鄧睿 錢運濤

【摘要】本文利用課堂實錄的方式，記錄并再現(xiàn)了《分段計費》這一課的教學設計與課堂互動，通過“選取指向?qū)W科核心素養(yǎng)的教學素材，充分展現(xiàn)了數(shù)學與生活的密切聯(lián)系”“設計基于學科核心素養(yǎng)的教學活動，充分挖掘和發(fā)揮數(shù)學思想方法的育人功能”“采用有利于培養(yǎng)學科核心素養(yǎng)的教學方式，充分凸顯的‘非線性教學的育人價值?！比齻€充分突出了“聚焦核心素養(yǎng)，彰顯育人價值”的主題，并通過“優(yōu)化了教學內(nèi)容的呈現(xiàn)方式”和“優(yōu)化了課堂的互動方式”兩個優(yōu)化，使課堂教學走向開放、活化和深度。

【關鍵詞】分段計費;教學實錄;核心素養(yǎng)

一、設計理念

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出，教師在解決問題教學中應注重培養(yǎng)學生從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題以及解決問題能力，在問題解決過程中形成分析問題和解決問題的基本方法，體會模型思想，增強應用意識?；谝陨险J識，本節(jié)課的設計通過創(chuàng)設了出租車計費、階梯水費兩種生活常見的分段計費情境，引導學生通過閱讀理解、自主探究、互動交流等方式，經(jīng)歷從解決實際問題中抽象出數(shù)學模型的過程，初步感悟函數(shù)思想，體會分段計費在生活中的廣泛應用。

二、教學內(nèi)容

《義務教育課程標準實驗教科書·數(shù)學》（人教版）五年級上冊第16頁例9及練習四中部分題。

三、教材與學情分析

《分段計費》是人教版五年級上冊第一單元《小數(shù)乘法》中的例9，屬于解決問題的范疇。教材結合本單元小數(shù)乘法這一知識背景，以生活中的出租車計費問題為例子，通過“閱讀與理解”“分析與解答”“回顧與反思”等環(huán)節(jié)，讓學生在自主探究、互動交流的學習活動中，經(jīng)歷從生活情境中抽象數(shù)學問題、用數(shù)量關系式表征模型和解決問題的全過程，初步感悟函數(shù)思想，發(fā)展數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

五年級的學生已具備一定的生活經(jīng)驗及問題解決能力，但由于筆者班上多數(shù)學生缺乏直接參與生活繳費經(jīng)歷，對于分段計費概念較為陌生。因此，讓學生直接面對“出租車費”這個特殊的分段計費問題，需要跨越“從文本閱讀到有效數(shù)學信息的提取”“從固定價格的計費到分段計費”“從單一標準的計費到多種標準的計費”等認識上的難關。

為有效降低學生學習思考的難度，筆者對本節(jié)課的教學設計作了以下四個方面的處理：一是通過“出租車費”這個生活中常見但學生又不太熟悉的例子，重點引導學生通過對文本的“閱讀與理解”，輔之以直觀的動畫形式，理解什么是“分段”，以及“分段”后每一段對應的計費標準;二是以數(shù)形結合的方式引導學生體會行駛里程與出租車費之間的變化關系，初步感悟函數(shù)思想;三是讓學生通過筆算、口算與感悟等不同的活動體驗，掌握解決分段計費的一般方法;四是通過反思學習過程，歸納解決“分段計費”問題的關鍵，逐步發(fā)展數(shù)學建模的數(shù)學學科核心素養(yǎng)。

四、教學目標

1.通過運用小數(shù)乘法和已有的生活經(jīng)驗，解決生活中“分段計費”問題。

2.經(jīng)歷探索“分段計費”問題模型的過程，初步體會函數(shù)思想，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，發(fā)展應用意識和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

3.在解決問題過程中獲得問題解決后的成功體驗。

五、教學重點難點

1.重點：運用已有知識和生活經(jīng)驗解決生活中“分段計費”問題。

2.難點：在探索“分段計費”模型的過程中，初步體會函數(shù)思想。

關鍵在于找到分段點，按不同的標準來計費。

六、教學實錄

（一）談話引入，創(chuàng)設情境

師：同學們，你們搭過出租車嗎？

生：搭過。

師：你們知道出租車是怎樣計費的嗎？

生：我知道出租車是按每千米計費的。

生：我知道出租車在前三千米的收費是8元。

師：同學們真會觀察生活，下面我們就來一起學習關于出租車計費的問題。

（二）自主探究，建立模型

師：今天，我和一位老師分別搭乘出租車過來會場給你們上課，出租車里程表上分別是2.7km和6.3km，你會根據(jù)下圖給出的條件算出我們分別要付多少錢車費嗎？

1.閱讀與理解

師：請同學們安靜地讀題1分鐘，找到題中有用的數(shù)學信息并思考其的含義后，同桌相互交流自己的認識。（學生先獨立讀題、思考，然后同桌相互交流。）

師：哪位同學能告訴大家你讀題后知道了哪些數(shù)學信息？

生：3km以內(nèi)8元 。

師：能舉例說說“3km以內(nèi)”是什么意思？

生：例如：里程是2km，就是屬于3km以內(nèi)，所以要按8元計費。

師：說得好！其他同學還能舉一個不同的例子嗎？

生：1.6km也是屬于在3km以內(nèi)，也是按8元計費。

師：如果里程正好是3km時，又怎么收費呢？

生：也是按8元計算。

師：3km以內(nèi)，包括3km，這是一種有選擇性的、特殊的計費標準，在出租車行業(yè)中叫做“起步價”。（板書：起步價）

師：我們一起來看動畫演示來感受一下。師：題目中還包含哪些計費標準？

生：超過3km的部分，每千米2元。

師：“超過3km的部分”應怎么理解？請舉例說明。

生：例如，當出租車的里程是4km時，“超過3km的部分”就是1km。

師：“超過3km的部分”如何計費？

生：“超過3km的部分”按每千米2元計算。

師：你們理解的很好。請問里程數(shù)是3.4km時，應根據(jù)什么標準計費？

生：根據(jù)“不足1km按1km計算”。

師：好，那超出的部分應付多少錢呢？

生：“超過3km的部分”是0.4km，超出部分不足1km就要按1km計算，要付2元。

師：請看演示

設計意圖：五年級的學生雖然有相關的消費經(jīng)歷，但缺乏直接的計費經(jīng)驗，因此學生不容易理解出租車分段計費的標準。對此，筆者通過“閱讀與理解”，讓學生在較充分的時間內(nèi)專心審題，并在對計費標準形成一定認識的基礎上與同桌相互交流分享，自主形成對計費標準較為全面的認知;通過“問題引導”，在學生匯報數(shù)學信息的時候適時發(fā)問或追問，引導學生在生生互動和師生互動中拓寬對計費標準的理解;通過“直觀輔助”，讓學生在喜聞樂見的動畫演示中加深對計分標準的理解。

2.分析與解答

師：請同學們獨立解答例題以及出租車計價表。（老師投影不同的學生作業(yè)，然后師生互動點評。）

師：我采訪一下這位同學，請說說你是怎么想的？

生：因為不足1km要按1km計算，所以6.3km約等于7km，然后求出超過3km部分的里程，也就是用7km減3km得出超出了4km，求出超出3km部分的出租車費是8元，最后加上起步價8元得出出租車費是16元。

師：說的很有條理。誰來說說：在8+8=16（元）這條式子當中，前一個8和后一個8分別表示什么意思？

生：前一個8表示起步價，后一個8是超出3km部分的價格。

師：說得好！我們再看有一位同學是這樣算的，你們覺得怎么樣？

生：做錯了。

師：有沒有做對的地方呢？

生（思考后）：6.3km≈7km做對了，是按不足1km要按1km計算的。

師：那他錯在的地方呢？

生：他沒有算起步價。

生：他把全程都按每千米2元計算了，只超過3km部分才按每千米2元計算。

師：大家分析的很到位。這個問題的關鍵就在于里程在3km之內(nèi)和之外，存在著兩種不同的計費標準。

師：我們可以用怎樣的數(shù)量關系式表示出租車費？

生：出租車費等于起步價加上超出3km部分的價錢。

師：說的好。

板書：出租車費 = 起步價 + 超出部分價格。

師：像這樣的計費方式，我們叫做分段計費（板書課題）。

本題與以往所學的類似題目的不同之處，就是里程數(shù)在3km以內(nèi)和以外，有兩種不同的計費標準。而這個3km就是這兩種計費標準的分段點（分界點）。

所以，我們在實際計費中，首先要先找出分段點，看分成了哪兩段，再弄清每段各自對應的計費標準，最后進行計算。

設計意圖：筆者通過引導學生對解題過程中“對”與“錯”的分析與思考，讓學生形成出租車分段計費的一般方法和經(jīng)驗，并在此基礎上，突出解決分段計費問題的關鍵在于弄清分段點，從而弄清不同范圍對應的計費標準，并為總結出租車費數(shù)量關系式做好鋪墊。

3.回顧與反思

師：請大家接著看第（2）小題，你們有什么發(fā)現(xiàn)？（學生一邊根據(jù)投影核對自己的答案，一邊觀察表格中的數(shù)據(jù)）

生：我發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)都是雙數(shù)。

師：這個發(fā)現(xiàn)有意思。還有嗎？

生：一個比一個多2。

師：是誰引起了它們一個比一個多2呢？

生：行駛里程數(shù)。

師：哦，出租車費隨著行駛里程數(shù)的增大而增加，可以這樣說嗎？

生：是的。

師：誰有不同的意見？

生：老師，我發(fā)現(xiàn)里程在3km以內(nèi)時，出租車費沒有隨著里程數(shù)的變動而增加，都只收8元。

師：那應該怎么說才好呢？

生：在起步價范圍之外，出租車的行駛里程增加了，車費也隨著增加。

師：這樣說就很全面了。它們的這種變化的關系還可以用這樣一個動態(tài)圖來表示，大家請看（老師一邊操作幾何畫板，一邊解說租車費的變化情況）。

師：在3km以內(nèi)，車費都是8元。當超過了3km，路程增加了，出租車費也就隨著增加。

師：請大家猜想一下，出租車為什么要使用“起步價”這樣的計費標準呢？

生：因為出租車要用汽油，很費錢。

生：因為出租車行駛的路程太短，就賺不了錢。

師：大家的猜想都很合理。出租車的運營成本很高，如果路程太短容易導致司機虧本，所以設置起步價也就保護了司機的基本利益。

設計意圖：利用動態(tài)圖演示的方式，數(shù)形結合，幫助學生直觀地理解“出租車收費模型”中兩個量之間的變化關系，初步感受函數(shù)思想。

（三）變式訓練，運用模型

1.解決自來水費問題

師：看來同學們都是精明的消費者，現(xiàn)在老師有兩張水費單，請大家分別求出他們各要付自來水費多少元？

學生自主解答，教師巡查并挑選學生解答樣本投影。

小云：11×2.5=27.5元，

小可：12×2.5=30元? ? ? ? 17-12=5噸

5×3.8=19元 30+19=49元。

師：請問你是如何思考的？

生：小云家用了11噸水，屬于12噸以內(nèi)，使用每噸2.5元的計費標準。小可家用了17噸水，超過12噸部分的是5噸，所以前面12噸使用每噸2.5元的計費標準，后面5噸使用每噸3.8元的計費標準。

師：說的好。自來水計費和出租車計費一樣，都屬于分段計費。分段點是12噸。自來水費的數(shù)量關系式是怎樣的呢？

生：自來水費等于12噸以內(nèi)的價格加上超出12噸部分的價格。

師板書：

自來水費 =? 一級水費 + 二級水費

2.感受生活中的分段計費例子

（1）課件出示圖1～圖4。

師：大家請看圖1～圖4，它們分別是什么計費規(guī)則？

生：圖1是停車場計費規(guī)則，圖2是天然氣計費規(guī)則，圖3是計電費規(guī)則，圖4是快遞計費規(guī)則。

師：它們有沒有什么共同點？

生：都是按分段來計費。

師：選擇一個你熟悉的圖，說說它的分段點是什么？

生：圖4快遞計費點分段點是20噸，分成了正常收費和20公斤以上收費。

師：哎，這與出租車計費有什么不同嗎？

生：雖然看上去都是分成了兩段，但快遞計費每段里面又分成了首重和續(xù)重兩段，所以也可以看做分成了4段。

師：對。分段計費根據(jù)實際情況有分成兩段或者多段等。

師：看到圖1-圖4，我們想到了什么？

生：看來，分段計費在我們生活中有著廣泛的應用啊。

設計意圖：讓學生經(jīng)歷不同的分段計費情境，并在筆算、口算、歸納與總結等不同的活動體驗中，豐富對分段計費的認識。

（四）梳理歸納，課堂小結

1.在本節(jié)課上，我們學到了哪些知識？

2.在解決分段計費問題時，我們要注意哪些問題？

設計意圖：引導學生回顧學習過程，歸納注意事項，小結解決分段計費問題的一般方法。

（五）布置作業(yè)，課外延伸

師：同學們，請大家在課后寫一篇關于用分段計費解決問題的數(shù)學日記。

設計意圖：引導學生以數(shù)學的眼光觀察生活，從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題和解決問題，從而發(fā)展數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

板書設計：

分段計費

出租車費 =? ?起步價 + 超出部分價格

自來水費 =? 一級水費 + 二級水費

七、教學實錄的反思與總結

本文利用課堂實錄的方式，記錄并再現(xiàn)了《分段計費》這一課的教學設計與課堂互動，并通過“三個充分”，以突出本課例“聚焦核心素養(yǎng)，彰顯育人價值”的價值取向。

（一）選取指向?qū)W科核心素養(yǎng)的教學素材，充分展了現(xiàn)數(shù)學與生活的密切聯(lián)系

本節(jié)課的核心概念就是“分段計費”。在五年級學生現(xiàn)有的生活經(jīng)驗中，計費活動主要是集中在單一標準的計費問題上（模型：總價=單價×數(shù)量），對于按多標準計費（即分段計費或階梯計費）問題，雖然或多或少接觸過類似的話題，但大多沒有親身經(jīng)歷過真實的計算思考和付費實踐。為了突破這個學困點，筆者選擇了一組日常生活中需要分段計費的生活情境，通過解決出租車計費和水費問題，以及思考快遞費、電費、停車費、燃氣費等問題，不僅初步建立起了“分段計費”的數(shù)學模型，而且讓學生體會到“分段計費在我們生活中有著廣泛的應用”。像這種從問題中來、又到生活中去的學習過程，很好地突出了“數(shù)學建?！钡膶W科核心素養(yǎng)在課堂學習、生活遷移和學科育人上的作用。

（二）設計基于學科核心素養(yǎng)的教學活動，充分挖掘和發(fā)揮數(shù)學思想方法的育人功能

本課設計了5個課堂活動，分別是針對出租車計費的閱讀與理解活動、分析與解答活動、回顧與反思活動，針對水費計費的學習遷移活動，以及針對一組生活費中分段計費的拓展活動，體現(xiàn)了“數(shù)學教學首先是數(shù)學活動的教學”這一理念，讓學生在學習、遷移和拓展等課堂活動中積累基本的學習活動經(jīng)驗。

例如，在閱讀與理解活動中，對于出租車計費這個生活中的數(shù)學問題，通過使用線段圖，輔之以動畫顯示的方式，而不是單純讓學生畫線段圖的方式，能讓學生對“起步價”的理解更加直觀、生動、深刻，進而牢牢抓住“分段點”這一關鍵，滲透分段計費的函數(shù)思想。又如在回顧與反思活動中，通過操作演示用幾何畫板制作的出租車收費示意圖，以數(shù)形結合的方式引導學生在初步建立了分段計費的數(shù)學模型的基礎上，再次直觀感受在不同的計費區(qū)間執(zhí)行不同的計費標準，在行駛里程小于或等于3公里時按起步價計費，行駛里程大于3公里時，按“起步價 + 超出部分價格”來計費，學生通過“當行駛里程大于3公里時，出租車費隨著行駛里程的增加而增加”的現(xiàn)象，從行駛里程與出租車費之間的變化關系中，更好地感悟數(shù)學思想方法，從而在解決計費問題時能根據(jù)實際恰當運用分段計費的策略。

（三）采用有利于培養(yǎng)學科核心素養(yǎng)的教學方式，充分凸顯“非線性”教學育人價值

本課根據(jù)“非線性”教學策略，在上的設計和實施上的“兩個優(yōu)化”，使課堂教學走向開放、活化和深度。

1.優(yōu)化了教學內(nèi)容的呈現(xiàn)方式

教學內(nèi)容的“非線性”呈現(xiàn)方式?jīng)Q定了具有開放性的課堂學習方式。筆者堅持“教懂不如學懂”的理念，在本節(jié)課上不是“擠牙膏”式地呈現(xiàn)教學內(nèi)容，而是打開教材上課。學生對教學內(nèi)容的感知、閱讀和理解不再是按照老師的節(jié)奏整齊劃一、亦步亦趨，使“快者快學、慢者慢學”成為可能。例如，在關于出租車計費規(guī)則的閱讀與理解的教學環(huán)節(jié)中，老師不是直接告訴，也不是過場式的，而是真正留出時間讓學生閱讀教材中的計費規(guī)則，在獨立思考中初步感知“分幾段收費、分段點是什么、每段的計費標準和起步價”等重要信息，為隨后的展示交流活動奠定基礎，讓學生能更好地感知“出租車計費”問題中蘊含的“變與不變”。又如，筆者用練習卷的方式一次性呈現(xiàn)“出租車計費”問題和“填表”等教材內(nèi)容，讓學生有整塊的時間先進行全過程思考，后展示交流，有利于落實“深度學習”。

2.優(yōu)化了課堂的互動方式

課堂的“非線性”互動方式?jīng)Q定了具有活性和深度的課堂學習品質(zhì)。在課上，“師-生”單一互動模式讓位于“生-本、生-生、生-師、生-媒”的混合互動模式，教學信息也不再是“師講生聽、師寫生記、師批生改”式的單向傳遞，而是在“生、本、生、師、媒”等主客體之間多維度、充分地傳遞、展開和生發(fā)。這種網(wǎng)狀互動就為老師在課堂上相機開展個性化教學提供了肥沃的土壤。例如，在“出租車計費問題”的“分析與解答”活動中，當展示一個學生計算出租車里程數(shù)為6.3km的車費的解答過程（ 6.3km≈7km ，7×2=14（元））時，筆者面對其他學生“做錯了”的回答，沒有簡單地加以否定，或者及時糾正，而是進一步發(fā)問“有沒有做對的地方呢？”引導學生從中發(fā)現(xiàn)正確的成份，化錯誤為教學育人的契機，無論是對當事學生的呵護與鼓勵，還是對其他學生學習品質(zhì)的培養(yǎng)和健全人格的塑造都有著深遠的意義。又如，在學完例題，歸納出“出租車計費”問題的數(shù)學模型之后，筆者順勢提出“出租車為什么要使用‘起步價這樣的計費標準”這一問題，引導學生正確理解設置起步價的目的——保護司機的基本利益，從而更好地提供公共出行服務。

本課例聚焦學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，通過分析和解決一組生活中常見的需要分段計費的實際問題，抓牢教學關鍵點，讓學生經(jīng)歷了數(shù)學建模的全過程;通過數(shù)形結合等多種方式，讓學生直觀地感受了蘊含在問題解決過程之中的函數(shù)思想;通過優(yōu)化課堂教學策略，開展“非線性”教學，使學生的學習更具選擇性、彈性，使老師的教學更具個性化，從而使課堂教學走向更加開放、活化和深度，充分彰顯課堂教學的育人價值。