馬占新 趙佳風

一、引 言

時間序列數(shù)據(jù)、截面數(shù)據(jù)和面板數(shù)據(jù)是決策單元的三種重要數(shù)據(jù)類型。數(shù)據(jù)包絡分析(data envelopment analysis，DEA)在分析截面數(shù)據(jù)和面板數(shù)據(jù)方面具有廣泛的應用，產生了重要影響。然而，DEA方法在測算時間序列數(shù)據(jù)方面發(fā)展緩慢且分歧較大。盡管時間序列DEA模型的提出已有30多年的歷史，但有關該模型的幾個重要問題一直沒得到很好解決：(1)時間序列DEA模型的理論基礎是什么？(2)時間序列DEA模型與基于截面數(shù)據(jù)的DEA模型的關系是什么？(3)如何更好地測算時間序列決策單元的效率？

首先，在截面數(shù)據(jù)分析方面，DEA方法成效顯著。Charnes等(1978)提出C2R模型以來，DEA方法不僅擴大了人們對生產理論的認識，也使得研究生產函數(shù)理論的主要技術手段由參數(shù)方法發(fā)展成為參數(shù)與非參數(shù)方法并重。Banker等(1984)針對生產可能集中的錐性假設不成立，給出了另一個評價生產技術有效的DEA模型-BC2模型。F?re等(1985)給出了滿足規(guī)模收益非遞增的DEA模型-FG模型。Seiford等(1990)給出了滿足規(guī)模收益非遞減的DEA模型-ST模型。上述模型系統(tǒng)地描繪了不同規(guī)模收益下多輸入多輸出生產系統(tǒng)的生產前沿狀況，在DEA理論中具有重要地位。

其次，在面板數(shù)據(jù)分析方面，DEA方法也產生了重要影響。目前，應用DEA方法評價面板數(shù)據(jù)的成果主要分為 Malmquist指數(shù) DEA 模型(Malmquist，1953；Caves等，1982；F?re等，1992)和 DEA 窗口分析模型(Charnes等，1984)兩大類。Malmquist指數(shù)DEA模型將Malmquist生產率指數(shù)分解為技術進步指數(shù)和綜合效率指數(shù)，而綜合效率指數(shù)又可以進一步分解為純技術效率變化指數(shù)和規(guī)模效率變化指數(shù)。DEA窗口分析模型由Charnes A等人于1984年首次提出，該模型通過窗口移動的方法來評價決策單元的效率(Cullinane，2004；Bowlin，1987)。

最后，在時間序列數(shù)據(jù)分析方面，盡管有關DEA的研究較少，但也取得了一些很有價值的成果。Diewert等(1983)在討論技術進步的影響時首次涉及到了純時間序數(shù)據(jù)。F?re等(1985)在有關菲律賓農業(yè)部門的技術效率研究中使用時間序列數(shù)據(jù)進行效率測度和分解，其處理方式受到Diewert等(1983)思想的影響。1998年，Lynde等專門提出了針對時間序列數(shù)據(jù)的FG模型，并將生產率分解為技術變化、技術效率和要素強度指數(shù)三部分(Lynde和 Richmond，1998)。王兵等(2006)沿用 Lynde等的思想，應用 CCR模型對中國1952—2006年的生產率進行實證分析。馬占新等(2002)從偏序集理論出發(fā)給出了帶有權重約束的時間序列DEA模型，并應用該模型分析了中國某省的經濟效率狀況。藍以信等(2014)給出了隨機時間序列DEA模型。

由于生產函數(shù)的構造要求技術水平不變，而時間序列數(shù)據(jù)在不同時間點上的技術水平可能發(fā)生了變化，因而DEA方法是否可以測算時間序列決策單元效率和是否可以使用不同時間下的投入產出數(shù)據(jù)構造生產前沿面一直存在眾多分歧。為了尋找DEA方法測算時間序列決策單元效率的理論基礎和更有效的測算方法，本文首先給出了時間序列 DEA模型成立的條件和基礎。然后，從經驗生產函數(shù)的構造出發(fā)，給出了一種測算時間序列決策單元的 DEA模型，并解析了各種時間序列 DEA模型的優(yōu)點和不足，從理論上討論了不同時間序列DEA模型給出的效率之間的關系。同時，還給出了測算時間序列決策單元技術進步的方法。最后，應用本文結論分析了廣東省1985—2013年經濟發(fā)展的效率問題。

二、時間序列DEA模型

在以往有關時間序列DEA模型文獻中，均直接使用時間序列數(shù)據(jù)測算決策單元的效率，并沒有從理論上解釋其合理性。為了進一步分析時間序列DEA模型的理論基礎，以下首先對目前比較重要的純時間序列DEA模型進行簡要介紹和梳理①為了便于閱讀和比較，本文對原始模型中的符號進行了統(tǒng)一。。

（一）FGG-DEA模型

F?re等(1985)給出了一個時間序列DEA模型，并應用該模型分析了菲律賓農業(yè)部門1948—1967年的技術效率。該模型為了避免非有效和技術進步之間的混淆，采用被評價單元所在年份及其之前年份的數(shù)據(jù)構造生產前沿面，同時該模型是針對多投入單產出的情況給出的。其對應的模型和生產可能集如下。

假設已獲得某一決策單元 T個時段的輸入輸出數(shù)據(jù)，其中第 t個時刻的投入對應一個總產出yt，令，則有以下模型：

當δ=0時，F(xiàn)GG-DEA模型為滿足規(guī)模收益不變的時間序列DEA模型；當δ=1時，F(xiàn)GG-DEA模型為滿足規(guī)模收益可變的時間序列DEA模型；對應的生產可能集為：

（二）LR-DEA模型及其拓展

Lynde等(1998)認為，時間序列數(shù)據(jù)在不同時間段對應的生產技術是不同的，且很難區(qū)分技術變化和技術效率的影響，所以作者給出了一個可以將技術變化融入 DEA框架的時間序列DEA模型。

其對應的生產可能集為：

2006年，王兵等(2006)在對中國1952—2006年的生產率分析中應用了 Lynde等(1998)的思想，給出基于CCR模型的時間序列DEA模型如下：

其對應的生產可能集為：

（三）WH-DEA模型

2002年，馬占新等(2002)從偏序集的角度出發(fā)，將非期望產出和權重約束融入DEA模型中，給出了帶有權重約束和非期望產出的時間序列DEA模型。

假設已獲得某一決策單元 T個時段的輸入輸出數(shù)據(jù)，其中第 t時刻的投入為期望產出為非期望產出為權重約束滿足則WH-DEA模型可表示如下：

另外，還有隨機時間序列DEA模型(藍以信和王應明，2014)等，因篇幅限制不做一一介紹。

生產函數(shù)是描繪在技術水平不變情況下各種生產要素與所能生產的最大產出之間的關系。從上面的模型看，這些模型均使用了時間序列數(shù)據(jù)來模擬經驗生產函數(shù)，而對于一組時間序列數(shù)據(jù)而言，在不同時間點上決策單元的技術水平一般發(fā)生了變化，這顯然是和生產函數(shù)的定義相背離的。因此，時間序列DEA模型應該對這一問題給出合理解釋，而相關文獻并沒有對這一問題給出回答。為此，下文將進一步探討時間序列DEA的基礎和含義。

三、測算時間序列數(shù)據(jù)DEA模型的理論基礎

下面首先從多投入多產出生產系統(tǒng)的角度出發(fā)，探討生產函數(shù)與經驗生產可能集之間的關系，然后給出應用時間序列數(shù)據(jù)構造經驗生產可能集的理論基礎。

（一）時間序列數(shù)據(jù)構造經驗生產可能集應滿足的條件

假設決策者已經測得某個生產系統(tǒng)在T個時間段上的一組時間序列數(shù)據(jù)如下：

（二）不同規(guī)模收益情況下決策單元的生產可能集構造與有效性定義

下面在基于截面數(shù)據(jù)構造生產可能集思想的基礎上，探討應用時間序列數(shù)據(jù)構造生產可能集的基礎。

1.基于截面數(shù)據(jù)的生產可能集的構造

假設PT是某生產系統(tǒng)在T時刻的真實生產可能集：

首先，介紹以下幾個公理體系(魏權齡，2004)。

該公理指：T時刻生產系統(tǒng)已經存在的一組生產活動(xj,yj),j=1,2,…,n理所當然是生產可能集中的一種投入產出關系。

(2)凸性公理：對任意的(x,y)∈PT和，以及任意的即如果分別以的λ及1-λ比例之和輸入，可以產生分別以的相同比例之和的輸出。

(3)無效性公理：若(x,y)∈PT，并且

該公理指：以較多的投入和較少的產出進行生產總是可能的。

(4i)錐性公理：對任意(x,y)∈PT和實數(shù)k≥0，均有

該公理指：若以投入量x的k倍進行輸入，那么輸出量也以原來產出y的k倍產出是可能的。

(4ii)收縮性公理：對任意(x,y)∈PT和實數(shù)k∈（0,1]，均有

該公理指：生產方式是可以縮小規(guī)模的。

(4iii)擴張性公理：對任意(x,y)∈PT和實數(shù)k≥1，均有

該公理指：生產方式是可以擴大規(guī)模的。

(5)最小性公理：生產可能集PT是滿足公理(1)～公理(3)，或者公理(1)～公理(3)以及公理(4i)、(4ii)、(4iii)三者之一的所有集合的交集。

2.基于時間序列數(shù)據(jù)的生產可能集的構造

首先，證明以下幾個結論成立。

證明：對任意(x,y)∈PT和任意以及任意的由于函數(shù)為凹函數(shù)，可知，所以所以，凸性公理成立。

若(x,y)∈PT，并且則有。由于函數(shù)為單調遞增函數(shù)，因此所以，故有。所以，無效性公理成立。證畢。

證明：(1)若(x,y)∈PT，k≥0，則有x≥0，F(xiàn)T(x)≥y。所以，kx≥0，(2)若(x,y)∈PT，k∈(0,1]，則有x≥0，所以，(3)若。所以，證畢。

定理1表明：在生產系統(tǒng)技術進步不可逆的情況下，時間序列數(shù)據(jù)的投入產出關系在T時刻也是可以實現(xiàn)的。也就是在T時刻有一組生產關系，它的投入產出值和是相等的。這時可以將看成是T時刻的一組截面數(shù)據(jù)。同時，在由定理2和定理3的假設下，T時刻的生產可能集PT滿足公理(2)～公理(3)，或者公理(2)～(3)以及(4i)、(4ii)、(4iii)三者之一。因此，根據(jù)DEA構造生產可能集的原理，由確定的T時刻經驗生產可能集為：

圖1 時間序列數(shù)據(jù)確定的生產可能集

如圖1，假設A點、B點和C點分別是T時刻的一組生產關系，它們是一組截面數(shù)據(jù)，它們的投入產出值恰好等于這樣在規(guī)模收益可變的情況下，A點、B點和C點確定的T時刻的經驗生產可能集即為圖中陰影所示的部分。這時

TS-DEA有效的含義為決策者以T時刻生產系統(tǒng)的最佳經驗生產前沿為評價標準，如果T時刻的經驗生產可能集PSerT中不存在一種生產方式比更有效，即在投入不變的情況下產出更大，或者在產出不變的情況下投入更小，則認為t時間決策單元的生產是有效的。

四、不同數(shù)據(jù)結構條件下時間序列決策單元的有效性測算

在現(xiàn)實生活中由于保密、沒有統(tǒng)計機構和數(shù)據(jù)獲取困難等多種原因，有時很難獲得完整的面板數(shù)據(jù)，這時就只能依據(jù)時間序列數(shù)據(jù)進行評價。從本質上看，DEA方法評價的是相對效率，就是在實際生產可能集PT中選擇若干點來構造經驗生產函數(shù)，進而考慮這些點之間的相對有效性。由于所以從這個角度看，PT的經驗生產可能集PSerT的構造完全符合DEA方法的思想。因此，以下根據(jù)定義1進一步給出基于純時間序列數(shù)據(jù)的DEA模型。

從另一方面看，由于時間序列數(shù)據(jù)相關性較強，應用時間序列數(shù)據(jù)構造生產可能集存在一定不足，而使用殘缺面板數(shù)或者一組完整的截面數(shù)據(jù)構造可能集可以很好的修正時間序列數(shù)據(jù)的不足。因此，這里又給出了基于殘缺面板數(shù)據(jù)和截面數(shù)據(jù)測算時間序列決策單元的方法。

（一）基于時間序列數(shù)據(jù)測算決策單元的效率

由TS-DEA有效的定義，可以給出以下測算時間序列決策單元效率的DEA模型。

1.當δ1=0時，(TS-DEA)為滿足規(guī)模收益不變的時間序列DEA模型；

2.當δ1=1、δ2=0時，(TS-DEA)為滿足規(guī)模收益可變的時間序列DEA模型；

3.當δ1=1、δ2=1、δ3=1時，(TS-DEA)為滿足規(guī)模收益非遞增的時間序列DEA模型；

4.當δ1=1、δ2=1、δ3=0時，(TS-DEA)為滿足規(guī)模收益非遞減的時間序列DEA模型。

從上面四種情況看，當δ1=1、δ2=1、δ3=1時，模型TS-DEA即為LR-DEA模型(Lynde和 Richmond，1998)；當δ1=0時，模型TS-DEA即為 WLR-DEA 模型(王兵和顏鵬飛，2006)。因此，LR-DEA模型和WLR-DEA模型包含在TS-DEA模型中。同時，本文第二部分的分析也為這些模型提供了理論支持。

以下給出決策單元投影的定義。

圖2 生產函數(shù)與時間序列數(shù)據(jù)的關系

（二）基于極大生產前沿面測算時間序列決策單元效率

模型 TS-DEA要求技術進步不可逆，即對任意x≥0，生產函數(shù)滿足F1(x)≤其實上述條件可以被適當放松為以下情況。

MTS-DEA有效的含義為決策者以t0時刻的經驗生產前沿為評價標準，如果t0時刻的生產可能集中不存在一種生產方式比更有效，即在投入不變的情況下產出更大，或者在產出不變的情況下投入更小，則認為t時刻決策單元的生產為有效的。

其相應的測算MTS-DEA有效的模型如下：

從上面的分析可以看出，和TS-DEA模型相比，MTS-DEA模型在技術進步方面的要求有所放松，同時，它在經驗生產可能集構造的精度上并沒有降低。

（三）基于殘缺面板數(shù)據(jù)測算時間序列決策單元效率

由于技術進步不可逆，因此可以證明：

類似可得T時刻的經驗生產可能集可表示如下：

相應的測算PTS-DEA有效的模型如下：

PTS-DEA模型的構造思想為以盡可能多的T時刻的實際生產情況(包括殘缺面板數(shù)據(jù)和已有的時間序列數(shù)據(jù))來構造可能集的最佳經驗生產前沿面更接近實際生產前沿。

從上面的分析可以看出，與TS-DEA模型相比，PTS-DEA模型同樣要求技術進步是不可逆的，但它構造的經驗前沿面更接近T時刻實際生產前沿面。

（四）基于完整截面數(shù)據(jù)測算時間序列決策單元效率

假設決策者已測得t0時的某個決策單元的投入產出數(shù)據(jù)則t0時刻的生產可能集可表示如下：

CTS-DEA有效的含義為決策者以t0時生產系統(tǒng)某個決策單元構成的最佳經驗生產前沿為評價標準，如果t0時刻的經驗生產可能集中不存在一種生產方式比更有效，則認為t時刻決策單元的生產是有效的。其相應的測算CTS-DEA有效的模型如下：

在規(guī)模收益可變的情況下，對于單投入單產出的情況時間序列決策單元的效率CTS-DEA測算和投影可以用圖3來說明。

圖3 時間序列數(shù)據(jù)在截面數(shù)據(jù)構成的前沿面上的投影

從上面的分析可以看出，與TS-DEA模型相比，CTS-DEA模型不必要求技術進步是不可逆的，而且由t0時刻的截面數(shù)據(jù)構造的經驗前沿面更接近t0時刻的實際生產前沿面。

五、測算時間序列決策單元效率方法的比較與靈敏度分析

（一）完善時間序列DEA模型的必要性

首先，研究時間序列DEA模型是實際應用的需要。

盡管應用面板數(shù)據(jù)分析時間序列數(shù)據(jù)的應用十分廣泛，但現(xiàn)實生活中有時很難獲得完整的面板數(shù)據(jù)。比如對一些保密部門(對象)或者沒有專門統(tǒng)計機構進行數(shù)據(jù)收集的部門(對象)，決策者一般只能得到本部門內部的時間序列數(shù)據(jù)，最多也許只能得到其他組織的一些殘缺數(shù)據(jù)，這時只能依據(jù)時間序列數(shù)據(jù)或者殘缺面板數(shù)據(jù)進行分析。

其次，研究時間序列DEA模型是對DEA理論的重要補充。從截面數(shù)據(jù)、時間序列數(shù)據(jù)和面板數(shù)據(jù)幾種重要的數(shù)據(jù)類型看，DEA方法在截面數(shù)據(jù)和面板數(shù)據(jù)分析方面取得巨大成功，應用十分廣泛。然而，在時間序列數(shù)據(jù)分析方面成果較少，爭議較大。

因此，對時間序列DEA模型開展研究具有比較重要的理論和現(xiàn)實意義。

（二）如何更加準確的測算時間序列決策單元的效率

從前面的分析可知，如果單純從決策單元相對效率的角度看，時間序列DEA模型給出的效率值完全符合DEA方法的構造思想和含義，但從DEA生產前沿面和實際生產前沿面的比較看，時間序列數(shù)據(jù)畢竟有其特殊性。由于技術進步效應的累加和數(shù)據(jù)來源的單一，應用截面數(shù)據(jù)構造的生產可能集可能會比應用時間序列數(shù)據(jù)更能逼近真實生產可能集。這可以從圖4給出說明。

圖4 DEA經驗生產前沿面與生產函數(shù)的關系

首先，本文中給出的方法本質上是想以T時刻真實的生產前沿面FT(x)為參考面，來度量的效率值，而現(xiàn)實中 T時刻的真實生產前沿面很難得到。因此，采用經驗數(shù)據(jù)構造經驗生產前沿面來代替FT(x)進行分析。從圖4可見，應用時間序列數(shù)據(jù)構造的生產前沿面AC與實際生產函數(shù)FT(x)差距最大，依據(jù)該前沿面進行評價時，A點和C點都是有效的，因而無法給出任何改進的信息。如果能夠進一步獲得一些殘缺的面板數(shù)據(jù)(比如D點的數(shù)據(jù))，這時獲得的參考集就比PSerT更接近真實生產可能集，這時不僅能給出點A的改進信息，而且對B點給出的改進信息尺度更大。當然，如果能夠獲得極大生產前沿面EFG(即給出的前沿面)，測算時間序列決策單元的結果會最大程度的接近實際效率。

根據(jù)上述分析可知，對于一組時間序列決策單元，在測度其效率時，應盡量獲取更多的數(shù)據(jù)信息，以便更加準確的測度時間序列決策單元的效率值和投影信息。數(shù)據(jù)的殘缺程度越低，測度結果越精確。因此，從優(yōu)先次序上看，應優(yōu)先應用極大生產前沿面(PTS-DEA模型)測算時間序列決策單元效率，其次是基于殘缺面板數(shù)據(jù)(MTS-DEA模型)，最后才選用純時間序列數(shù)據(jù)(TS-DEA模型)進行評價。

（三）時間序列DEA模型的靈敏度分析

DEA方法的靈敏度分析是DEA理論中一個十分重要的研究內容。由于本文方法是借助于已知樣本單元的輸入輸出數(shù)據(jù)對時間序列決策單元進行評價的，而不論是樣本單元還是決策單元，其輸入輸出數(shù)據(jù)的采集難免出現(xiàn)誤差，故有必要對決策單元的有效性進行靈敏度分析。由于TS-DEA模型、CTS-DEA模型和PTS-DEA模型可以統(tǒng)一成模型(ZH-T)的形式，因而各模型的靈敏度分析可以進行統(tǒng)一分析如下。

由定理5及其證明過程直接可以得到以下結論。

證明：

六、時間序列決策單元的技術進步指數(shù)估計

由于時間序列數(shù)據(jù)中包含著技術水平的變動，所以對 TS-DEA有效性的經濟學含義進行解釋時需要對技術進步、技術效率的作用結果進行剝離。為此，以下對與“生產率增長”相關的三個概念——技術進步、技術效率和投入要素松弛給出相應的估計。

假設決策者已獲得一組多投入多產出時間序列數(shù)據(jù)集：

Lovell(2003)提出C2R模型的生產可能集描述的前沿技術為參照技術，而BC2模型的生產可能集描述的前沿技術為現(xiàn)實中存在的技術，并指出在對技術進步進行估計時，應采用 BC2模型進行估計。另外，也有文獻采用 FG模型對技術進步進行估計(Lynde和 Richmond，1998)。

根據(jù)以上分析，本文選取規(guī)模收益非遞增情況下的TS-DEA模型進行分析。如果能夠獲得更多數(shù)據(jù)信息的情況下，也可使用PTS-DEA模型或MTS-DEA模型。

由公式(3)、公式(4)和公式(7)可以得到關于技術進步指數(shù)的一個非遞減可計算的下限：

因此，模型最終求得每個時段t的技術進步指數(shù)的波動范圍如下：

同樣，根據(jù)上述約束條件式(7)和式(8)，可以得到關于技術效率的上下邊界：

上述公式不僅給出了時間序列決策單元技術進步和技術效率的估計值，同時也闡明了TS-DEA模型給出的DEA有效性的含義。

七、基于不同測算方法的廣東省人員產出效率分析與比較

在評價時間序列決策單元的效率時，有時決策者還能獲得大量的其他相關數(shù)據(jù)，而有時獲得的數(shù)據(jù)卻很少。因此，針對不同情況，測算時間序列決策單元效率的方法也會有所不同。

首先，如果決策者能夠獲得一組與該時間序列決策單元對應的面板數(shù)據(jù)，則可以應用Malmquist指數(shù)DEA模型(Oh，2010；Kalai和Helali，2016)等對時間序列決策單元的效率進行分析。因此，這時應用Malmquist指數(shù)DEA模型評價時間序列決策單元的效率并不存在困難。

其次，如果決策者能夠獲得一組對應的截面數(shù)據(jù)，則依據(jù)這組截面數(shù)據(jù)來測算時間序列決策單元的效率也是可行的。在測算決策單元技術進步(魏權齡，1991)和全要素生產率(Oh，2010；Kalai和Helali，2016)時，許多文獻都使用了跨期比較和固定參比的效率測算方法，該類方法實際上也可以測算時間序列決策單元的效率，給出時間序列決策單元相對于某一固定時刻生產前沿面的效率(馬占新，2012)。

最后，如果決策者能夠獲得的決策單元的信息極為有限，除了時間序列數(shù)據(jù)或者少量殘缺面板數(shù)據(jù)外，再無法獲得其他數(shù)據(jù)信息，這時基于截面數(shù)據(jù)或面板數(shù)據(jù)的測算方法無法評價該類問題，但本文方法則可以進行測算和分析。

為了便于使用圖形直觀地對比各種模型對時間序列決策單元效率測算的有效性，本文采用單輸入單輸出的形式分析廣東省1985—2013年的人員產出效率。其中，投入指標為地區(qū)年末從業(yè)人數(shù)，產出指標為地區(qū)國內生產總值。被評價對象為廣東省 1985—2013年的時間序列數(shù)據(jù)。評價的參照對象分別選取廣東省1985—2013年時間序列數(shù)據(jù)、1985—2013年部分省份(包括廣東省)的殘缺面板數(shù)據(jù)、2013年中國 30個省份的截面數(shù)據(jù)。所有數(shù)據(jù)均來源于國泰安數(shù)據(jù)庫和《中國統(tǒng)計年鑒》。

（一）測算廣東省時間序列決策單元效率的不同生產前沿面的構造與比較

由于數(shù)據(jù)包絡分析方法的理論基礎是生產函數(shù)理論，而生產函數(shù)本身又是描繪在技術水平不變情況下各種生產要素與所能生產的最大產出之間的關系。因此，構造各省市某一時期的經驗生產前沿面必須使用該期的截面數(shù)據(jù)才符合生產函數(shù)的含義。比如構造 2013年各省市的經驗生產前沿面就應該使用各省 2013年的數(shù)據(jù)才能反應2013年的技術水平。那么，當決策者只有時間序列數(shù)據(jù)時，應用該類數(shù)據(jù)構造生產可能集的合理性是什么呢？下面對這一問題加以分析。

1.應用時間序列數(shù)據(jù)構造生產可能集的理論基礎

下面通過一個例子來說明時間序列數(shù)據(jù)構造的生產可能集的含義。

假設決策者獲得在 t1、t2、T三個序列時間點上決策單元的投入產出值為(x1，y1)、(x2，y2)、(xT，yT)，見圖5(a)中的 A 點、B 點和 C 點。

圖5 時間序列數(shù)據(jù)確定的生產可能集含義

由于它們是不同技術水平下的決策單元的生產情況，因而應用這幾個點無法構造決策單元的經驗生產可能集。然而，在生產系統(tǒng)技術進步不可逆的情況下，由定理1可知：投入產出關系(x1，y1)和(x2，y2)在 T時刻也是可以實現(xiàn)的，見圖5(b)中的 A1點和B1點。這樣由T時刻的經驗數(shù)據(jù)點A1、B1和C即可構造出T時刻的一個經驗生產函數(shù)FT(x)。進一步應用測算決策單元技術進步(魏權齡，1991)和全要素生產率(Oh，2010；Kalai和 Helali，2016)中使用的跨期比較的方法，就可以應用 FT(x)來測算時間序列數(shù)據(jù)(x1，y1)、(x2，y2)、(xT，yT)的效率大小。

由上面的分析可知，分別應用廣東省 1985—2013年的時間序列數(shù)據(jù)可以構造出2013年省市的一個經驗生產前沿面，然后使用跨期比較的方法就可以測算出廣東省1985—2013年的效率值。

2.不同數(shù)據(jù)資源條件下2013年省市經驗生產前沿面的比較分析

以下通過圖形對不同數(shù)據(jù)條件下所構造的 2013年的經驗生產前沿面進行比較分析。由模型的對應關系可知，在 TS-DEA模型中構造生產可能集的數(shù)據(jù)只有廣東省1985—2013年的一組時間序列數(shù)據(jù)，在PTS-DEA模型中構造生產可能集的數(shù)據(jù)除廣東省1985—2013年的時間序列數(shù)據(jù)之外還有一些殘缺的面板數(shù)據(jù)，在CTS-DEA模型中構造生產可能集的數(shù)據(jù)為2013年中國30個省份的截面數(shù)據(jù)。

(1) 應用截面數(shù)據(jù)、時間序列數(shù)據(jù)以及殘缺面板數(shù)據(jù)都可以構造出2013年中國人員投入與產出的經驗生產可能集。

圖6～圖9中方形點表示2013年中國30個省份的截面數(shù)據(jù)。菱形點表示廣東省1985—2013年的時間序列數(shù)據(jù)。三角形點表示部分省份1985—2013年間的殘缺數(shù)據(jù)。盡管每個圖中三個曲線有所不同，但它們均從不同程度上刻畫了2013年中國人員投入與產出生產前沿情況，隨著獲得信息量的增加，經驗生產函數(shù)也逐漸逼近真實生產函數(shù)。

圖6 規(guī)模收益不變條件下三組數(shù)據(jù)的前沿面比較

圖7 規(guī)模收益可變條件下三組數(shù)據(jù)的前沿面比較

圖8 規(guī)模收益非遞增條件下三組數(shù)據(jù)的前沿面比較

圖9 規(guī)模收益非遞減條件下三組數(shù)據(jù)的前沿面比較

(2) 構造生產可能集數(shù)據(jù)的殘缺程度越低，獲得的DEA生產前沿面越接近真實生產函數(shù)。

圖6～圖9中方形點連成的線、菱形點連成的線和三角形點連成的線分別表示由截面數(shù)據(jù)、時間序列數(shù)據(jù)和時間序列數(shù)據(jù)加上殘缺面板數(shù)據(jù)給出的2013年中國省市人力資本對GDP產出的經驗生產前沿面。從其中的折線可以看出由2013年30個省市截面數(shù)據(jù)構造的經驗生產前沿面最接近2013年實際前沿面，而廣東省1985—2013年的時間序列數(shù)據(jù)由于信息單一，因而對2013年實際前沿面的擬合程度較差。因此，當對時間序列數(shù)據(jù)進行評價時，如果無法獲得完整的截面數(shù)據(jù)，那么應盡可能多地收集一些殘缺數(shù)據(jù)也可以在一定程度上提高對實際生產函數(shù)接近的程度。

（二）不同模型測算的時間序列決策單元的效率比較與分析

一方面，由于DEA方法評價的是相對效率，因此，不管選用時間序列數(shù)據(jù)、殘缺面板數(shù)據(jù)，還是T時刻的截面數(shù)據(jù)，給出的決策單元的效率值都是一個相對值，這和DEA方法的相對有效性是相一致的。另一方面，從DEA經驗生產前沿面和實際生產前沿面的視角看，不同測算方式下效率的比較還是有意義的①由于Malmquist指數(shù)DEA模型給出的是決策單元的效率變化值，而不是決策單元的效率值。因此，這里并未將Malmquist指數(shù)DEA模型的結果進行比較。。

從上文的分析可知，對于一組時間序列決策單元，在測度其效率時，應盡量獲取更多的數(shù)據(jù)信息，以便更加準確的測度時間序列決策單元的效率值和投影信息。數(shù)據(jù)的殘缺程度越低，測度結果越精確。以下分別以廣東省1985—2013年時間序列數(shù)據(jù)、廣東省1985—2013年時間序列數(shù)據(jù)加上部分殘缺面板數(shù)據(jù)、2013年中國30個省份的截面數(shù)據(jù)作為評價參考集，對廣東省1985—2013年的時間序列數(shù)據(jù)進行效率分析，一方面要說明這些方法的優(yōu)勢，另一方面來反映這些方法可能產生的誤差。

應用本文構造的模型TS-DEA、模型CTS-DEA、模型PTS-DEA獲得的規(guī)模收益不變、規(guī)模收益可變、規(guī)模收益非遞增、規(guī)模收益非遞減情況下的效率結果如圖10～圖13所示。

1.從圖10～圖13可以看出，在四種不同規(guī)模收益下，使用純時間序列數(shù)據(jù)構造生產可能集得出的效率值(TS-DEA)最大，其次是使用時間序列數(shù)據(jù)和殘缺面板數(shù)據(jù)共同構造生產可能集得到的效率值(PTS-DEA)，應用截面數(shù)據(jù)構造生產可能集得到的效率值(CTS-DEA)最小。這主要是由于不同數(shù)據(jù)組構造的經驗生產前沿面與實際生產前沿面接近的程度不同導致的。

2.在規(guī)模收益不變(圖10)和規(guī)模收益非遞增(圖12)的情況下，其中三條效率曲線的變化趨勢比較相似。在規(guī)模收益可變(圖11)和規(guī)模收益非遞減(圖13)的情況下，除開始的兩年外，其中三條效率曲線變化趨勢也比較相似。因此，盡管數(shù)據(jù)信息缺失的程度不同，但應用三種模型獲得的效率值在整體趨勢上比較一致，基本反映了時間序列決策單元效率變化的趨勢。同時，幾種模型給出的投影信息對時間序列決策單元提高效率、發(fā)現(xiàn)不足也具有積極意義。

圖10 規(guī)模收益不變條件下三種模型的效率比較

圖11 規(guī)模收益可變條件下三種模型的效率比較

圖12 規(guī)模收益非遞增條件下三種模型的效率比較

圖13 規(guī)模收益非遞減條件下三種模型的效率比較

3.從圖6～圖9也可以看出，使用2013年中國30個省市截面數(shù)據(jù)構造的T時刻(2013年)生產可能集完全包含了由純時間序列數(shù)據(jù)和殘缺面板數(shù)據(jù)構造的生產可能集，即 CTS-DEA模型中構造的最佳經驗生產前沿面處于最外側，因而使用 CTS-DEA模型獲得的時間序列決策單元效率值最接近實際效率值。在無法獲得 2013年中國 30個省市完整截面數(shù)據(jù)的情況下，如果能夠盡可能多地找到一些殘缺面板數(shù)據(jù)，并與時間序列數(shù)據(jù)聯(lián)合構造生產可能集，則在時間序列決策單元效率測算上也可得到較好效果。因此，在測算時間序列決策單元的效率時，應盡量找到多的數(shù)據(jù)信息來構造評價的參考集。

4.對于單純應用時間序列數(shù)據(jù)構造T時刻(2013年)生產可能集而言，盡管在精度上有所欠缺，但從DEA相對有效性的角度看，該方法還是能夠在一定程度上反映時間序列數(shù)據(jù)效率趨勢的，特別是在規(guī)模收益不變和規(guī)模收益非遞增的情況下測算的效果較好。

總之，在現(xiàn)實生活中由于保密、沒有統(tǒng)計機構、數(shù)據(jù)獲取困難等多種原因，有時用于構造評價參考集的數(shù)據(jù)信息并不充分。盡管如此，應用時間序列DEA模型仍能獲得很多有價值的信息。

（三）時間序列決策單元的技術進步指數(shù)估計

由于上文獲得的效率是時間序列數(shù)據(jù)相對于2013年的效率，而測算時間序列決策單元的技術進步程度時，因為與時間序列數(shù)據(jù)對應年份的生產函數(shù)難于獲得，故可以通過本文第五部分的辦法獲得決策單元技術進步的大致區(qū)間。從上文的分析可以看出，在對技術進步剝離的過程中，采取規(guī)模收益非遞增的假設測算技術效率更加適合。這主要是由于規(guī)模收益可變假設下構造的生產前沿面中通常包括第一個時間序列數(shù)據(jù)，致使首年的效率測度為1，進而導致技術進步下限的估計方程(9)失效。因此，以下采用規(guī)模收益非遞增的假設進行效率測算，并應用公式(10)計算出時間序列決策單元的技術進步的上限和下限如圖14所示。

從圖14可以看出，CTS-DEA模型對技術進步的范圍估計最為精準，對每一年的技術進步范圍都可以得到一個相應的范圍(見圖14中淺色陰影部分)，而依賴TS-DEA模型和CTS-DEA模型只能對其中的部分年份的技術進步范圍做出估計(見圖14中深色陰影部分)。模型 TS-DEA和模型PTS-DEA對技術水平下限的測度能力會偏小，1997年之后的技術水平均無法測度，顯示為一條直線。這主要是由于隨著決策者能夠獲得的數(shù)據(jù)信息量的下降而模型對決策單元技術進步的測算能力也隨之減弱的結果。

圖14 三種模型中各時段技術水平上下限比較

總之，對一組時間序列數(shù)據(jù)效率和技術進步情況進行測度時，如果能另外得到一組截面數(shù)據(jù)，便可以大大提高模型測算的精度。如果得不到截面數(shù)據(jù)，則在單純時間序列數(shù)據(jù)的基礎上，再收集一些殘缺的面板數(shù)據(jù)也可以提高模型測算的精度。通過本文的分析，當生產系統(tǒng)保持技術進步不可逆的情況下，用DEA模型測算時間序列決策單元的效率不僅是可行的，而且也是合理的。然而，當無法保證生產系統(tǒng)技術進步不可逆時，應用純時間序列數(shù)據(jù)構造生產可能集的方法就失去了理論基礎。這時，采用某一時刻的截面數(shù)據(jù)來測算時間序列決策單元的效率也不失為一種很好的選擇。