#-正規(guī)，由定理1,G/N1可解。從而L?G/N1可解, 再由文獻(xiàn)[1，定理3.4]可得M可解。因L<·M且(M∩N1)?M， 故(M∩N1)·?M， 這樣對于某個(gè)素?cái)?shù)q，M∩N1是初等交換q-群。令Q=M∩N1，則M≤NG(Q)≤G，根據(jù)M的極大性，NG(Q)=M或NG(Q)=G。若NG(Q)=M，則Q∈Sylp(N1)。若否，Q

定理4若群G的3-極大子群的Sylow子群在G中擬c#-正規(guī)，則G可解。

證明設(shè)G為極小階反例。假設(shè)N·?G，R是G的3-極大子群，T∈Sylp(R)。由題設(shè)，存在K??G及G的含在T中的CAP-子群Tc，滿足G=TK且T∩K≤Tc?？紤]商群G/N。由G/N=(TN/N)(KN/N)，且(TN/N)∩(KN/N)=(T∩K)N/N≤TcN/N≤TN/N， 故G/N滿足定理的條件。由G的極小性假設(shè)，G/N可解。現(xiàn)假設(shè)N是G的唯一極小正規(guī)子群，且N?Φ(G)。故存在M<·G， 使得G=MN。筆者斷言，M∩N≠1。因?yàn)槿鬗∩N=1， 則M?G/N，可知M是G的可解c-正規(guī)極大子群，由文獻(xiàn)[1,定理3.4]，G可解，矛盾。因此M∩N≠1。如果M∩N=M， 那么G=MN=N。因K??G及N的極小性， 必有K=G。因此，T∩K=T∩G=T，故T是G的CAP-子群。若T覆蓋N/1，則TN=TG=T，矛盾。故必有T遠(yuǎn)離N/1，即T∩K=T∩G=T，故只有T=1。這表明，群G的每個(gè)3-極大子群都是1，從而都在G中c#-正規(guī)，由文獻(xiàn)[6，定理1.4.7]可知G可解，矛盾，故M∩N

另一方面，因K1≠1，若N∩Op(G)=1，則N?Op(G)N/Op(G)≤G/Op(G)可解，故G可解，矛盾。若N≤Op(G)≤K1，則S∩K1∩N=S∩N=1。而S≤M∩N≤N， 故S=1，即得L=1。因此M∩N為素?cái)?shù)階循環(huán)群， 不妨仍設(shè)|M∩N|=p。令M∩N=P，由M的極大性，NG(P)=G或NG(P)=M。如果NG(P)=G，那么P?G，由N的極小性，N=P≤M，導(dǎo)致G=MN=M，矛盾。如果NG(P)=M，那么P∈Sylp(N)，且有NN(P)=P=CN(P)，由Burnside定理，N為p-冪零群,故N=P≤M， 矛盾。因此M∩N必定不是M的極大子群， 表明存在M的2-極大子群L1包含于M∩N。設(shè)Q∈Sylp(L1)，由題設(shè)，存在K2??G及G的含在Q中的CAP-子群Qc，使得G=QK2且Q∩K≤Qc。由N?M，Qc只能遠(yuǎn)離N/1，即Qc∩N=Q∩K2∩N=1。

另一方面，若N∩Oq(G)=1，則N?Oq(G)/N≤G/Oq(G)可解，故G可解，矛盾。若N≤Oq(G)≤K2， 則Q∩K2∩N=Q∩N=1， 從而L1∩N=1。于是M∩N=1，這與上述假設(shè)矛盾。定理得證。