胡習之，徐聰聰，蔣智慧

（華南理工大學 機械與汽車工程學院，廣州 510640）

壓電驅(qū)動是壓電材料的重要應(yīng)用，壓電振子作為一種重要的能量轉(zhuǎn)換的元器件，具有結(jié)構(gòu)簡單、結(jié)構(gòu)形狀靈活多變等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用到工業(yè)中的微型控制系統(tǒng)。例如：基于超聲行波驅(qū)動的汽車前風擋玻璃除雨系統(tǒng)。研究基于超聲行波驅(qū)動的壓電振子的模態(tài)對基于超聲行波驅(qū)動的汽車前風擋除雨系統(tǒng)的設(shè)計具有重要意義。

仉家政[1]利用ANSYS 軟件分析壓電式自動除雨系統(tǒng)的驅(qū)動部分，分析了除雨器的理想工作頻率范圍，對壓電振子進行了振動模態(tài)分析，并初步探討其特性，為除雨系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計提供了理論依據(jù)。劉建芳等[2]制作了一種利用壓電振子作為驅(qū)動源的汽車后視鏡除雨器樣機，對其關(guān)鍵部件壓電振子進行了仿真分析，結(jié)果表明：鏡面振幅在諧振頻率處除雨效果最優(yōu)。焦曉陽等[3]提出了一種利用壓電晶片振子作為驅(qū)動源的汽車后視鏡除雨裝置，建立了有限元模型，對壓電振子進行了模態(tài)分析，試驗分析了壓電晶片振子的靜態(tài)特性和動態(tài)特性，得到了壓電振子的諧振頻率，并對除雨裝置進行了試驗分析。唐春秀[4]利用ANSYS 軟件建立壓電振子的分析模型，對其進行模態(tài)分析及諧響應(yīng)分析，確定一階振型為純彎曲振型，并且當激勵頻率為壓電振子的諧振頻率時，壓電振子響應(yīng)位移最大，最具驅(qū)動能力。此外，文獻[5]～[10]建立了相應(yīng)的壓電振子有限元模型，研究了壓電振子模態(tài)與尺寸參數(shù)的關(guān)系以及變化規(guī)律。

雖然關(guān)于壓電振子的模態(tài)分析已經(jīng)有了較多的研究，但針對基于超聲行波驅(qū)動的平板模型液滴運動研究很少。為了分析超聲行波驅(qū)動液滴運動的可行性，利用壓電陶瓷的逆壓電效應(yīng)作為驅(qū)動液滴運動的驅(qū)動源，提出彈性體平板的液滴驅(qū)動模型。建立了壓電振子和彈性體平板的有限元模型，使用COMSOL Multiphysics 多物理場仿真軟件進行了壓電陶瓷模態(tài)分析和頻率分析，探究了彈性體平板模態(tài)，確定了壓電陶瓷的激勵頻率。通過試驗證明了以超聲行波作為驅(qū)動來清除汽車前風擋雨滴具有一定的可行性。

1 彈性體平板的液滴驅(qū)動模型

在超聲行波微流體驅(qū)動中，體波在彈性體中傳播，利用彈性體的模態(tài)進行運動，而超聲波則產(chǎn)生聲流力和聲輻射作用力，當作用力足夠驅(qū)動液滴時，液滴將發(fā)生移動。在實際應(yīng)用中，通常因為彈性體平板材料的阻尼作用，會產(chǎn)生能量耗散，同時平板表面的液滴吸收行波的驅(qū)動作用，使超聲行波的能量逐漸衰減。由波的疊加原理可知，平板表面將形成衰減的行波。圖1 為彈性體平板模型產(chǎn)生超聲行波的機理，其中a為陶瓷壓片間的間距。彈性體平板超聲行波驅(qū)動模型利用平板表面貼附的壓電陶瓷產(chǎn)生逆壓電效應(yīng)激起衰減行波，從而驅(qū)動彈性體平板表面液滴沿行波方向移動。

圖1 彈性體平板模型產(chǎn)生超聲行波機理

兩駐波方程分別為：

式中：A為駐波振幅；ω為振動角頻率；k為波數(shù)；φ為振動相位差。

分別將式（1）和式（2）展開，可得：

通常兩激勵電壓的相位差為90°，即有：

則式（4）化簡為：

對比式（3），令

由于k= 2，則有：

即

因此，式（2）最終化簡為：

則兩駐波合成后能夠產(chǎn)生單向行波。

當用多點激勵產(chǎn)生行波時，只要兩兩之間滿足在空間上和相位上相差90°即可。

依據(jù)以上超聲行波理論，建立彈性體平板的液滴驅(qū)動模型，如圖2 所示。該模型結(jié)構(gòu)較為簡單，在玻璃左端表面依次貼上4 片壓電陶瓷，極化方向均為z方向，壓電陶瓷與玻璃的接觸面統(tǒng)一為接地，另一面分別通以正弦交流電為Usin（ωt）、Ucos(ωt)、-Usin(ωt)以 及-Ucos(ωt)，其 中U為驅(qū)動電壓幅值，利用壓電陶瓷的逆壓電效應(yīng)，形成時間上和空間上分別相差90°的駐波，在玻璃中形成超聲行波，從而驅(qū)動液滴移動。

圖2 彈性體平板液滴驅(qū)動模型

2 壓電振子的二維數(shù)值計算模型

從驅(qū)動液滴的工作原理可知，壓電振子作為驅(qū)動源，其振動模態(tài)對液滴的驅(qū)動效果起著至關(guān)重要的作用，因此，對壓電振子進行有限元模態(tài)分析。

2.1 計算模型參數(shù)

所研究的復合壓電超聲換能器是一個長方體的幾何結(jié)構(gòu)，由一個壓電陶瓷（PZT-4）、一個銀層、一個銅層和兩個粘結(jié)層構(gòu)成，這些層的結(jié)構(gòu)順序為：銀層-粘結(jié)層-壓電陶瓷-粘結(jié)層-銅層，其中銀層厚度為1 μm，銅層為厚度0.1 mm 的銅片，從而在壓電晶體兩端施加電極。

考慮到壓電陶瓷層對振動模態(tài)具有主要作用，建模時對模型進行簡化，忽略其它層的影響，采用COMSOL Multiphysics 多物理場仿真軟件對PZT-4晶片進行數(shù)值仿真。圖3 為簡化后的PZT-4 晶片二維仿真模型，根據(jù)超聲行波理論選取壓電振子的結(jié)構(gòu)參數(shù)為L= 5π/4 mm，h= 1 mm。

圖3 二維模型計算域示意圖

2.2 材料參數(shù)

壓電陶瓷PZT-4 的密度為7 500 kg/m3，壓電陶瓷PZT-4 的壓電矩陣為[12-15]：

相對介電常數(shù)矩陣為：

彈性矩陣為：

2.3 邊界條件

多物理場耦合了結(jié)構(gòu)力學模塊和靜電模塊。通常在3D 笛卡爾坐標系中，壓電陶瓷的材料參數(shù)為沿z方向極化，選擇材料的方向為xz平面，材料的x方向與默認坐標系的x方向重合。在研究中，將x-y坐標系設(shè)置為默認坐標系。

（1）初始條件

初始位移場為：

初始結(jié)構(gòu)速度場為：

（2）靜電邊界條件

根據(jù)圖2 設(shè)置壓電振子電學邊界條件，其中邊界Ω1為接地，邊界Ω2為電壓終端，且電壓為10 V，邊界Ω3、Ω4絕緣。

2.4 網(wǎng)格劃分

矩形幾何模型適合四邊形單元，對規(guī)則的矩形壓電晶片建立映射網(wǎng)格，利用分布網(wǎng)格控制不同邊的網(wǎng)格數(shù)量，分布屬性選擇固定單元數(shù)目，邊界Ω1的固定單元數(shù)為100 個，邊界Ω3的固定單元數(shù)為50 個，計算域的網(wǎng)格模型單元總數(shù)為5 000 個，邊單元總數(shù)為300 個，頂點單元總數(shù)為4 個，圖4 為PZT-4 壓電片的網(wǎng)格劃分。

圖4 PZT-4 壓電片的網(wǎng)格劃分

3 仿真結(jié)果

3.1 自由邊界條件下的振動模態(tài)

利用COMSOL Multiphysics 多物理場仿真軟件對壓電陶瓷進行模態(tài)分析，得到二維矩形壓電陶瓷彎曲振動的前6 階模態(tài)以及x、y方向的位移云圖。壓電振子前6 階模態(tài)如圖5 所示，其中以紅色代表正值，藍色代表負值，顏色越深代表數(shù)值的絕對值越大，即相對振動位移越大。各階振動模態(tài)的固有頻率值見表1。

圖5 壓電振子前6 階模態(tài)

表1 二維矩形壓電陶瓷各階振動模態(tài)的固有頻率值

采用COMSOL 軟件提供的直線進入方法提取壓電振子邊界Ω2的位移，圖6 為前6 階模態(tài)x軸方向相對位移，圖7 為前6 階模態(tài)y軸方向相對位移。根據(jù)壓電振子的振動模態(tài)理論，結(jié)合圖5 和圖6 可知，第2 階模態(tài)對應(yīng)為壓電振子的橫向振動模態(tài)，在該模態(tài)下，x和y方向的相對位移較其它模態(tài)都大得多。

圖6 前6 階模態(tài)x 軸方向相對位移

圖7 前6 階模態(tài)y 軸方向相對位移

3.2 自由邊界條件下的諧振頻率

利用COMSOL Multiphysics 多物理場仿真軟件進行頻率掃描的頻域分析，初始頻率為20 kHz，終止頻率為1 000 kHz，掃描頻率步長為2 kHz，在后處理結(jié)果中建立一維繪圖組，使用全局繪圖，可得到壓電振子任意一點的導納頻率響應(yīng)曲線，如圖8所示。由圖8 可知，在頻率為4.388 8×105Hz 處，壓電振子導納圖在諧振頻率附近都出現(xiàn)了一個峰值點和谷值點，電壓相位在峰值點和谷值點之間發(fā)生突變。這是由于將交流電壓施加于壓電振子上，壓電振子產(chǎn)生機械變形，同時由于機械變形導致正壓電效應(yīng)產(chǎn)生了一定的電壓，對所施加的交流電壓進行反饋。當外加交流電壓的頻率與壓電振子的機械諧振頻率接近時，壓電振子的機械振動幅度將變得更大，驅(qū)動電壓與反饋電壓同相相加，流過壓電振子的電流最大，此時對應(yīng)壓電振子的導納最大，即阻抗最小。

因此，前6 階模態(tài)中，只有第2 階模態(tài)為壓電振子的橫向振動模態(tài)，其它模態(tài)為一般結(jié)構(gòu)力學模態(tài)。

圖8 壓電振子的輸入導納隨頻率變化的響應(yīng)曲線

3.3 懸臂梁的固有模態(tài)和固有頻率

施加在壓電陶瓷上的激勵信號頻率不同，彈性體平板模型產(chǎn)生的振動模態(tài)也就不同，在不同模態(tài)下液滴的驅(qū)動效果是不同的，即存在一個最佳模態(tài)匹配的問題。在超聲波頻率以上的激勵信號下找到最佳的共振模態(tài)，就需要對模型進行模態(tài)分析。采用COMSOL Multiphysics 多物理場仿真軟件的結(jié)構(gòu)力學模塊進行頻率分析，探究彈性體平板模態(tài)。

彈性體平板驅(qū)動模型利用了共振原理，通過激勵頻率等于彈性體平板的固有頻率，使彈性體平板在壓電陶瓷小應(yīng)變的作用下達到較大的振幅。當單獨對一個壓電陶瓷施加正弦激勵時，產(chǎn)生駐波，引起彈性體平板上的各點在y方向上以正弦規(guī)律運動。因此，彈性體平板上各點的振動形式設(shè)為：

式中：x為彈性體平板上各點的橫坐標；y為各點的縱坐標；f為施加于壓電陶瓷的交流電頻率；yn(x)為振型函數(shù)；n為振型的階次；A為壓電陶瓷的最大振幅；t為時間。

根據(jù)振動理論[16]，懸臂梁的頻率方程為：

式中：sn為頻率方程的解；l為彈性體平板的長度。

梁的固有頻率為：

懸臂梁作橫向彎曲自由振動時的模態(tài)函數(shù)為：

3.3.1 懸臂梁的低階模態(tài)分析

彈性體平板的材料選擇Glass（Quartz），彈性體平板的長度為150 mm，厚度為3 mm，密度為2 210 kg/m3，楊氏模量為7×1010Pa，泊松比為0.24，對于平板玻璃，左端為固定約束，右端為自由邊界條件。為了簡化建模，采用一端固定的懸臂梁代替玻璃平板。采用與第2 節(jié)一樣的建模方法，利用COMSOL Multiphysics 多物理場仿真軟件進行二維建模，基于模態(tài)疊加分析法，求得懸臂梁的前3 階模態(tài)，如圖9 所示。

通過式（15）計算得到懸臂梁前三階模態(tài)的固有頻率理論值，與有限元方法計算得到的數(shù)值解進行對比，見表2。

圖9 懸臂梁前3 階模態(tài)

表2 懸臂梁前3 階模態(tài)的理論值與數(shù)值解對比

由表2 可知，利用COMSOL Multiphysics 多物理場仿真軟件計算得到的懸臂梁自由狀態(tài)下前3 階模態(tài)的固有頻率與理論值相吻合，說明了所建立的懸臂梁有限元模型的合理性，因此，可以進行高階模態(tài)分析。

3.3.2 懸臂梁的高階模態(tài)分析

基于模態(tài)疊加分析法，在壓電陶瓷第1 階共振頻率2.212 1×105Hz 附近搜索懸臂梁的1 階模態(tài)，獲得了懸臂梁在壓電陶瓷第1 階模態(tài)附近的模態(tài)和位移云圖，如圖10 所示。圖11 為固有頻率為2.218×105Hz 懸臂梁的振型圖，可以看到x分量振型的幅值與y分量振型的幅值之比約為10。

基于模態(tài)疊加分析法，在壓電陶瓷第2 階共振頻率4.388 8×105Hz 附近搜索懸臂梁的1 階模態(tài)，獲得了懸臂梁在壓電陶瓷第2 階模態(tài)附近的模態(tài)和位移云圖，如圖12 所示。圖13 為固有頻率為4.336 7×105Hz 懸臂梁的振型圖，可以看到x分量振型的幅值與y分量振型的幅值之比約為0.8。

圖11 固有頻率為2.218×105 Hz 時懸臂梁的振型圖

對比圖11 和圖13，懸臂梁在固有頻率為2.218×105Hz 時，x分量的振幅與y分量的振幅相比要大得多，總位移的振幅波動較為平緩。而懸臂梁在固有頻率為4.336 7×105Hz 時，x分量的振幅與y分量的振幅相比要小，并且總位移的振幅波動較大。根據(jù)BORCIA 等[17]的研究結(jié)果，承載液滴的固體基底同時受到水平方向和垂直方向的諧波振動，并且水平方向與垂直方向振幅的比值為5，通過這種激勵方式，在慣性作用下沿著基底方向上液滴往返運動的對稱性被打破，因此引起液滴產(chǎn)生凈位移的受迫振動。

因此，選擇壓電陶瓷的第1 階共振頻率作為壓電陶瓷的激勵頻率。

4 壓電振子驅(qū)動液滴的試驗研究

4.1 試驗裝置和測量方法

試驗裝置如圖14 所示，該裝置由微量進樣器、貼有壓電陶瓷的平板玻璃、高速攝像儀、計算機、大功率信號源、強光光源、升降臺和試驗平臺組成。試驗液體采用普通自來水；使用WL3866A-200 寬帶大功率信號源，其頻率范圍為10 ～1 000 kHz，最大輸出功率為200 W，最大電壓240 V，滿功率輸出時頻率在500 ～1 000 kHz 的非線性失真度為＜5%；使用Photron FASTCAM Mini UX100 高速攝像儀，分辨率設(shè)為1 280×1 024 Pixels，采集幀數(shù)設(shè)定為4 000 幀/s；使用300 W 的冷光源作為強光光源。如圖15 所示，在玻璃左端表面依次貼上壓電陶瓷，貼有壓電陶瓷的一側(cè)朝下。由于只需反映液滴的運動，所以采用刻度尺進行液滴位移的測量。

圖14 試驗裝置

圖15 貼有壓電陶瓷的平板玻璃

4.2 試驗結(jié)果與分析

常溫下，以驅(qū)動電壓和驅(qū)動頻率為控制變量，利用壓電陶瓷產(chǎn)生超聲行波驅(qū)動液滴運動，同時研究液滴的運動狀態(tài)。

圖16 驅(qū)動電壓為32 V、驅(qū)動頻率為900 kHz 時不同時刻下液滴液氣界面運動狀態(tài)

試驗表明，在親水基底表面，當驅(qū)動電壓為32 V 時，驅(qū)動頻率低于800 kHz，液滴基本不動，液滴界面不晃動；驅(qū)動頻率大于800 kHz 時，液滴晃動劇烈，液/氣自由界面出現(xiàn)變形，但是液滴基本保持靜止。采用高速攝像儀拍攝液滴運動狀態(tài)，圖16 為驅(qū)動電壓為32 V、驅(qū)動頻率為900 kHz 時不同時刻下液滴液氣界面運動狀態(tài)。可以看出，液滴晃動更加劇烈，液/氣自由界面出現(xiàn)劇烈變形，但液滴整體仍然保持靜止。

保持驅(qū)動頻率為900 kHz 不變，繼續(xù)增加電壓，可以發(fā)現(xiàn)液滴晃動更加劇烈，液滴移動的趨勢非常顯著。圖17 為驅(qū)動電壓為100 V、驅(qū)動頻率為900 kHz 時液滴在單位時間內(nèi)的位移情況，從t1時刻到t2時刻，液滴從刻度為3.6 cm 的位置移動到了4.5 cm 位置，可知其位移為9 mm，由此看到液滴的移動速度約為9 mm/s。結(jié)果證明了彈性體平板液滴驅(qū)動模型的正確性，同時也表明，以超聲行波作為驅(qū)動來清除汽車前風擋雨滴具有一定的可行性。

5 結(jié)論

（1）對壓電陶瓷進行模態(tài)分析，在壓電陶瓷彎曲振動的前6 階模態(tài)中，只有第2 階模態(tài)為壓電振子的橫向振動模態(tài)，其它模態(tài)為一般結(jié)構(gòu)力學模態(tài)。在該模態(tài)下，x和y方向的相對位移較其它模態(tài)都大得多。

（2）在不同模態(tài)下液滴的驅(qū)動效果是不同的，即存在一個最佳模態(tài)匹配的問題。懸臂梁在固有頻率為2.218×105Hz 時，x分量的振幅與y分量的振幅相比要大得多，總位移的振幅波動較為平緩。而懸臂梁在固有頻率為4.336 7×105Hz 時，x分量的振幅與y分量的振幅相比要小，并且總位移的振幅波動較大。因此，選擇壓電陶瓷的第1 階共振頻率作為基于超聲行波驅(qū)動的汽車前風擋除雨系統(tǒng)中壓電陶瓷的激勵頻率。

（3）以驅(qū)動電壓和驅(qū)動頻率為變量，進行了利用壓電陶瓷產(chǎn)生超聲行波驅(qū)動液滴運動的試驗，驗證了彈性體平板液滴驅(qū)動模型的正確性，試驗結(jié)果也表明以超聲行波作為驅(qū)動來清除汽車前風擋雨滴具有一定的可行性。