杜三山

(蘭州交通大學 機電工程學院，蘭州 730070)

機械、車輛工程等在實際應用領域中經常會受到各種不確定性因素的影響，如路面不平度對汽車平順性的影響，軌道不平順對列車的影響等.自20世紀80年代以來，確定性非光滑系統(tǒng)動力學，尤其是含間隙碰撞振動系統(tǒng)特性得到了國內外許多學者的深入研究.文獻[1-8]從理論與數值仿真分析了系統(tǒng)穩(wěn)定性和各種不同分岔形式.文獻[9-10]研究了一類三自由度碰撞振動系統(tǒng)的周期運動和分岔.近年來，隨機非光滑系統(tǒng)得到了較深入的研究.文獻[11]研究了寬帶隨機激勵作用在強非線性振子的響應與穩(wěn)定性.王亮等[12]研究了諧響和激勵與隨機噪聲共同作用下對擦邊分岔的影響.Feng等[13]通過最大李雅普諾夫指數分析了高斯白噪聲對非光滑碰撞振動系統(tǒng)的影響.文獻[14]基于確定性系統(tǒng)，考慮碰撞恢復系數受近似認為服從[0,1]均勻分布的隨機擾動.Gu等[15]用隨機平均法研究了在高斯白噪聲激勵下的碰撞振動系統(tǒng).

目前已有的文獻主要側重于隨機激勵求解方法的研究，而運用Poincaré截面來分析隨機干擾對碰撞振動系統(tǒng)影響的研究卻很少.本文建立了一類阻尼受隨機振動干擾的三自由度單側剛性約束碰撞振動系統(tǒng)，將阻尼系數受到的隨機擾動近似為服從高斯白噪聲過程，通過Poincaré映射，分析了這種隨機干擾對系統(tǒng)動力學特性的影響.

1 碰-振系統(tǒng)的力學模型

圖1為三自由度碰撞振動系統(tǒng)的動力學模型[9].線性彈簧的剛度為K1、K2和K3，線性阻尼器的阻尼系數為C1、C2和C3，其分別與質量為M1、M2和M3的質塊相連.簡諧激振力Pisin(ΩT+τ)(i=1,2,3)分別作用在只做水平運動的質塊上.當質塊M1的位移X1等于間隙B時，質塊M1將與剛性約束A碰撞，碰撞后改變速度方向，又以新的初值運動，如此往復.假設模型中的阻尼是Rayleigh型比例阻尼，碰撞過程由碰撞恢復系數R確定.

設M1≠0,K1≠0無量綱量為：

則系統(tǒng)運動微分方程的無量綱形式為

(1)

(2)

X′=f(v,X).

(3)

2 系統(tǒng)周期運動的分岔及混沌的演化過程

2.1 經倍化、鎖相通向混沌的Neimark-sacker分岔

選取系統(tǒng)參數1)：f10=1，f20=f30=0，k2=k3=4，γ=0.01，m2=m3=1.5，b=0.37，r=0.7；取激振頻率ω作為分岔參數，系統(tǒng)的全局分岔圖如圖2所示.Poincaré截面圖如圖3所示.

在數值計算中，當參數ω遞減穿越ωc=2.181 2時，周期2-2運動失穩(wěn)發(fā)生Neimark-sacker分岔，在投影Poincaré截面上形成兩吸引不變圈(見圖3(a))；隨著參數ω減小，兩吸引不變圈發(fā)生環(huán)面倍化(見圖3(b))；參數ω減小，發(fā)生鎖相(見圖3(c))；參數ω進一步減小，再次發(fā)生環(huán)面倍化(見圖3(d))進入混沌(見圖3(e)).

2.2 經鎖相通向混沌的Neimark-sacker分岔

選取系統(tǒng)參數 2)：f10=1，f20=f30=0，k2=2，k3=4，γ=0.03，m2=2，m3=4，b=0.01，r=0.7；取激振頻率ω作為分岔參數， Poincaré截面圖如圖4所示.

在數值計算中，當參數ω遞增穿越ωc=1.924 6時，系統(tǒng)周期1-1運動失穩(wěn)發(fā)生Neimark-sacker分岔，在Poincaré截面上形成一吸引不變圈(見圖4(a))；隨著參數ω增大，吸引不變圈退化發(fā)生環(huán)面分裂，形成多不變圈(見圖4(b))；參數ω進一步增大，多不變圈分裂成倍不變圈 (見圖4(c)) ；隨著參數ω繼續(xù)增大，倍不變圈發(fā)生分離(見圖4(d))，逐漸發(fā)生環(huán)面振蕩(見圖4(e))；參數ω再增大，經環(huán)面振蕩的不變圈破裂發(fā)生鎖相(見圖4(f))最終進入混沌(見圖4(g)～4(j)).

3 隨機干擾對運動特性的影響分析

為了更加清楚的反映受隨機干擾的系統(tǒng)運動特性的變化狀況，并且與原確定性系統(tǒng)的動態(tài)響應作對比，仍取σ為Poincaré截面，分別取兩種不同隨機干擾強度δ，其他系統(tǒng)參數不變.圖5～8分別給出了系統(tǒng)在不同強度的隨機干擾下所產生的Poincaré截面圖.

3.1 相對較弱隨機強度對系統(tǒng)動力學行為的影響

3.1.1 經倍化、鎖相通向混沌的Neimark-sacker分岔

受隨機干擾系統(tǒng)參數仍與確定性系統(tǒng)參數1)保持一致.取隨機干擾強度為0.001，利用數值仿真方法，分析隨機干擾對系統(tǒng)運動的影響.取圖5與圖3進行對比，從Poincaré截面圖中可得出，在較弱的隨機強度下，當參數ω=2.17時，由兩吸引不變圈擴散形成帶狀環(huán)面(見圖5(a))；隨著參數ω的減小，隨機干擾已使得倍化不變圈失去原有的運動行為，從不變圈變成帶狀環(huán)面(見圖5(b))；當參數ω減小到2.155時，在隨機干擾下鎖相完全消失，進化成不規(guī)則的環(huán)面 (見圖5(c))；隨著參數ω進一步減小到2.152時，原本分離的兩不變環(huán)面在隨機干擾下發(fā)生碰撞成為一體(見圖5(d))；進入混沌(見圖5(e)).從圖5可得出，倍化的不變圈以及鎖相抵抗隨機干擾的能力更差，在較弱的隨機干擾強度下已完全改變了系統(tǒng)的運動特性.隨機干擾的作用使得系統(tǒng)通向混沌的道路發(fā)生了改變，不再經環(huán)面倍化、鎖相等道路通向混沌.

3.1.2 經鎖相通向混沌的Neimark-sacker分岔

受隨機干擾系統(tǒng)參數仍與確定性系統(tǒng)參數2)保持一致.取隨機干擾強度為0.001，利用數值仿真方法，分析隨機干擾對系統(tǒng)運動的影響.取圖4與圖6進行對比，從Poincaré截面圖中可得出，在較弱的隨機強度下，當參數ω=1.94時，由一吸引不變圈擴散形成微弱的帶狀不變圈，并沒有使運動性質發(fā)生改變(見圖6(a))；當參數ω增大到1.945時，這種較弱的隨機干擾使得系統(tǒng)的運動行為發(fā)生了徹底的改變，多不變圈變成不規(guī)則環(huán)面(見圖6(b))；參數ω的繼續(xù)增大，倍化的不規(guī)則不變圈變成擴散的環(huán)面(見圖6(c))；參數ω進一步增大到ω=1.947時，分離的不變圈對隨機干擾有很強的抗性，只是運動軌線發(fā)生了微弱的分離，并沒有改變運動行為(見圖6(d))；參數ω的繼續(xù)增大，環(huán)面振蕩和鎖相消失(見圖6(e))變成混沌運動(見圖6(f)～6(h)).從上述Poincaré圖可得出，參數ω=1.94、ω=1.947對隨機干擾強度0.001有著很強的抗力，只是運動軌線發(fā)生了微弱的擾動，并沒有使其運動行為本質發(fā)生改變.然而，對于環(huán)面振蕩和鎖相卻有著明顯的低抗干擾能力，隨機干擾使得其運動軌線發(fā)生明顯改變，成為混沌吸引子.

3.2 相對較強隨機強度對系統(tǒng)行為的影響

3.2.1 經倍化、鎖相通向混沌的Neimark-sacker分岔

相應的系統(tǒng)參數1)仍不變，將隨機干擾強度δ增加到0.005，進一步分析隨機干擾對系統(tǒng)運動的影響.取圖7與圖5進行對比，在參數ω=2.17時，由于隨機干擾強度增強，帶狀環(huán)面不僅發(fā)生了嚴重擴散，而且完全失去了原來的運動本征結構，并且兩擴散環(huán)面有逐漸靠近的趨勢(見圖7(a))；隨著參數ω減小到2.16，兩環(huán)面發(fā)生碰撞(見圖7(b))，取圖7(b)與圖5(d)相比，可以得出，隨機干擾強度的增強會使得Neimark-sacker分岔中的擴散環(huán)面提前發(fā)生，對系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性造成了很大的影響；隨著參數ω的減小，系統(tǒng)運動狀態(tài)不再呈現出原確定性系統(tǒng)特有的運動特征，徹底改變了系統(tǒng)動力學行為，直接通向混沌(見圖7(c)～7(e)).在較強隨機干擾下，使得經倍化通向混沌的Neimark-sacker分岔提前進入混沌狀態(tài).

3.2.2 經鎖相通向混沌的Neimark-sacker分岔

相應的系統(tǒng)參數2)仍不變，將隨機干擾強度δ增加到0.005，進一步分析隨機干擾對系統(tǒng)運動的影響.取圖6與圖8進行對比，在參數ω=1.94時，由于隨機強度的增強，帶狀環(huán)面在弱干擾強度的基礎上進一步發(fā)生了擴散(見圖8(a))，但其運動行為維持原有的運動特征沒有本質的改變；隨著參數ω的繼續(xù)增大，在較強的隨機干擾下多不變圈的運動行為變成近似于圖4(c)(見圖8(b))運動行為，分岔參數在比較接近的情形下，系統(tǒng)運動軌線受隨機擾動容易躍遷；當參數ω增大到1.946時，隨機擾動使得倍不變圈變的更加復雜，沒有規(guī)律(見圖8(c))；參數ω進一步增大到1.947時，仍然還保持著原有的運動結構，只是在擾動下進一步發(fā)生了擴散(見圖8(d))；隨著參數ω持續(xù)增大，系統(tǒng)的動力學行為環(huán)面振蕩、鎖相等特有的運動行為完全消失，運動狀態(tài)差異變性非常小，系統(tǒng)通向混沌的道路變的模糊，不再有清晰的分界(見圖8(e)～8(h)).從圖8可得出，在Neimark-sacker全局分岔過程中，如ω=1.94、ω=1.947對隨機干擾具有很好的抗性，對確保系統(tǒng)具有穩(wěn)定運動有很大作用.

4 結論

本文建立了一類含單側剛性約束的三自由度碰撞振動系統(tǒng)，考慮阻尼系數受隨機干擾，并且將這種隨機干擾看作近似服從高斯白噪聲過程.從數值仿真角度，借助Poincaré截面圖研究了隨機干擾在不同強度下對三自由度碰撞振動系統(tǒng)的動力學特性的影響.數值結果表明：

1) 從文中出現的分岔形式得出，Neimark-sacker分岔在某些特定的參數下具有更加穩(wěn)定的抗隨機干擾性，如ω=1.94、ω=1.947；

2) 在較弱的隨機干擾下，阻尼系數受隨機干擾不僅使系統(tǒng)的作用區(qū)域變得擴散，而且也使得系統(tǒng)的運動特征消失如環(huán)面振動、鎖相、環(huán)面倍化分岔等，展示了碰撞振動系統(tǒng)在隨機干擾下存在復雜而有趣的動力學特性；

3) 在較強的隨機干擾下，使得Neimark-sacker分岔的動力學行為發(fā)生了躍遷，概周期運動提前進入混沌運動.