黃星壽， 王五生， 羅日才

（河池學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣西 宜州546300）

Gronwall - Bellman［1-2］型積分不等式及其推廣形式是研究微分方程、積分方程和微分-積分方程解的存在性、有界性和唯一性等定性性質(zhì)的重要工具，不斷地研究它的各種推廣形式，使其應(yīng)用范圍不斷擴大.但大部分研究者研究積分號內(nèi)不含未知函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的積分不等式［3-8］.由于積分號內(nèi)包含未知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的積分不等式在研究微分-積分方程中具有重要作用，Pachpatte［8］研究了下面的積分號內(nèi)含有未知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的線性積分不等式同時，隨著積分不等式理論及差分方程理論的發(fā)展，不少學(xué)者更關(guān)注Gronwall-Bellman型不等式的離散形式及其推廣形式，見參考文獻［9 - 14］.Pachpatte［13］研究了以下和號內(nèi)含有未知函數(shù)差分的線性和差分不等式

Akin-Bohner等［14］在此基礎(chǔ)上進一步研究T0時標(biāo)（T0為實數(shù)集R上的任意非空閉子集）上的線性積分不等式

Zareen［15］更進一步研究了積分號內(nèi)含有未知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的非線性積分不等式

本文受文獻［13 -15］的啟發(fā)，研究了和號外具有非常數(shù)因子，且和號內(nèi)含有未知函數(shù)及其差分的非線性三重和差分不等式

不等式（11）把文獻［13］中的不等式（6）推廣成非線性和差分不等式，把文獻［15］中的不等式（10）推廣成和號外具有非常數(shù)因子的和差分不等式.本文綜合利用分析技巧給出了不等式（11）中未知函數(shù)的估計.最后，通過例子說明其結(jié)果可以用來研究相應(yīng)類型的和差分方程解的性質(zhì).

1 主要結(jié)果與證明

為了使結(jié)果的證明過程簡單明了，先給出以下引理.

引理1［16-17］令y≥0，p≥q≥0 和p≠0，則對任意K ＞0 有關(guān)系式

引理2假設(shè)函數(shù)u（t）、b（t）、c（t）、d（t）都是定義在自然數(shù)集合N 上的非負函數(shù)，函數(shù)a（t）是定義在自然數(shù)集合N上正的增函數(shù)，且滿足不等式

如果

則有未知函數(shù)u（t）的估計式

引理3［13］令u（t）、a（t）和b（t）都是定義在自然數(shù)集合N上的非負函數(shù)，且滿足

則有未知函數(shù)的估計

定理1假設(shè)q（t）、p（t）、f（t）、g（t）、h（t）都是定義在N 上的非負已知函數(shù)，u（0），是正常數(shù)，u（t）和Δu（t）是定義在N上的滿足不等式（11）的未知函數(shù).對于任意t∈N，如果

則對于任意K ＞0，有不等式（11）中未知函數(shù)估計式

其中

證明由不等式（11）定義函數(shù)z（t）為：

由（11）和（26）式可看出z（t）是非減函數(shù)，且有

先求函數(shù)z（t）的差分，利用（26）式得到

把（27）式代入（28）式得到

再定義函數(shù)r（t）為：

從定義式（30）可以看出r（t）是非減函數(shù)，且有

把（30）和（31）式代入（29）式得

再求函數(shù)r（t）的差分得

再把（31）和（32）式代入（33）式得

為了進一步簡化，再定義函數(shù)m（t）為：

從定義式（35）可以看出m（t）是非減函數(shù)，且有

求函數(shù)m（t）的差分，利用（34）～（36）式得

對于任意K ＞0，利用引理1 可以推出

把（39）式代入（37）式可得

其中，A（t）、B（t）、C（t）由定理中的（22）～（25）式定義.先把不等式（39）中的t改寫成s，然后對不等式兩邊關(guān)于s從t0到t-1 求和，得到

利用（27）、（31）和（36）式，（40）式改寫成

由于（41）式具有引理2 中不等式（13）的形式，且相關(guān)函數(shù)滿足引理2 中的相應(yīng)條件，利用引理2 就可以得到不等式（41）中m的估計

其中，M（t）由定理中的（21）式定義.把（36）和（42）式代入（34）式，可得

由（27）、（31）和（43）式得到

其中R（t）由定理中（20）式定義.把（44）式代入（29）式可得

不等式（45）具有引理3 中不等式（15）的形式，且相關(guān)函數(shù)滿足引理3 中的相應(yīng)條件，利用引理3 就可以得到不等式（45）中z的估計

利用（27）式得到

其中Z（t）由定理中（19）式定義.由（48）式得到定理所要求的u（t）估計式（18）.

2 應(yīng)用

本文結(jié)果可以用來研究相應(yīng)類型的和差分方程解的性質(zhì).現(xiàn)在考慮和差分方程

推論1假設(shè)方程（49）中｜c ｜是正常數(shù)，q（t）、p（t）和定理1 中q（t）、p（t）的定義相同.F∈C（N×R×R，R）滿足下列條件

其中，f（t）、g（t）、h（t）和θ如定理1 中的定義.假設(shè)｜c｜、q（t）、p（t）、f（t）、g（t）、h（t）和θ滿足

如果x（t）是方程（49）的解，則對于任意K ＞0，方程（49）解的模的估計式

其中

A（t）、B（t）、C（t）、D（t）分別由定理1 中的（22）～（25）式定義.

證明利用條件（52）～（54），由方程（49）推出

由于（55）式具有不等式（11）的形式，且滿足定理1中的相應(yīng)條件，利用定理1 就可以得到所求的方程解的模的估計式（51）.