徐 濤，趙小山，盧 雅

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津 300222）

在過去的幾十年中，越來越多的數(shù)學(xué)和物理領(lǐng)域的研究者們對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分產(chǎn)生了濃厚的興趣[1]。一方面，分?jǐn)?shù)階微積分可以將微分和積分推廣到任意階數(shù)并且分?jǐn)?shù)階微積分可以更加準(zhǔn)確地模擬出許多動(dòng)力系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，如機(jī)械系統(tǒng)[2]、流體力學(xué)系統(tǒng)和生物工程[3]等。另一方面，運(yùn)用分?jǐn)?shù)階微積分的定義可以更加方便地設(shè)計(jì)魯棒控制器，因此分?jǐn)?shù)階微積分常用于混沌控制領(lǐng)域[4]。

隨著進(jìn)一步的研究，將分?jǐn)?shù)階微積分運(yùn)用在混沌控制中已經(jīng)成為數(shù)學(xué)和物理領(lǐng)域里面的一個(gè)熱點(diǎn)研究課題。許多的控制方法相繼提出，如自適應(yīng)控制、追蹤控制[5]、脈沖控制[6]和模糊滑?？刂芠7]等，然而這些控制方法不能確定當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)的時(shí)間，所以在20世紀(jì)60年代初期Dorato 為了能夠控制系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定，提出了整數(shù)階有限時(shí)間穩(wěn)定性，并于2003年Hu 等[8]通過對(duì)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)研究，成功實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階Lorenz 混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定，進(jìn)而提出了分?jǐn)?shù)階有限時(shí)間控制方法。但前者所使用的模型為經(jīng)典的分?jǐn)?shù)階混沌模型，對(duì)其他較為復(fù)雜的分?jǐn)?shù)階超混沌模型的研究較少。本文通過運(yùn)用分?jǐn)?shù)階有限時(shí)間控制方法，針對(duì)一個(gè)新的分?jǐn)?shù)階超混沌模型進(jìn)行有限時(shí)間控制研究，利用數(shù)值仿真描述了該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，并通過定理設(shè)計(jì)出該系統(tǒng)的控制器，最終通過數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了其有效性。

1 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)模型

1.1 分?jǐn)?shù)階微分概述及定義

在現(xiàn)今分?jǐn)?shù)階微積分研究過程中，微分和積分主要分為 3 種定義，分別為 Riemann-Liouville（R-L）定義[9]、Grunwald-Letnikov（G-L）定義[10]以及 Caputo 定義[11]。在階數(shù)為負(fù)實(shí)數(shù)和正整數(shù)時(shí)，3 種分?jǐn)?shù)階微積分的定義相同，但在其他情況下，R-L 定義與Caputo 定義相較于G-L 定義適用面更大，所以R-L 定義與Caputo 定義較為常用，其中R-L 定義更多地用于純數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究，Caputo 定義更適用于工程領(lǐng)域的研究，本文采用的是Caputo 定義。

定義1Caputo 分?jǐn)?shù)階微分定義[12]。

式中：C 為 Caputo 微分；α 為階數(shù)；n 為整數(shù)，且滿足n-1 ＜ α ＜ n；a 和 t 分別為運(yùn)算的上、下線；Γ（·）為Gamma函數(shù)。

定義 2Gamma 函數(shù)定義[13]。

引理 1[14]假設(shè) x（t）∈Rn是連續(xù)的可微函數(shù)，P∈Rn×n是一個(gè)正定矩陣，那么對(duì)于 α∈（0，1），滿足不等式

特別地，當(dāng) x（t）∈R 是一個(gè)連續(xù)可微函數(shù)時(shí)，可以得到

引理 2[15]假設(shè) xi=x1，x2，…，xn為實(shí)數(shù)，且 0 ＜ q≤2，則下列不等式成立。

引理 3[16]假設(shè) V（t，x（t））是一個(gè) Lyapunov 函數(shù)，m、n 為任意正數(shù)，且存在一個(gè)類α 函數(shù)αi（i=1，2，3）滿足下列不等式，則說明該系統(tǒng)滿足全局Mittag-Leffler 穩(wěn)定。

1.2 分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)模型

式中：xi為狀態(tài)變量，i= 1，2，3，4；βi為系統(tǒng)參數(shù)，i=1，2，3，4；ui為該系統(tǒng)的控制器，i=1，2，3，4。

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分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)的相軌跡如圖1 所示，時(shí)間歷程如圖2 所示。

圖1 分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)的相軌跡

圖2 時(shí)間歷程

2 有限時(shí)間控制

2.1 有限時(shí)間控制穩(wěn)定性定理

在數(shù)學(xué)與物理領(lǐng)域?qū)Ψ謹(jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的控制研究已成為當(dāng)下最熱門的研究之一，成功吸引了人們的關(guān)注，其中在多種控制方法里面，有限時(shí)間控制的強(qiáng)魯棒性，收斂速度快，在有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定等特點(diǎn)被人們所接受。本文正是通過運(yùn)用有限時(shí)間控制[17]的方法對(duì)該分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)進(jìn)行控制研究。

定理1一個(gè)任意的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)滿足全局Mittag-Leffler 穩(wěn)定[18]即滿足引理 3 且滿足 DαV（t，x）≤則說這個(gè)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)是有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定的，安定時(shí)間T 為

2.2 有限時(shí)間穩(wěn)定性的證明

通過定理 1 得到該系統(tǒng)控制器 ui=u1，u2，u3，u4為

存在一個(gè)Lyapunov 函數(shù)[19]

根據(jù)引理 1 和式（2）可得

式中 ki恒大于 0，i=1，2，3，4，故 DαV（x，t）＜ 0，且當(dāng) DαV（x，t）＜0，必定存在一個(gè) α3函數(shù)使得 DαV（x，t）≤-α3‖x‖2，則該系統(tǒng)滿足全局 Mittag-Leffler 穩(wěn)定。

根據(jù)引理 2 和式（5）可得

根據(jù)定理1 中Dαv1是有限時(shí)間穩(wěn)定的，因?yàn)镈αV（x，t）是全局 Mittag-Leffler 穩(wěn)定且 Dαv1中所有初值包含在 DαV（x，t）里，所以 DαV（x，t）是有限時(shí)間穩(wěn)定的。

3 數(shù)值仿真

采用Matlab 進(jìn)行數(shù)值仿真，步長(zhǎng)Δt=0.005，仿真時(shí)間T=2 s，階次α=0.98，相關(guān)參數(shù)取值為β1=0.87，β2=0.5，β3=0.37，β4=2.5，β5=0.5。

該系統(tǒng)的初值為x1（0）=2，x2（0）=1，x3（0）=-1，x4（0）=-2。根據(jù)定理可得T≤1.83 s，控制效果圖如圖3 所示。

由圖3 知，該分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間約為1.5 s。在所計(jì)算出的穩(wěn)定時(shí)間T 之內(nèi)，證明了該控制器的有效性，且從圖像的走勢(shì)可以看出其收斂速度之快，同時(shí)證明了有限時(shí)間控制方法的強(qiáng)收斂性。

圖3 控制效果圖

4 結(jié) 語

本文研究了一類分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性定理，并通過該定理設(shè)計(jì)出了符合該系統(tǒng)的控制器，最終對(duì)參數(shù)以及變量賦值，實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)達(dá)到解的穩(wěn)定并計(jì)算出了達(dá)到穩(wěn)定的有限時(shí)間數(shù)值，通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了結(jié)論的可行性及該控制方法的強(qiáng)收斂性、魯棒性。該控制方法可進(jìn)一步改進(jìn)，針對(duì)不同的分?jǐn)?shù)階微積分定義設(shè)計(jì)不同的控制器，并在噪聲或時(shí)滯干擾下，其控制效果的變化也需進(jìn)一步研究。