賈 婕，劉 華，邊小麗

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津 300222）

解析函數(shù)邊值問題（或Riemann-Hilbert 問題）[1]是復(fù)分析領(lǐng)域的經(jīng)典問題，它不僅在很多理論數(shù)學(xué)分支有重要應(yīng)用，同時在平面彈性斷裂力學(xué)、空氣動力學(xué)、散射理論等應(yīng)用領(lǐng)域也不可或缺。國外一些學(xué)者在這方面做出了杰出的工作，其中Muskhelishvili[2]奠定了解析函數(shù)邊值問題的理論基石，其著作《奇異積分方程》為彈性學(xué)的應(yīng)用帶來助力；國內(nèi)也有不少學(xué)者從事這方面的研究，特別以路見可教授[1]的《解析函數(shù)邊值問題》為代表，該書系統(tǒng)地論述了解析函數(shù)的各種基本邊值問題及其在奇異積分方程上的應(yīng)用[3]，包括Riemann 邊值、Hilbert 邊值、復(fù)合邊值等問題。在此基礎(chǔ)之上，后繼的學(xué)者們對一般Riemann 邊值問題也進行了推廣，取得了更多關(guān)于邊值問題的相關(guān)成果[4-9]，得到了復(fù)合邊值問題在不同情況下的一般解。

近年來，對于解析函數(shù)邊值問題及奇異性的經(jīng)典研究多以簡單封閉曲線和開口曲線為主，研究多種材料復(fù)合的彈性斷裂問題中[10]，可能涉及多條交叉曲線上的邊值問題。曲線交叉一般可分為橫截相交和相切相交。對于逆散射問題、隨機矩陣等領(lǐng)域[11-13]，更廣泛應(yīng)用到非橫截相交曲線上的解析函數(shù)邊值問題。相對于橫截相交曲線上邊值問題研究的豐富成果，相切相交的曲線（即非橫截相交曲線）由于切點處（節(jié)點處）的奇異性問題并沒有得到充分研究，同時Fokas 等[14]利用R-H 技術(shù)研究可積系統(tǒng)，也引出了帶節(jié)點的邊值問題的研究。為此，本文討論相切相交產(chǎn)生節(jié)點的特殊曲線上的相應(yīng)問題，研究Cauchy 積分在2 種不同條件下處理對應(yīng)尖點處的奇異性，為解決非橫截相交曲線上的解析函數(shù)邊值問題等提供條件。

1 Riemann邊值問題的描述

含節(jié)點特殊交疊曲線圖如圖1 所示。

圖1 含節(jié)點特殊交疊曲線圖

設(shè)L 為復(fù)平面上2 條光滑封閉的相切Jordan 曲線L1和L2（即L=L1+L2），曲線相切產(chǎn)生的節(jié)點位于原點。L1取順時針為正向，L2取逆時針為正向。此處假定L 把整個平面分成4 組區(qū)域：①、②區(qū)域合并為S-，③、④區(qū)域所在的近似圓環(huán)的內(nèi)域為S+（包含2 條曲線的邊界點）。從圖1 可知，S 并不連通。

Riemann 邊值問題（簡記為R 問題）即：求以 L為跳躍（間斷）曲線的一個分區(qū)全純函數(shù)Φ（z），滿足邊值條件

式中：G（t）、g（t）在 L 上均滿足 H 條件。

如果要求Φ（z）在∞處至多為m 階，則此問題將記為Rm[1]。一般最常討論的是問題R0和R-1，前者要求Φ（∞）有限，后者要求 Φ（∞）=0。

式中：f（t）在 L 上為 H 函數(shù)，且 0 ＜ Reγ ＜ 1。

2 給定不同區(qū)域中節(jié)點奇異性討論

討論給定問題中4 個不同區(qū)域趨向于節(jié)點時節(jié)點附近的性質(zhì)，主要考慮以節(jié)點為端點時不同的曲線方向的疊加對其端點奇異性的影響。

2.1 割破封閉曲線轉(zhuǎn)換問題

先假定L 為一條封閉光滑曲線構(gòu)成的情況，并取定圖1 中L1和L2的方向?？紤]對于節(jié)點問題的處理，需要在原曲線上取一條主值分支將原曲線被一條由零點到負無窮遠處的線切割成 l1、l2、l3、l44 條曲線，分割后的曲線方向圖如圖2 所示，曲線方向保留原方向，即為曲線節(jié)點。這樣就將問題轉(zhuǎn)化為4 條開口曲線交于一點的R 問題，解決了封閉曲線無法定義log 函數(shù)的障礙。

圖2 分割后的曲線方向圖

給定 f（t）在每一條 Lj上都屬于H。當(dāng)t 沿某一Lj趨向于c 點時，f（t）有確定的極限值fj（c）。若以fj（c）作為f（t）在lj上c 處的值時，fj（c）在Lj上屬于H，即f（t）在整個 L 上屬于 H。

此時需先考慮Cauchy 積分性質(zhì)。對每一條Lj，當(dāng)t∈Lj時，若把平面沿Lj剖開（延伸到無窮遠處剖開），它就是（z-c）γ在z=c 附近的一全純分支[（z-c）γ]j在lj正側(cè)的邊值，簡記為[（t-c）γ]j。

參照文獻[1]，對于Cauchy 型積分

式中：γ = α +iβ≠0，0≤α＜ 1，c=a 或 b；f（t）∈H，且 L取定自 a 到 b 的方向為正向。（t-c）γ理解為從 c 沿 L伸向無窮遠剖開的平面上（z-c）γ的一個全純分支在正側(cè)的邊值，則在z=c 附近有

其中：正號或負號隨c=a 或b 而定，Φ*（z）則在z=c的剖開的鄰域中全純，并且

（1）若α=0，則當(dāng)z 以任何方式趨于c 時，Φ*（z）有確定的極限。

（2）若 α ＞ 0，則在 z=c 附近，下式成立

可知此時Cauchy 型積分滿足下式

在z=c 附近，有下述表達式成立

其中：εj=+1，若 c 為 Lj的起點，εj=-1，若 c 為 Lj的終點，而Φ*（z）在沿各lj剖開后的的c 鄰域中全純，且Φ*（z）在z=c 附近仍有文獻[1]中所述性質(zhì)。

改寫式（4）為

接下來將分區(qū)域考慮[（t-c）γ]j的取值。

需注意（t-c）γ為（z-c）γ當(dāng) z 從 L 的正（左）側(cè)趨于L 上一點t 時的極限值，故可記[（t-c）γ]+=（t-c）γ。

當(dāng)區(qū)域位于L 右側(cè)時，則需要相應(yīng)的考慮[（t-c）γ]-的取值。若t 從其正側(cè)繞點c 反時針轉(zhuǎn)一圈到達L 上同一位置 t 時，θ=arg（t-c）增加了 2π；若 t 從其正側(cè)繞點c 順時針轉(zhuǎn)一圈，則θ=arg（t-c）減少2π。

2.2 特殊條件下端點奇異性分析

為了更清晰地體現(xiàn)曲線疊加可能產(chǎn)生的在節(jié)點處的奇異性變化并方便計算，首先考慮在一些特殊條件下該節(jié)點具有的端點奇異性，再將其推廣至一般條件進行探索。

Ⅰ.給定fj（t）在整個復(fù)平面上解析，即fj（c）在Lj上屬于H。令各Lj上t→c 時fj（c）的極限值相同

（1）在區(qū)域①中，根據(jù)曲線方向判斷，[（z）γ]1=e-2πiγtγ、[（z）γ]2= e2πiγtγ、[（z）γ]3= tγ、[（z）γ]4= tγ，代入上式Φ（z）表達式中，化簡計算可得

已知Φ*（z）全純，故此時Φ（z）由區(qū)域①趨向c時，c 點處沒有奇異性，解析。

（2）在區(qū)域②中，根據(jù)曲線方向判斷，[（z）γ]1= tγ、[（z）γ]2= tγ、[（z）γ]3= e2πiγtγ、[（z）γ]4= e-2πiγtγ，代入上式Φ（z）表達式中，同理化簡計算可得：Φ2（z）=Φ*（z），已知Φ*（z）全純，故此時Φ（z）由區(qū)域②趨向c 時，c 點處沒有奇異性，解析。

（3）在區(qū)域③中，根據(jù)曲線方向判斷，[（z）γ]1= tγ、[（z）γ]2= e2πiγtγ、[（z）γ]3= tγ、[（z）γ]4= tγ，代入上式Φ（z）表達式中，化簡計算可得

已知Φ*（z）全純，故此時由區(qū)域③趨向c 時，c 點處有γ 階奇異性。

（4）在區(qū)域④中，根據(jù)曲線方向判斷，[（z）γ]1=e-2πiγtγ，[（z）γ]2=tγ，[（z）γ]3=tγ，[（z）γ]4=tγ，代入上式Φ（z）表達式中，同理化簡計算可得

已知Φ*（z）全純，故此時Φ（z）由區(qū)域④趨向c時，c 點處有階奇異性。

Ⅱ.假設(shè)f3- f1= f4- f2，即割破線以上曲線上的fj（t）在節(jié)點的函數(shù)和（方向不同則為差）與割破線下方曲線上fj（t）函數(shù)的和（方向不同則為差）相等。

以區(qū)域①中為例，各[（t-c）γ]j取值與Ⅰ中相同，此時

可知此時 Φ（z）由區(qū)域①趨向 c 時，c 點處有 γ 階奇異性。

下面相應(yīng)的考慮其他區(qū)域的情況：

（1）Φ（z）由區(qū)域②趨向 c 時

（2）Φ（z）由區(qū)域③趨向 c 時

（3）Φ（z）由區(qū)域④趨向 c 時

可見在條件Ⅱ下，當(dāng)Φ（z）由任意區(qū)域趨向c 時，均有γ 階奇異性。

3 結(jié) 論

定理1 給定fj（t）在整個復(fù)平面上解析，即fj（c）在lj上屬于H。令各lj上t→c 時fj（c）的極限值相同：即f1（0）=f2（0）=f3（0）=f4（0）=f（0），則關(guān)于節(jié)點處的奇異性有以下結(jié)論。

（1）由區(qū)域①和②趨向于節(jié)點時，由于曲線方向關(guān)系，此時節(jié)點處奇異性抵消。

（2）由區(qū)域③和④趨向于節(jié)點時，此時曲線方向不足以抵消奇異性，節(jié)點處有γ 階奇異性。

定理2 給定條件：f3- f1= f4- f2，即割破線上方曲線上的fj（t）在節(jié)點的函數(shù)和（方向不同則為差）與割破線下方曲線上fj（t）函數(shù)的和（方向不同則為差）相等。對于本文給定的特殊曲線，當(dāng)Φ（z）由任意區(qū)域趨向c 時，節(jié)點c 處均有γ 階奇異性。