吳麗嬌

(福建船政交通職業(yè)學(xué)院，福建 福州 350000)

0 引言

經(jīng)過(guò)多年的研究，求非線性微分方程精確解的方法變得越來(lái)越多，許多學(xué)者利用不同方法在研究一些典型的非線性方程中，已經(jīng)獲得了一些很有意義的解.并且已經(jīng)發(fā)現(xiàn)很多典型的非線性偏微分方程有豐富的行波解.近年來(lái)，像積分分支法，廣義橢圓方程法，F(xiàn)-展開法等都被廣泛運(yùn)用于求解非線性偏微分方程的領(lǐng)域中.這三種數(shù)學(xué)方法一直都是非線性分析很好的工具.除此之外，還發(fā)現(xiàn)了很多其他求解非線性偏微分的方法，例如：逆散射方法，擴(kuò)展的雙曲正切方法，維爾斯特拉斯函數(shù)方法，指數(shù)函數(shù)展開法方法，對(duì)稱性方法，Baclund變換方法，同倫分析方法，達(dá)布變換方法，廣田的雙線性方法，正弦余弦方法，平面動(dòng)力系統(tǒng)分支方法，輔助方程方法和The simpleast equation方法等等.吳登輝等人(2017)提出利用四階偏微分方程計(jì)算方法，結(jié)合圖像去噪可以有效去除圖像中的斑點(diǎn)噪聲[1].代慧菊等人(2019)提出利用B?cklund變換結(jié)合李對(duì)稱分析方法、冪級(jí)數(shù)展開法獲得精確解[2].官翠婷等人(2018)提出結(jié)合Jensen不等式解決方程初邊值問題可以產(chǎn)生爆破現(xiàn)象[3].基于此，可以看出，利用簡(jiǎn)便方法獲得了一些非線性偏微分方程的很多孤立子解和周期波解，同時(shí)在簡(jiǎn)便方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，提出了一種新的簡(jiǎn)便方法，并將其應(yīng)用于求解.

1 一階非線性偏微分方程確定方法

1.1 一階非線性偏微分方程

經(jīng)過(guò)多年的研究，求非線性微分方程精確解的方法變得越來(lái)越多，許多學(xué)者利用不同方法在研究一些典型的非線性方程中，已經(jīng)獲得了一些很有意義的解.并且已經(jīng)發(fā)現(xiàn)很多典型的非線性偏微分方程有豐富的行波解.例如： CH方程：ut-uxxt+2kux+3uux=2uxuxx+uuxxx，有孤立尖波解等行波解.CH-γ方程：ut+c0ux+3uux-α2(uxxt+uuxxx+3uxuxx)+γuxxx=0，有緊孤子解和廣義紐子波解.著名的KdV方程：ut-6uux+uuxxx=0，有光滑的孤立波解.除此之外，還有double Sine-Gordon方程，Variant Boussinesq方程，(2+1)-dimensional KdV方程都有豐富的行波解.運(yùn)用這種簡(jiǎn)便方法求解下面四階非線性偏微分方程如(1)所示：

(ku+γu2)xx+μuxxtt=νuuxxxx+αuxuxxx+βuxx2+utt，

(1)

到目前為止，已有一些學(xué)者對(duì)此進(jìn)行研究，例如Meleshko用一種新算法將該方程轉(zhuǎn)換成三階線性偏微分方程.Clarkson和Priestley用推廣的tanh方法和cosh-sinh方法求出了該方程的周期波解，類孤子解等.

1.2 非線性波方程

對(duì)于一個(gè)關(guān)于獨(dú)立變量u的一類非線性偏微分方程如(2)所示：

H1(u,ux,ut,uxx,uxt,utt,…)=0，

(2)

該方法通過(guò)下面四個(gè)步驟尋找非線性偏微分方程的精確解：

步驟一: 如(3)所示

u(x,t)=φ(x,t)+R

(3)

其中R任意常數(shù)，將變換(3)代入(2)中，則(2)轉(zhuǎn)換為下面的形式，如(4)所示：

H2(φ,φx,φt,φxx,φxt,φtt,…)=0.

(4)

步驟二: 確定常數(shù)R的值.

令

Φ=φ-α2φxx

(5)

其中α≠0.將(5)代入(4)中，使(4)的各項(xiàng)表達(dá)式都包含Φ或者Φ的各階導(dǎo)數(shù)，根據(jù)方程各項(xiàng)之間系數(shù)的關(guān)系，得出R的取值.

例如：考慮如下偏微分方程[4]，如(6)所示：

ut+2kux-uxxt+2uux=uxuxx+uuxxx

(6)

其中k是一個(gè)常數(shù).將(3)帶入(6)中結(jié)果如(7)所示：

φt+2kφx-φxxt+2φφx+2Rφx=φxφxx+φφxxx+Rφxxx

(7)

(7)可轉(zhuǎn)換如(8)所示：

(φ-φxx)t+φx(φ-φxx)+φ(φ-φxx)x=-(2R+2k)φx+Rφxxx

(8)

由(5)計(jì)算，取α2=1得如(9)所示：

Φt+φxΦ+φΦx=-(2R+2k)φx+Rφxxx

(9)

為了使(9)的每一項(xiàng)都包含Φ或者Φ的各階導(dǎo)數(shù)，必須如(10)所示：

-(2R+2k)=-R

(10)

即，如(11)所示：

R=-2k.

(11)

將(11)代入(9)得如(12)所示：

Φt+φxΦ+φΦx=2kΦx.

(12)

步驟三: 求解方程Φ=0的解.注意到Φ=φ-φxx=0是一線性偏微分方程，因此容易得到該方程的更一般形式的解.

步驟四: 獲得(2)的精確解.(5)的變形，(12)的每一項(xiàng)都包含Φ或者Φ的各級(jí)導(dǎo)數(shù).則當(dāng)φ(x,t)是方程Φ=0的解時(shí)，φ(x,t)也是(4)的解.實(shí)際上，在(12)中，當(dāng)φ(x,t)是方程Φ=0的解時(shí)，φ(x,t)也是(12)的解.通過(guò)改變常數(shù)t的取值來(lái)擴(kuò)展方程Φ=0的基礎(chǔ)解，從而得到(2)的一系列的精確解.

1.3 算法模擬擴(kuò)展

假如當(dāng)(2)可化為-kΦxx-Φtt=0的形式時(shí)，可令Φ=ct+dx或Φ=φ-φxx=x2-kt2，當(dāng)φ(x,t)是方程φ-φxx=ct+dx的解或是φ-φxx=ct2-kx2解時(shí)，則它也是(2)的解.在計(jì)算過(guò)程的第四步中，只要在方程Φ=ct+dx或Φ=x2-kt2的基礎(chǔ)解之上進(jìn)行擴(kuò)充，就可以得到(2)的一系列精確解.從以上的構(gòu)造可以看出，根據(jù)不同的方程，使Φ取不同的形式，最終只要能夠轉(zhuǎn)化為每一項(xiàng)都包含Φ或者Φ的各階導(dǎo)數(shù)的方程，就可以用這種擴(kuò)展后的簡(jiǎn)便方法求解[5].

2 一類四階非線性偏微分方程的求解

2.1 精確解

運(yùn)用這種簡(jiǎn)便方法求解四階非線性偏微分方程如(13)所示：

(ku+γu2)xx+μuxxtt=νuuxxxx+αuxuxxx+βuxx2+utt

(13)

其中k，γ，μ，ν，α，β為任意常數(shù).令u(x,t)=φ(x,t)+R，將其代入(13)的結(jié)果如(14)所示：

(k+2γR)φxx+2γφx2+2γφφxx+μφxxtt-νφφxxxx-νRφxxxx-

αφxφxxx-βφxx2-φtt=0

(14)

根據(jù)步驟二，(14)可轉(zhuǎn)換如(15)所示：

((k+2γR)φ-νRφxx)xx+φx(2γφ-αφxx)x+φ(γφ-νφxx)xx+

φxx(γφ-βφxx)-(φ-μφxx)tt=0.

(15)

令Φ=φ-φxx，為了使(15)的每一項(xiàng)包含Φ或者Φ的各級(jí)導(dǎo)數(shù)，則(15)的系數(shù)必須滿足如(16)所示：

μ=1,2γ=α,γ=β,γ=ν,k+2γR=νR

(16)

求解(16)得如(17)所示：

(17)

則(15)可變?yōu)槿?18)所示：

-k(φ-φxx)xx+2γφx(φ-φxx)x+γφ(φ-φxx)xx+

γφxx(φ-φxx)-(φ-φxx)tt=0

(18)

注意到Φ=φ-φxx，(18)可變?yōu)槿?19)所示：

-kΦxx+2γφxΦx+γφΦxx+γφxxΦ-Φtt=0

(19)

2.2 情形計(jì)算模擬

當(dāng)γ≠0時(shí)，考慮方程Φ=0.即如(20)所示:

φ-φxx=0

(20)

容易求出(20)的基本解組如(21)所示：

φ(x,t)=A(t)ex+B(t)e-x

(21)

其中A(t)，B(t)是任意函數(shù).當(dāng)B(t)=0時(shí)，如(22)所示：

φ(x,t)=A(t)ex

(22)

當(dāng)A(t)=0時(shí)，如(23)所示：

φ(x,t)=B(t)e-x

(23)

則(22)和(23)均為(20)的解，如(24)、(25)所示：

(24)

(25)

可得(26)、(27)也是(20)的解：

φ(x,t)=B(t)e|x|

(26)

φ(x,t)=B(t)e-|x|

(27)

此外，當(dāng)A(t)≠B(t)時(shí)，由(24)、(25)同樣可以構(gòu)造如(28)所示：

(28)

從而可以得出如(29)也是(20)的解：

φ(x,t)=A(t)e|x|+B(t)e-|x|

(29)

由于A(t)，B(t)是任意函數(shù)，則可以擴(kuò)展解(21)如(30)所示[6]：

φ(x,t)=A(t)ex-c1t+B(t)e-x+c2t

(30)

其中c1，c2為任意常數(shù).

不妨假設(shè)00時(shí)，則有0

(31)

從(31)中可以得出如(32)也是(20)的解：

φ(x,t)=A(t)e|x-c1t|+B(t)e-|x-c2t|

(32)

除此之外，還能擴(kuò)展(21)如(33)所示：

φ(x,t)=A(t)ex-p(t)+B(t)e-x+q(t)

(33)

其中p(t)，q(t)為任意函數(shù).通過(guò)檢驗(yàn)，(33)也是(20)的解.

相類似地，由于p(t),q(t)是任意函數(shù)，不妨設(shè)0

(34)

由(34)可以得如(35)也是(20)的解：

φ(x,t)=A(t)e|x-p(t)|+B(t)e-|x-q(t)|

(35)

(36)

(37)

其中Ai(t),Bj(t),pi(t),和qj(t)是任意函數(shù)，i=1,2,···,N；j=1,2,…,M和N,M是任意正整數(shù).類似構(gòu)造(20)的解，可得如(38)、(39)所示也是(20)的解：

(38)

(39)

根據(jù)雙曲函數(shù)的定義，(20)不同表達(dá)形式的特殊解可通過(guò)(36)、(37)構(gòu)造出來(lái)，如(40)、(41)所示：

(40)

(41)

構(gòu)造(20)的shockpeakon解，每一種shockpeakon解的形式類似如(42)所示：

(42)

其中A,B是任意常數(shù)且A≠B.因此(20)有下面形式的解，如(43)所示:

φ(x,t)=Ae-|x|-Bsgn(x)e-|x|

(43)

再通過(guò)(44)計(jì)算：

(44)

可得如(45)同樣也是(20)的shockpeakon解：

φ(x,t)=A(t)e-|x|-B(t)sgn(x)e-|x|

(45)

同理可得如(46)也是(20)的shockpeakon：

φ(x,t)=A(t)e-|x-p(t)|-B(t)sgn(x)e-|x-p(t)|

(46)

它能通過(guò)如(47)構(gòu)造出來(lái)：

(47)

其中x是任意給定的常數(shù).類似的，(43)，(45)，(46)也可以擴(kuò)展為如(48)-(50)所示：

(48)

(49)

(50)

值得注意的是，從上面的這些構(gòu)造過(guò)程中，可以得到(20)的其它精確解.

當(dāng)k≠0，γ=0時(shí)，則(19)可化為如(51)所示：

-kΦxx-Φtt=0

(51)

此時(shí)，有兩種設(shè)法可解(51).

方法一 如(52)所示：

Φ=φ-φxx,φ-φxx=cx+dt

(52)

其中c,d是任意常數(shù).

通過(guò)計(jì)算可以求出(52)的基本解組為如(53)所示：

φ(x,t)=A(t)ex+B(t)e-x+cx+dt

(53)

其中A(t),B(t)是任意函數(shù).

同理，通過(guò)擴(kuò)展基本解組，可得(53)的下列解，如(54)-(62)所示：

(54)

(55)

(56)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(62)

滿足(52)的解也是(51)的解.

方法二 如(63)所示:

Φ=φ-φxx,φ-φxx=x2-kt2

(63)

其中k是任意常數(shù).它的基本解組如(64)所示：

φ(x,t)=A(t)ex+B(t)e-x+2-kt2+x2

(64)

其中A(t),B(t)是任意函數(shù).

同理，通過(guò)擴(kuò)展基本解組，可得(63)的下列解，如(65)-(73)所示：

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

(70)

(71)

(72)

(73)

滿足(63)的解也是(51)的解.

2.3 精確解波形圖分析

根據(jù)所求得的精確解，利用Maple軟件將幾個(gè)典型的波形圖繪制如圖所示：

繪圖時(shí)都取γ=1,k=-4,M=1,N=1.

1)A(t)=sin(t),B(t)=cos(t),x∈[-20,20],t∈[-4,4]時(shí)，其波形圖如圖1所示.

2)A(t)=sin(t),B(t)=cos(t),x∈[-20,20],t∈[-10,10]時(shí)，其波形圖如圖2所示.

3)A(t)=sin(t),B(t)=cos(t),x=-2,t∈[-3,2.3]時(shí)，其波形圖如圖3所示.

4)A(t)=sinh(t),B(t)=cosh(-t),x=[-1,1],t∈[-50,50]時(shí)，其波形圖如圖4所示.

5)A(t)=sinh(t),B(t)=cosh(-t),x=[-1,1],t=50時(shí)，其波形圖如圖5所示.

6)A(t)=sinh(t),B(t)=cosh(-t),t∈[-52,60]時(shí)，其波形圖如圖6所示.

圖1 x∈[-20,20],t∈[-4,4]時(shí)波形圖圖2 x∈[-20,20],t∈[-10,10]時(shí)波形圖

圖3 x=-2,t∈[-3,2.3]時(shí)波形圖圖4 x=[-1,1],t∈[-50,50]時(shí)波形圖

圖5 x=[-1,1],t=50時(shí)波形圖圖6 t∈[-52,60]時(shí)波形圖

3 結(jié)論

研究求解非線性偏微分的精確解.得出了一種有效簡(jiǎn)便方法來(lái)求解.和其他方法相比較，這種方法更簡(jiǎn)單直接，避免了很多繁瑣重復(fù)的計(jì)算步驟.用這種簡(jiǎn)便方法求解一類四階非線性偏微分方程，得到了它的一般解的表現(xiàn)形式.利用數(shù)學(xué)軟件MAPLE，通過(guò)參數(shù)取值得了該方程的一些特殊解，包括孤立子精波解、單峰解、多峰解、多重波解、緊孤子解，廣義紐子波解、呼吸子解、爆破波峰解、三角函數(shù)解、雙曲函數(shù)解及它們的混合解.