張純

摘? 要：學生在成長歷程當中不能缺少的是數(shù)學教育，但數(shù)學教育真正引領其發(fā)展的是“文化”，故而小學數(shù)學課堂教學離不開“數(shù)學文化”。對于農村的小學生來說，“鄉(xiāng)土數(shù)學”是引領學生形成鄉(xiāng)土文化的主要資源。筆者從概念界定到教學設計，再到具體的案例，詳盡闡述了“鄉(xiāng)土數(shù)學”促進學生課堂“數(shù)學文化”的形成。由此，學生的數(shù)學觀念、意識和思維方式等深刻影響著當下及今后的生活品質，讓學生的思維在看得見中飛翔，真正體現(xiàn)了數(shù)學核心素養(yǎng)：數(shù)學思維能力。

關鍵詞：數(shù)學文化;數(shù)學思維能力;鄉(xiāng)土數(shù)學

數(shù)學作為一種主要的智力活動的傳統(tǒng)是必須傳給后代的人類文化遺產(chǎn)中的最好部分，它被滲透到各個領域之中，影響著人類的文化生活。正如《數(shù)學課程標準》（2011年版）中指出“數(shù)學是人類文化的重要組成部分……發(fā)揮數(shù)學在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代作用”。在教學中加強數(shù)學與農村兒童實際生活的聯(lián)系，通過獲得的“鄉(xiāng)土數(shù)學”，在課堂中交流與闡述，并在教師引導下尋求與課本數(shù)學內容中相符的教學內容進行匹配，體會數(shù)學知識的形成過程，了解數(shù)學與人類社會發(fā)展的相互作用，讓學生從內心深處體會數(shù)學的應用價值、人文價值，開闊視野，尋找數(shù)學進步的歷史軌跡，領會數(shù)學的應用價值，從而提高自身文化的價值和創(chuàng)新意識，進而感悟到我們所學習的數(shù)學來源于生活而又高于生活，萌生出要學好數(shù)學，為自己的生活更好地服務的想法。

一、概念界定

鄉(xiāng)土數(shù)學：泛指農村普通百姓口耳相傳，以數(shù)學模型的形式描述農村生產(chǎn)、生活中的某些現(xiàn)象或事物，具有趣味性、模型性、開拓性、思維啟發(fā)性等方面的內容。其在生產(chǎn)、生活中經(jīng)歷長久的實踐檢驗，具有經(jīng)典性，普通百姓拿來就能解決對應的實際問題。如：“雞兔同籠”問題：板凳、鏊子三十三，一百條腿向上翻，板凳、鏊子各幾個？

促進：泛指幫助，提供橋梁、搭建腳手架等。幫助學生利用鄉(xiāng)土數(shù)學資源更好地學習數(shù)學，更好地接受數(shù)學教育，從而提升數(shù)學素養(yǎng);幫助教師具備開發(fā)與利用課程資源的能力與意識，最終達到師生在原有的基礎上都獲得提高。

數(shù)學文化：指從文化角度理解數(shù)學。本課題所述的“數(shù)學文化”是通過課堂教學對學生的數(shù)學觀念、意識和思維方式等產(chǎn)生深刻影響，給予學生當下及今后精神生活品質特有的一種精神和力量。

課堂數(shù)學文化：指通過課堂這個空間或時間的載體，教師和學生相互作用的教學行為，把獲得的“鄉(xiāng)土數(shù)學”在課堂中與課本數(shù)學無縫對接，在促進學生數(shù)學學習、接受數(shù)學教育的實地操作過程中創(chuàng)造出物質及精神產(chǎn)物的過程所形成的一種課堂數(shù)學的思想、精神、觀點等。

《數(shù)學課程標準（2011年版）》指出，“數(shù)學是人類文化的重要組成部分……更要發(fā)揮數(shù)學在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用”。當下小學數(shù)學課堂教學，絕大部分教師只注重知識的傳播和解題技巧的訓練，沒有從文化的角度切入，故而學生面對的數(shù)學是符號與數(shù)字的堆砌，顯得枯燥乏味，即使學生有想學好數(shù)學的欲望，也味同嚼蠟，難以下咽，只好放棄。那些數(shù)學考試分數(shù)較高的學生，只是在解題上表現(xiàn)比較突出，當他們離開課堂后，對生活、對生活中的數(shù)學卻顯得沒有多少靈氣，不能體現(xiàn)出較好的數(shù)學素養(yǎng)，同時也沒有提高其精神生活品質。

總之，讓數(shù)學文化走進小學課堂，深入數(shù)學教學實踐中，努力使學生在數(shù)學學習過程中受到文化熏陶，產(chǎn)生文化共鳴，體會數(shù)學的文化價值，是實施新課程標準，彰顯數(shù)學文化魅力的有效途徑。學生在生活中采集鄉(xiāng)土數(shù)學時，慢慢地學會了用數(shù)學的眼光審視生活，從數(shù)學的角度切入生活并進行分析，感受生活中處處有數(shù)學，使學生在獲得數(shù)學知識技能的同時，在過程與方法、情感與態(tài)度以及價值觀上得到全面和諧的發(fā)展。

二、數(shù)學文化體現(xiàn)案例設計思路

基于數(shù)學文化的數(shù)學教學案例設計思路是：從數(shù)學本質即數(shù)學文化的本質出發(fā)，通過建立數(shù)學與數(shù)學史、數(shù)學應用、社會文化及地方民族傳統(tǒng)等的聯(lián)系，將數(shù)學本質與學生主體經(jīng)驗相聯(lián)系，即學生的主體經(jīng)驗包含于數(shù)學史、社會文化、地方傳統(tǒng)等，再即數(shù)學史、社會文化、地方傳統(tǒng)等包含于數(shù)學水平，如果把它們看成三個圓的話，數(shù)學水平最小，學生主體經(jīng)驗最大，它們并非同心而是相內切的。由此，讓學生感受到數(shù)學學習的開放性以及向其他領域的廣泛滲透性，體驗到資源對其經(jīng)驗的支撐，領悟到學習者之間的互動交流對于知識建構的意義，進而體驗到“數(shù)學本質上是一種文化”，從而使學習者達到對數(shù)學學習的深刻文化陶醉與心靈提升。

根據(jù)這樣的思路，基于數(shù)學文化設計的教學案例的理念是：過去學生的數(shù)學學習都是被動地吸收，至于能否消化是學生自己的事情，于是出現(xiàn)了“2·8”兩級現(xiàn)象，即僅有百分之二十的學生能理解，百分之八十的學生由于消化不良而形成了嚴重的“結石”。現(xiàn)如今，學生的主體地位得到日益重視，課堂學習的主體不再是教師而是學生，因此教育回歸本身應有的“本性”——“人性”，這種“人性”是把學生當作人來對待而不再是機器，不僅關注學生的當下，還要關注學生未來的發(fā)展，不僅關注個體的發(fā)展，還要關注社會性的存在。所以，教學不僅要關注數(shù)學知識的建構與理解，還要關注個體的生活、生命和持續(xù)的發(fā)展。

三、教材中的數(shù)學文化體現(xiàn)案例

小學數(shù)學教材中蘊含著許多的數(shù)學文化內容，對學生思維的啟迪、對學生視野的開拓、對學生能從數(shù)學視角思考生活問題等有著極大的推進作用，能讓學生認識到數(shù)學的理性精神、認識數(shù)學內蘊的美、認識數(shù)學的哲學邏輯等。正因為有數(shù)學文化內蘊其中，才讓學生所學的數(shù)學是有用的、發(fā)展的，讓學生的學習精神慢慢理性起來，讓未來的數(shù)學人生理性起來。教材中的一些內容與鄉(xiāng)坊的生活或鄉(xiāng)坊故事有著千絲萬縷的關聯(lián)，失去鄉(xiāng)坊的生活或故事就會黯然失色。

1. 對頂角相等，要不要證明？

小學數(shù)學四年級上冊的《垂線與平行線》內容是在充分認識線段及角與長方形、正方形的基礎上進行學習的。這些初步的幾何知識初步構建了學生的幾何世界，而垂線與平行線的學習，推動了學生對角的深層次的認識，即對角的認識不僅僅局限于“由一個頂點和兩條邊組成，或者由一點發(fā)出的兩條射線”，而是擴大到“兩條線相交所形成的角”。兩條線無論是否垂直，只要相交就有夾角，這些夾角之間又存在著怎樣的幾何關系呢？這就是以后要給學生解釋的“對頂角”的問題。對頂角，顧名思義就是有一個共同的頂點，角的兩條邊逆向延伸所形成的對頂角是否相等呢？處在教師的場域中，應思考為什么教？教什么？怎么教？處于學生的立場來審視則是：為什么會出現(xiàn)這樣的角？形成的緣由是什么？對頂角是否相等？僅僅依靠眼睛觀察、儀器測量，是無法避免誤差的存在的。如果說“對頂角相等”，那要不要論證呢？

初級中學涉及對頂角的內容中，對“對頂角相等”是這樣證明的：從互補的角度出發(fā)，其中的兩個角都與同一個角互補，則這兩個角相等，即對頂角相等。其作為一個定理在解決幾何問題時使用。但對于小學生來說，這種證明實在欠妥，測量又存在誤差，那最好的路徑便是從文化的角度來介紹對頂角。

“兩條直線相交形成的對頂角”用眼睛觀察是相等的，但這是一種臆測，也可以說是一種假設。如果學生在思考時叩問自己：怎樣才能證明對頂角相等，這就接近了數(shù)學文化。每個民族都有自己的文化，也有屬于這個文化的數(shù)學。“對頂角相等”首先是古希臘的泰勒斯進行證明的，放到今天，證明非常簡單，就算是小學四年級，只要學生具備了等量的數(shù)學知識，同樣可以證明出來，但是其產(chǎn)生的原因是否可知就不好說了。那么，我們就從鄉(xiāng)坊讀書較多是人所傳說的有關“對頂角”的故事說起。

古希臘人追求民主、平等與自由，于是就有了世界上最早的選舉活動。要選舉與表決，就要有充足的理由去說服對方，也就需要拿出充分的證據(jù)去證明自己持有的觀點是正確的，證明自己堅持的是真理，由此產(chǎn)生極強的說服力。“對頂角相等”是正確的，還要讓其產(chǎn)生說服力變成“公理”，使其在“等量減等量，其差相等”的基礎上變成理性思維。中國古代同樣是百家爭鳴、百花齊放，有人游說某個國家的君王，讓君王相信自己的假說，從而成為該國的政策顧問，使自己的“公理”得以施行（即向君王提供管理國家的數(shù)學方法）。其中具有代表性的是《九章算術》，其內容涉及了土地的丈量、勞力分配、稅收的計算等。因此，中國的數(shù)學可以說是“社會管理學”或“管理數(shù)學”。

根據(jù)以上分析得知，古希臘人在數(shù)學上長于“理性分析”和“推理”，而中國數(shù)學工于計算，因此由“對頂角相等”學習西方的“理性”，也不失東方的“實踐”。

2. “0”是否是自然數(shù)的文化論證

一年級學生在認識數(shù)時會遇到一個數(shù)字“0”，那時學生思維中的“0”是沒有的意思，因為認數(shù)的基礎是從實物開始的。古人打獵歸來，打到一只兔子會在草繩上打一個結，抓到兩只野雞會在草繩上打兩個結……這就是我們所說的“結繩計數(shù)”。但不是每天的運氣都那么好，古人同樣也有打不到獵物的時候，此時該如何在草繩上打結呢？打結表示獲得獵物，不打結表示沒有獲得獵物，但這一天又實實在在出去打獵了，怎么辦？在創(chuàng)造出1、2、3、4、5、6等數(shù)字后，我們必須再創(chuàng)造出一個數(shù)字——“0”。因為“0”同樣是在自然生活中產(chǎn)生的，所以它應歸為自然數(shù)行列。隨著學生認知能力的提高，“0”作為度量的起始點，與剛才所說的“沒有獲得獵物”是不相同的，教師在教學中應知道“為什么教”，在潛移默化中讓學生知道“為什么學”，而這就要求教師執(zhí)有數(shù)學文化觀。文化其實體現(xiàn)在一個人如何對待他人，如何對待自己，如何對待自己所處的環(huán)境。用臺灣作家龍應臺的話說，“它是隨便一個人迎面走來，他的舉手投足，他的一顰一笑，他的整體氣質。他走過一棵樹，樹枝低垂，他是隨手把樹枝折斷丟棄，還是彎腰而過？一只滿身是癬的流浪狗走近他，他是憐憫地避開，還是一腳踢過去？電梯門打開，他是謙恭地讓人，還是霸道地把別人擠開……”。文化是內在的修養(yǎng)，當你看到一條數(shù)學定理的時候，你的腦海里會浮現(xiàn)出古人的身影，產(chǎn)生敬畏之心，當你思考問題的時候，你會關注里面的字母是常量還是變量;當你在打開一本書，發(fā)現(xiàn)里面有一行又一行的符號時，你依然認真地讀下去，在一連串的變換之后問題得解，而由衷地感嘆數(shù)學之美……

但是，很多人認為數(shù)學文化就是數(shù)學本身，把會做題，思維得到訓練視為文化，而這只是數(shù)學文化的一部分，因為數(shù)學本身承載著數(shù)學文化。數(shù)學考試成績的確很重要，但對于一個人來說，真正起到數(shù)學教育作用的是數(shù)學文化。正如愛因斯坦所說，“什么是教育，那就是當一個人離開學校十年、二十年之后沉淀下來的東西”。這個沉淀下來的東西，就是文化。數(shù)學亦是如此。說某個人有文化，和說這個人是文化人的意義是不同的。有文化只說明他能讀書識字，而文化人卻在前者的基礎上加深了文化性的體現(xiàn)。作為數(shù)學教育工作者，我們必須明白，數(shù)學文化不能在解題之中自然形成，進行必要的正面闡述、主動揭示、有意義的誘發(fā)引導，是我們倡導中外優(yōu)秀文化的責任。

3. 游戲背后的“運籌學”

農村的孩子特別愛玩具有農村風味兒的游戲，在游戲當中學習數(shù)學是常有的事兒。好多游戲中都蘊含著數(shù)學知識，比如孩子們經(jīng)常玩的接力賽跑。事實上，接力賽跑和“田忌賽馬”是一脈相通的。接力賽跑通常是體育課上教師有意識安排的體育項目，但在孩子們課后玩耍的游戲中也時常會有誰跑得快的游戲。教師在教學時引入“田忌賽馬”的故事，學生便會產(chǎn)生相關的生活體驗，并把這種體驗帶到數(shù)學課堂學習之中，進而對形成課堂數(shù)學文化產(chǎn)生一定的促進作用。齊國大將田忌與齊王賽馬，勝者可贏千兩黃金，軍師孫臏發(fā)現(xiàn)好友田忌的馬與齊王的馬快慢差不多，他們的馬都分為上、中、下三等，于是孫臏對田忌說你只管往大了下賭注，我定會幫你獲勝的。田忌相信孫臏的話下了大賭注。比賽即將開始，孫臏告訴田忌，“比賽中首先用你的下等馬對齊王的上等馬，其次用你的上等馬對他的中等馬，最后用你的中等馬對他的下等馬”。三場比賽結束后，田忌一敗兩勝，取得了最終勝利，田徑從齊王那里贏得了千兩黃金?！疤锛少愸R”的基本思想是要用局部的犧牲去換取全局的勝利，從而達到以弱勝強的目的。學生在游戲當中經(jīng)常遇到類似“田忌賽馬”的情形，特別對于農村的孩子來說，這樣的情形尤為常見。而在課堂教學中，同樣也有蘊含這種“思想”的故事、習題出現(xiàn)，最常見的便是應用題中的“追及”問題。這樣的游戲、習題所涉及的知識，其實就是選擇策略方面的“博弈論”，也稱“對策論”。在博弈、對策中選擇策略至關重要。“博弈”綜合下的一般表述體現(xiàn)的是“運籌”，由此形成了一門新興學科——運籌學?！斑\籌帷幄之中，決勝千里之外”，語出《史記：高祖本紀》：“帝置酒洛陽南宮……高祖曰：‘公知其一，未知其二。夫運籌帷幄之中，決勝于千里之外，吾不如子房……”劉邦說自己策略、軍事、安撫等方面不如子房、蕭何、韓信，所以有“運籌中……千里外”。

小學階段，學生并不需要學會并掌握“運籌學”等內容，但卻可以對運籌學的誕生背景與發(fā)生、發(fā)展情況有一個詳細的了解。當數(shù)學課堂中出現(xiàn)類似的“博弈”情況時，學生就能擁有“運籌”思想的雛形，這就是學生在數(shù)學課堂中形成一種思想認識的具體體現(xiàn)，也可以說是課堂“數(shù)學文化”。

四、結論

當農村的學生進行數(shù)學學習時，如果在課堂中體現(xiàn)與實踐“鄉(xiāng)土數(shù)學”，學生的視域與心域將會截然不同。數(shù)學文化走進小學課堂，深入數(shù)學教學實踐中，在小學階段讓學生了解數(shù)學與人類社會發(fā)展相互作用，體會數(shù)學知識的形成過程，體會數(shù)學的應用價值、人文價值、開闊視野，尋找數(shù)學進步的歷史軌跡，受到優(yōu)秀文化的熏陶，領會數(shù)學的美學價值，從而提高自身的文化價值和創(chuàng)新意識。培養(yǎng)學生站在數(shù)學立場上，以數(shù)學思維，從獨到的數(shù)學視角來剖析問題、解決問題，改變了過去數(shù)學課堂中單純以“本”為“本”進行系統(tǒng)的知識教學，而不關注學生的生活以及數(shù)學的形成與發(fā)展過程，不注重現(xiàn)有資源的開發(fā)與利用等狀態(tài)。利用“鄉(xiāng)土數(shù)學”促進數(shù)學學習并形成自己的數(shù)學思想方法觀，自我實施數(shù)學教育，對學生的終身數(shù)學學習來說有很強的前瞻性，能使學生在獲得數(shù)學知識的同時，接受數(shù)學精神、數(shù)學思想和數(shù)學方法的熏陶，提高思維能力，鍛煉意志品質，并把它們遷移到學習和生活的各個領域中。