范嗣波

[摘 ?要] 教師在上課的時候利用思維導(dǎo)圖這個工具，可以將高中數(shù)學(xué)知識進(jìn)行放射性的思維發(fā)散，這樣既能抓住問題的本質(zhì)，又能逐步深入地找到解決問題的方法. 筆者以人教A版《必修5》第一章“解三角形”為例，探索運用思維導(dǎo)圖在學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題過程中去發(fā)現(xiàn)主要問題，進(jìn)而可以提高學(xué)習(xí)的效率，達(dá)到優(yōu)化高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效果.

[關(guān)鍵詞] 思維導(dǎo)圖;題型講解;解決問題

提出問題

解決一個數(shù)學(xué)題涵蓋三個階段的心理活動：首先是讀題，收集題目條件加以辨別得出解題所需條件的知識點;其次是對知識點進(jìn)行分析得出運用知識點的方法從而得到該題的解法;最后就是記憶保留這個解法的知識和過程的信息. 往往學(xué)生在解題時大部分都是在第二個心理過程中，知識點進(jìn)行分析得出運用知識點的方法（即劃歸和轉(zhuǎn)化）這一過程中存在較大的困難，究其原因主要是學(xué)生對題目缺少宏觀把控. 因為學(xué)生在上數(shù)學(xué)課時由于抱著能夠把此題解決出來的想法而聽課，對數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展、結(jié)構(gòu)沒有很好的認(rèn)識，這樣導(dǎo)致學(xué)生在遇到陌生數(shù)學(xué)問題時，不知從何入手感到無所適從. 筆者認(rèn)為，當(dāng)學(xué)生具備了解決該題所需要的知識和方法后，學(xué)生仍然解答不出題目，其關(guān)鍵是學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的掌握過于生硬，不會進(jìn)行劃歸和轉(zhuǎn)化. 讀題以至于沒有弄清題意，或者是理解題目后不能根據(jù)題意制訂一條完整的思路鏈條將題目條件和所求結(jié)論聯(lián)系起來. 所以筆者認(rèn)為，要教會學(xué)生如何解題，必須要學(xué)生對知識進(jìn)行整體上認(rèn)識，明白其數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程. 從而弄清題目所涉及的所有知識范圍及思想方法，這樣學(xué)生便很容易從整體知識結(jié)構(gòu)中找到題目要包含的信息和解題思路，這也是教師在講解試題課中需要傳遞給學(xué)生的思想;同時學(xué)生在解題過程中的想法展現(xiàn)給教師，讓教師能夠進(jìn)行有針對性的教學(xué)，進(jìn)而能優(yōu)化教師的講解過程，從而達(dá)到課堂的高效性.

尋找方法

針對很多高中學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中存在下面的問題：一是對題目的條件視而不見，不知出題人所表達(dá)的是什么，需求的是什么;二是對所給的問題條件、求解的問題之間架不起橋梁，無法找到解題思路;三是聽教師分析試題時覺得一聽就會，自己做題時便一做就錯. 反思我們的數(shù)學(xué)課堂，致使學(xué)生審題、解題能力差主要有兩個方面的因素：一是教師對審題的教學(xué)不夠重視，忽略了審題的教學(xué);二是學(xué)生缺乏良好的學(xué)習(xí)和審題習(xí)慣，缺乏良好的獨立思考能力. 使得劃歸、轉(zhuǎn)化成了學(xué)生的難點，以至于學(xué)生無法制訂出一套解題的思路和方法了. 因此，有必要突破學(xué)生在解決問題思維過程中無法分類和轉(zhuǎn)化的困難. 筆者在教學(xué)中采用“思維導(dǎo)圖”教學(xué)策略，將要素（條件）和目標(biāo)（結(jié)論）納入探究. 其中，引導(dǎo)學(xué)生制訂合理的問題解決方案，然后可以實現(xiàn)解決問題的策略和過程，有效培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力和思維能力.

思維導(dǎo)圖是在20世紀(jì)70年代，由英國心理學(xué)家托尼· 巴贊（Tony Bazan）提出的，它是一種圖形思維工具，使用文字、符號、圖片、顏色等，基于人腦的模擬、體現(xiàn)抽象思維和視覺上代表知識，有效地呈現(xiàn)知識與體現(xiàn)思維過程之間的聯(lián)系.本篇論文中的思維導(dǎo)圖與所提出的概念有聯(lián)系也有所區(qū)別，是指學(xué)生在解題時尋求條件信息的整理組織與表征目標(biāo)之間的工具，首先將要解決的問題寫在于一個方框或平行四邊形之中，其次再用粗細(xì)不同的線條將命題和有關(guān)的問題連接起來，連接線上面批注兩個方框中的問題之間所涉及的數(shù)學(xué)概念、定理與方法，讓解題更具有針對性和實效性，從而實現(xiàn)學(xué)生解題障礙的突破.

解決問題

筆者以高中“解三角形”復(fù)習(xí)課為例. 在使用思維導(dǎo)圖作為解決問題教學(xué)的指導(dǎo)時，它依賴于教學(xué)過程中的問題驅(qū)動，逐步引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)和梳理凌亂的知識點，逐步建構(gòu)本節(jié)課知識網(wǎng)絡(luò)圖（即思維導(dǎo)圖）;其次，使用思維導(dǎo)圖作為出發(fā)點，以加強學(xué)生解決問題的意識. 學(xué)生在嘗試建構(gòu)思維導(dǎo)圖的過程中，學(xué)會抓取問題信息即尋找條件與目標(biāo)之間的關(guān)系，學(xué)會制訂出解決問題合理方案，慢慢養(yǎng)成獨立繪制思維導(dǎo)圖的習(xí)慣，并在解題中不斷優(yōu)化解題方案，讓學(xué)生體驗到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是快樂的和領(lǐng)悟思維導(dǎo)圖的無限魅力.

1. 問題驅(qū)動，梳理知識

“數(shù)學(xué)的心臟是問題”，教師應(yīng)把問題和解決問題作為學(xué)生學(xué)習(xí)動機的源泉，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的強烈愿望，使他能夠參與解決問題的教學(xué)活動. 在設(shè)計問題時，教師應(yīng)該控制問題的難度和梯度. 最好在學(xué)生“最近發(fā)生、發(fā)展區(qū)”中設(shè)置問題. 應(yīng)遵循以下準(zhǔn)則：第一個標(biāo)準(zhǔn)是起點相對較低. 問題起于背景材料、知識原點、自然現(xiàn)象等.第二個標(biāo)準(zhǔn)是邏輯鏈（思維導(dǎo)圖）. 設(shè)定的問題應(yīng)該構(gòu)成一個合乎邏輯的線索. 根據(jù)設(shè)置問題的方法或知識水平，即方法線和知識線，問題之間必須存在邏輯聯(lián)系. 第三個標(biāo)準(zhǔn)是梯度小.筆者認(rèn)為它就像盤山道路，起點很低，坡度和彎度也小，但最后通往的目的地很高. 第四個標(biāo)準(zhǔn)是具有啟發(fā)性. 問題得到解決后，一定需要師生共同總結(jié)并歸納出一般性規(guī)律與方法，可以給出感悟，進(jìn)而達(dá)到解一題會一類的目的.

【教學(xué)環(huán)節(jié)1】

問題1：如圖1，在△ABC中，角A，B，C所對邊分別是a，b，c，a=120，b=180，∠ACB=60°，求邊長c.

生1：由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC，所以c2=1202+1802-2×120×180× .

教師：那么該如何計算，才能簡便呢？（巡視課堂，發(fā)現(xiàn)兩個方面問題：一是學(xué)生的計算能力是不夠的，不能直接進(jìn)行復(fù)雜的計算，但少數(shù)學(xué)生使用四則運算的性質(zhì)來處理;二是有部分學(xué)生運用的是余弦定理的角的形式cosC= 去計算，導(dǎo)致化解錯誤）

生2：由余弦定理得：c2=1802+1202-2×180×120× ，得c=60 .

教師：很好！在解題過程中，你是運用什么辦法算的結(jié)果？

生2：要避免煩瑣的運算，我采用了乘法的運算性質(zhì)，提取了公因數(shù).

追問：本題能否求出∠A和∠B的大?。?/p>

生3：用正弦定理可以求出.

師：能否用余弦定理？（可以）

歸納總結(jié)：余弦定理應(yīng)用的兩種情形：（1）知道兩條邊的長度及兩條邊夾角的大小，就可求其他邊的長度和其他角的大小;（2）知道三邊的大小，可求出三個角的大小.

問題2：如圖2，在△ABC中，角A，B，C所對邊分別是a，b，c，且c=10，∠ACB=30°，∠CBA=105°，求邊長a.

生4：在△ABC中，因為∠A+∠B+∠C=π，所以∠A= ，由正弦定理 = ，得a=10 .

教師：非常好！

追問：能否求b邊的長度呢？

生5：由正弦定理可以求得.

歸納總結(jié)：正弦定理應(yīng)用的兩種情形：（1）知道兩邊的長度及其一邊的對角大小，求其他的邊與角;（2）知道兩角的大小及任意一邊長度，求另一角大小和其他邊長度.

通過設(shè)計兩道基礎(chǔ)問題的引導(dǎo)，讓學(xué)生鞏固正弦定理和余弦定理方法的應(yīng)用. 通過不斷地追問，學(xué)生將繼續(xù)梳理和總結(jié)知識;并逐步掌握兩大定理的知識方法，清楚正弦定理、余弦定理適用的幾種情況，這樣可以引導(dǎo)學(xué)生去建構(gòu)“解三角形”知識網(wǎng)絡(luò)圖. 若學(xué)生不會時，必然能帶著質(zhì)疑去回顧數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展，從而迫使學(xué)生主觀地去建構(gòu)這章主要知識的內(nèi)容和方法. 這樣一幅思維導(dǎo)圖必然就出現(xiàn)在學(xué)生的腦海里. （如圖3）

2. 以思維導(dǎo)圖為抓手，突破解題障礙

數(shù)學(xué)是思維嚴(yán)密的學(xué)科，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時要經(jīng)歷嚴(yán)密的思維活動，為了創(chuàng)造一個合適的知識和方法體系，并學(xué)習(xí)它的經(jīng)驗和能力. 在教學(xué)過程中，教師通過思維導(dǎo)圖引導(dǎo)教學(xué)，使學(xué)生能夠清楚地解決問題和探究的方向，教師處于活動狀態(tài). 它只是作為指導(dǎo)和幫助，指導(dǎo)學(xué)生使用思維導(dǎo)向的圖形問題，以便學(xué)生能夠真正實現(xiàn)他們的思想目標(biāo)，掌握方法，解決大腦中的問題. ?.

【教學(xué)環(huán)節(jié)2】

在△ABC中，sinA= ，判斷這個三角形的形狀.

教師：本題要解決什么問題，即目標(biāo)是什么？

生6：找邊的關(guān)系.

師：如何求？要用哪些知識來解決？

生7：在△ABC中，運用正弦定理、余弦定理來尋求邊的關(guān)系.

師：很好！能不能把你的想法畫出一幅流程圖來？如圖4.

師：充分運用正弦定理、余弦定理成功地實現(xiàn)角與邊之間的相互轉(zhuǎn)化，就將題完美解答出來了！

學(xué)生如何使用思維導(dǎo)圖來解決問題？筆者認(rèn)為，學(xué)生需要體驗“識圖——繪圖——用圖”的三個階段. 通過對該主題的研究，學(xué)生可以理解思維導(dǎo)圖的繪制并了解思維導(dǎo)圖的作用. 通過這種方式，學(xué)生依靠思維導(dǎo)圖解決問題，可以突破解決問題的障礙，使學(xué)生在掌握知識點和方法后，可以與目標(biāo)建立良好的橋梁. 但獨立自主的制作一幅完整且合理思維導(dǎo)圖難度也比較大. 除了讓學(xué)生掌握基本的生產(chǎn)方法外，更重要的是引導(dǎo)學(xué)生探索出目標(biāo)與條件之間的內(nèi)在聯(lián)系，題目中涉及的概念、定理以及知識與思維方法之間的邏輯關(guān)系.

結(jié)束語

總之，教師在教學(xué)時加以思維導(dǎo)圖，首先可以作為突破學(xué)生解題難的一種教學(xué)策略，有效地更新學(xué)生的認(rèn)知方式，啟發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和課堂參與的興趣，提高教學(xué)效果;其次作為學(xué)生“學(xué)”的策略，能促進(jìn)學(xué)生在未知與已知之間搭建起一條邏輯線，能夠突破學(xué)生的解題障礙，它還可以充分發(fā)揮學(xué)生的主動性、團(tuán)隊意識和自我創(chuàng)造能力;最后，在數(shù)學(xué)教學(xué)中使用思維導(dǎo)圖，學(xué)生可以在教師的指導(dǎo)下通過“識圖——繪圖——用圖”獨立學(xué)習(xí)，能運用掌握的知識分析問題、解決問題，從而達(dá)到提高數(shù)學(xué)能力和學(xué)習(xí)解決問題的目的.