母從明,劉 洋,周遠祺,楊金強

(1. 湖南大學金融與統(tǒng)計學院，湖南 長沙 410006；2. 長江養(yǎng)老保險股份有限公司，上海 200122；3. 中國地質(zhì)大學(武漢)經(jīng)濟管理學院，湖北 武漢 430074；4. 上海財經(jīng)大學金融學院，上海 200433；5. 上海國際金融與經(jīng)濟研究院，上海 200433；6. 上海市金融信息技術(shù)研究重點實驗室，上海 200433)

1 引言

股權(quán)收購是私募股權(quán)基金的主要投資方式之一，最早起源于美國，并于上世紀80年代逐漸成為西方發(fā)達國家私募股權(quán)投資的重要組成部分。隨后，股權(quán)收購在全球范圍內(nèi)得以蓬勃發(fā)展，交易規(guī)模越來越大。到2017年，全球股權(quán)并購已經(jīng)占全球股權(quán)私募基金總投資的60%，交易量高達3.7萬億美元(見Metrick and Yasuda[1];Axelson等[2])。事實上，股權(quán)收購活動在我國也日趨頻繁。據(jù)公開數(shù)據(jù)顯示，在2010～2012年間僅上市公司的股權(quán)收購活動分別為251 起、253 起、330 起，股權(quán)收購交易次數(shù)和交易量呈上升趨勢。

股權(quán)收購主要分為管理層收購和杠桿收購兩類。但從融資角度來說，股權(quán)收購都需要引入高杠桿。所以對于股權(quán)收購基金而言，債務(wù)估值和破產(chǎn)決策至關(guān)重要。僅依靠單一債務(wù)融資方式，私募股權(quán)投資基金難以融得足夠資金用于收購交易。為此，股權(quán)收購的融資常常采用分層債務(wù)結(jié)構(gòu)(multiple tranches of debt)。在這種結(jié)構(gòu)形式中，不同層次債務(wù)的合約條款和求償順序有所差異。同時，值得強調(diào)的是，對于私募股權(quán)投資而言，目標公司大多為非公開交易公司，即使目標公司原先是公開上市公司，經(jīng)過股權(quán)收購后，為了方便投資者控制公司也會被私有化而退市。對于這種非公開交易資產(chǎn)，具有顯著的特質(zhì)風險，所以不能采用傳統(tǒng)的Leland模型對股權(quán)收購交易中的債權(quán)和股權(quán)進行估值。為此，本文將基于采用多層債務(wù)結(jié)構(gòu)進行債務(wù)融資的股權(quán)收購交易，通過建立數(shù)理模型，研究股權(quán)收購交易中的債權(quán)和股權(quán)估值問題以及最優(yōu)的破產(chǎn)決策。

實際上，不少文獻研究了股權(quán)收購交易資金來源的分布情況，比如kaplan和Str?mberg[3]等。這些文獻指出，用于股權(quán)收購交易的資金大約有60%～90%來源于債務(wù)融資，其中優(yōu)先級較高的債務(wù)融資(senior and secured)主要由銀行和機構(gòu)投資者提供。Kaplan和Stein[4]發(fā)現(xiàn)在上世紀80年代，絕大多數(shù)杠桿收購的債務(wù)融資來自于銀行。實際上，銀行提供的債務(wù)融資通常會劃分為多層(multi-tranche loan)。從索賠順序而言，銀行貸款大多為優(yōu)先級較高的債務(wù)，安全性也較高。從類型而言，銀行貸款主要有等額還本付息的按揭債(amortizing debt)和到期償還本金的子彈債(bullet debt)等。除了發(fā)行這種優(yōu)先級較高的債券，大多數(shù)收購交易還需要發(fā)行優(yōu)先級較低的債務(wù)(junior和unsecured)進行融資，比如高收益?zhèn)?high-yield bonds)或者夾層債(mezzanine debt)。Demiroglu和James[5]通過分析1997～2007年價值高達2900億美元的181起股權(quán)收購交易，發(fā)現(xiàn)具有較好聲譽的股權(quán)收購基金能以更低的信貸息差(credit spread)獲得債務(wù)融資，并且更傾向于向機構(gòu)投資者發(fā)行債務(wù)。所以，考慮股權(quán)收購基金采用分層債務(wù)融資結(jié)構(gòu)非常符合業(yè)界現(xiàn)狀。

對于股權(quán)收購而言，一個不可忽略的重要問題是杠桿收購后標的公司能否承擔項目期限內(nèi)相應(yīng)的利息負擔。Kaplan和Sein[4]和Guo等[6]通過研究1982～2006年美國上市公司私有化收購案例發(fā)現(xiàn)這些公司私有化后，利息支出占EBITDA (Earnings Before Interest, Taxes, Depreciation and Amortization)的比重高達70%。Axelson, Jenkinson, Str?mberg and Weisbach(2007，后文簡稱AJSW)[2]研究私有股權(quán)投資數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn)，雖然絕大多數(shù)風險投資交易是低杠桿甚至無杠桿的，但股權(quán)收購案例則完全不同。在一定程度上，因為的標的公司擁有相對成熟的經(jīng)營模式，產(chǎn)生的自由現(xiàn)金流可以支持較高杠桿導(dǎo)致的利息負擔，所以股權(quán)收購基金通過利用廉價的債務(wù)融資可以獲得更高的回報率。Kaplan和Stein[4]通過研究債務(wù)融資成本與收購項目估值的關(guān)系，證實了廉價的債務(wù)融資有利于促進股權(quán)收購交易。

與杠桿密切聯(lián)系的話題則是違約破產(chǎn)問題。Andrade和Kaplan[7]對高杠桿交易進行研究，發(fā)現(xiàn)1985年之后的管理層收購案例中有30%的以上案例以違約告終。Kaplan和Str?mberg[3]研究了從1970年至2007年全球17171起杠桿收購案例，對收購基金的運行模式和杠桿收購收益情況進行分析后發(fā)現(xiàn)，有7%的收購案例以違約破產(chǎn)告終，超過10%的收購案例以其他未知原因結(jié)束。為此，基于多層債務(wù)結(jié)構(gòu)形式，研究股權(quán)收購基金的債務(wù)定價、股權(quán)定價以及收購杠桿引致的破產(chǎn)概率具有非常重要的現(xiàn)實意義。

目前，國內(nèi)學術(shù)界很少涉足對私有股權(quán)收購和私募領(lǐng)域融資問題的研究。雖然不少文獻從理論角度研究了融資、債券定價和資本結(jié)構(gòu)，比如：熊波和陳柳[8]借助于單期模型，從非對稱信息視角分析了高新技術(shù)企業(yè)對私有股權(quán)資本市場的資金需求以及機構(gòu)投資者對高新技術(shù)企業(yè)提供的融資服務(wù)；夏鑫和楊金強[9]研究了非完備市場下基于控股股東控制權(quán)私利的公司資本結(jié)構(gòu)；向華和楊招軍[10]基于擔保換股權(quán)新型融資模式研究了中小企業(yè)投融資行為；胡昌生, 程志富等[11]以及巢文和鄒輝文[12]分別討論了可轉(zhuǎn)債的定價和長壽債券定價問題。但是，這些研究并未涉及與股權(quán)并購有關(guān)的定價和違約。為此，本文通過建立數(shù)理模型，研究與股權(quán)收購多層債務(wù)結(jié)構(gòu)有關(guān)的定價和違約概率，不但具有重要的現(xiàn)實意義，而且能夠填補我國在這方面的研究空白。

2 模型構(gòu)建

假設(shè)在初始時刻t=0，股權(quán)收購交易活動的資金來源由權(quán)益投資I和債務(wù)融資D構(gòu)成。雖然收購交易開始和結(jié)束時都會產(chǎn)生溢價，但為了簡化模型，本文不考慮這些溢價，從而假設(shè)全部資金在初始時刻被用來購買價值為A0的目標公司資產(chǎn)，即A0=I+D。在項目開始時，風險中性的投資者(包括股權(quán)投資者和債權(quán)投資者)與股權(quán)投資基金約定持有期為T。當股東決定在t(t≤T)時違約，標的資產(chǎn)以(1-κ)At的價格出售，所得現(xiàn)金用于償還債務(wù)，其中At表示t時刻標的資產(chǎn)的賬面價值。由于私有股權(quán)的目標公司資產(chǎn)流動性差，并且具有很強的特質(zhì)風險，因而不能利用公開交易證券進行有效對沖，所以這類資產(chǎn)在到期之前被迫出售時往往會產(chǎn)生較大的價值損失，參數(shù)κ∈(0,1)刻畫了這種價值損失。

當t=T時，目標公司通過上市、二次收購等方式將標的資產(chǎn)出售，所獲得的現(xiàn)金收入AT將在債權(quán)人(按債權(quán)優(yōu)先順序)和股東之間分配。

本文假設(shè)標的資產(chǎn)價值A(chǔ)t在項目到期之前滿足如下的幾何布朗運動：

(1)

其中，μA表示資產(chǎn)價值的期望增長率，σA表示資產(chǎn)價值的波動率，Zt是標準布朗運動。參數(shù)δ代表了單位時間內(nèi)標的資產(chǎn)產(chǎn)生自由現(xiàn)金流的速度。這部分現(xiàn)金流用于支付當期的利息，如果有剩余，則用來發(fā)放股利。如果自由現(xiàn)金流不足以支付當期全部利息，股東需要用自有資金去支付剩余的利息。顯然，如果標的資產(chǎn)規(guī)模A越大，那么單位時間內(nèi)產(chǎn)生的自由現(xiàn)金流δA越多。

2.1 債務(wù)價值動態(tài)

為了便于討論分層債務(wù)結(jié)構(gòu)中的債務(wù)估值，本文先給出通用的債券估值方法。對于任何一種在存續(xù)期內(nèi)獲得利息支付c、到期日收回尚未償還的利息和本金或違約破產(chǎn)時獲得公司剩余價值的債券，記其在t(t≤T)時刻的價值為D(t,At)，這里At表示t時刻標的資產(chǎn)的價值。根據(jù)現(xiàn)金流貼現(xiàn)估值方法，可知t時刻債券價值D(t,At)滿足如下等式：

D(t,At)

(2)

其中，τ是股東選擇的違約破產(chǎn)時機，Vt表示在t時刻債務(wù)合約終止時(破產(chǎn)清算或者債務(wù)到期)債權(quán)人能獲得的價值。顯然，Vt滿足

Vt=min((1-κ)Aτ,Pτ)1τ

+min(At,Pt)1τ≥T

其中，Pt表示t時刻股東尚未償還的本金和利息的現(xiàn)值。1x為示性函數(shù)，即當x為真時，該函數(shù)取值1，其他情況該函數(shù)均取值0。

假設(shè)股東選取的破產(chǎn)邊界為A*，也就是說，當標的資產(chǎn)的價值A(chǔ)第一次從上至下觸碰到A*時，目標公司選擇破產(chǎn)清算。因此，τ即為標的資產(chǎn)價值A(chǔ)第一次自上而下達到A*的時刻：τ=inf{t∈(0,T)|At=A*}。根據(jù)債務(wù)定價公式(2)，t時刻債務(wù)價值Dt滿足下面的HJB (Hamilton-Jacobi-Bellman)方程：

(3)

為了確定上述HJB方程的解，債務(wù)價值D(t,At)需要滿足邊界條件：

D(0,A0)=D0

D(t,∞)=Pt，0

D(T,AT)=min{AT,PT}

D(τ,A*)=min{(1-κ)Aτ,Pτ}

第一個邊界條件表示初始時刻債券面值等于債權(quán)人的出資D0；第二個條件表示在運營期內(nèi)，如果標的資產(chǎn)價值足夠大，債權(quán)人總能收回股東尚未償還的本金和利息；第三個條件表示項目到期時債權(quán)人的收益；最后一個條件則表示破產(chǎn)時債券人的獲益。因為第一個和第二個條件是通用條件，所以在后文的表達中將不再單獨列出。

如果標的資產(chǎn)的風險可以被公開市場證券充分對沖，上述模型可以簡化為標準的Leland和Toft[13]有限期債務(wù)模型。實際上，公式(3)及其邊界條件類似于有限期債的定義，但是值得注意的是在上述定義中，當債務(wù)到期時，債權(quán)人獲得尚未償還的本金和面值，并非債券面值。尚未償還的本金和面值或許比面值低，或許比面值高，依賴于債券類型。

2.2 分層債務(wù)結(jié)構(gòu)及估值

股權(quán)收購?fù)ǔ０l(fā)行如下幾種形式的債券進行債務(wù)融資：優(yōu)先級信用債(first-lien revolver)、優(yōu)先A級債(first-lien term A)、優(yōu)先B級債(first-lien term B)以及次級債(second-lien)。接下來，本文將具體分析股權(quán)收購交易中各層債務(wù)的估值問題。

優(yōu)先級信用債通常由銀行提供，是一種貸款承諾，需要標的公司提供一定的資產(chǎn)作為擔保，因此安全性較高。公司只會在資金周轉(zhuǎn)困難時使用這種債務(wù)融資，并且公司的舉債規(guī)模也不確定，視實際需求而定。公司通常會在現(xiàn)金流恢復(fù)后盡快償還信用債，以備下次使用。信用債的實際期限十分靈活，難以定量分析。此外，由于優(yōu)先信用債的償付級別最高，期限很短，信貸利差通常由銀行與收購基金協(xié)商決定，與基金公司的償付能力有較大關(guān)系，而與被收購的目標公司關(guān)系不大(見Demiroglu和James[5])。因此本文不考慮這種債務(wù)融資方式。

2.2.1 優(yōu)先A級債

(4)

定義t時刻優(yōu)先A級債的價值為Va(t,At)，那么Va(t,At)滿足公式(3)所示的HJB方程以及如下的邊界條件

因為優(yōu)先A級債尚未償付的本金和利息之和隨著時間的流逝而不斷減少，在債務(wù)到期時(即t=T)，目標公司剛好還清所有的利息和本金，所以在t=T時刻，尚未償還的本金和利息之和為0。

由于股權(quán)并購交易通常采用很高的杠桿，如果采用單一的優(yōu)先A級債，公司將面臨比較嚴重的現(xiàn)金支付壓力。尤其在初始階段，標的資產(chǎn)的價值處于較低水平，產(chǎn)生的現(xiàn)金流可能不足以支付優(yōu)先A級債要求的等額本息，所以債務(wù)違約問題十分突出。為了緩減這種等額本息支付壓力，股權(quán)收購基金會發(fā)行優(yōu)先B級債。

2.2.2 優(yōu)先B級債

優(yōu)先B級債則是由機構(gòu)投資者提供的債務(wù)資金，為了與信用債和優(yōu)先A級債區(qū)分，優(yōu)先B級債往往也被稱為機構(gòu)定期債 (institutional term loan)。優(yōu)先B級債是一種類似于子彈債的融資方式，目標公司在合同期限內(nèi)只需要支付較少的利息，剩余的利息以及本金則在合同到期時一次付清。在實際操作過程中，B級債的利率以及每期支付的金額由借貸雙方商議決定。為了便于分析，本文假設(shè)每期產(chǎn)生的利息在當期支付，債務(wù)到期償還全部本金。

與優(yōu)先A級債相比，優(yōu)先B級債對目標公司產(chǎn)生的即期利息支付壓力較小。由于在到期日之前一直沒有償付本金，因此在合約期內(nèi)的任意時刻t(t≤T)，尚未償還的本金為

定義t時刻優(yōu)先B級債的債權(quán)價值為Vb(t,At)，那么Vb(t,At)滿足如公式(3)所示的HJB方程以及如下的邊界條件

目前，本文給出了優(yōu)先A級債和B級債的定價方法。但是，在股權(quán)收購交易中，如果發(fā)行這兩種債務(wù)募集的資金與基金公司的自有資金依舊無法滿足收購價格，那么收購基金將會發(fā)行次級債來為這部分差額進行融資。

2.2.3 次級債

定義t時刻次級債的價值為Vp(t,At)。同理，價值函數(shù)Vp(t,At)滿足如公式(3)所示的HJB方程，同時滿足如下的邊界條件

2.3 股權(quán)估值

目標公司的現(xiàn)金收入主要包含兩部分，一部分是在項目到期或者破產(chǎn)清算之前，標的資產(chǎn)產(chǎn)生的自由現(xiàn)金流，另一部分是投資到期時的資產(chǎn)價值或者破產(chǎn)清算時的殘留資產(chǎn)價值。標的資產(chǎn)價值和自由現(xiàn)金流滿足公式(1)所示的幾何布朗運動，因此在單位時間內(nèi)目標公司產(chǎn)生的自由現(xiàn)金流為δAt。定義t時刻目標公司權(quán)益部分的價值為Ve(t,At)，那么其滿足如下所示的HJB方程

與債權(quán)價值相似，Ve(t,At)滿足如下的邊界條件：

Ve(τ,Aτ)=min((1-κ)Aτ-Va(τ,Aτ)-Vb(τ,Aτ)-Vp(τ,Aτ),0)

上述HJB方程刻畫了構(gòu)成股權(quán)回報的三個方面：現(xiàn)金流與利息支出的差額，時間變動帶來的價值改變，以及標的資產(chǎn)變動帶來的價值變化。如果當現(xiàn)金流與利息支出的差額為負時，股東利用自由資金彌補這部分赤字。區(qū)別于傳統(tǒng)的無限期動態(tài)估值模型(Leland[14])，本文考慮有限期情形，因此在權(quán)益估值中需要考慮時間維度。

值得注意的是，無論是債券估值還是股權(quán)估值，都是在給定股東選擇的最優(yōu)破產(chǎn)邊界A*條件下進行計算的。事實上，當標的資產(chǎn)價值較低時，目標公司產(chǎn)生的自由現(xiàn)金流也處于較低水平(即δAt)，但目標公司需要大量的自由現(xiàn)金用于支付債務(wù)利息，因此目標公司的利息償付壓力較大。在這種情況下，股東需要權(quán)衡繼續(xù)運行目標公司帶來的收益和立即破產(chǎn)所節(jié)省的利息成本。由于利息是一個相對穩(wěn)定的現(xiàn)金支出，并不會隨著資產(chǎn)價值下降而減少。因此，當標的資產(chǎn)價值低于某個數(shù)值時，股東有動力選擇破產(chǎn)清算。如果選擇破產(chǎn)清算，股東可以避免此后持續(xù)的利息支出。與此相反，過早選擇破產(chǎn)清算，股東會喪失未來項目成功帶來的高收益(期權(quán)屬性)。因此，在股權(quán)收購初始時刻，股東需要選擇最優(yōu)的破產(chǎn)觸發(fā)點A*最大化股權(quán)價值。根據(jù)Leland和Toft[13]和Leland[14]以及其他文獻，股權(quán)價值最大化要求破產(chǎn)觸發(fā)點A*滿足如下的光滑粘貼條件

(5)

其中Ve(A;A0,A*)表示給定標的資產(chǎn)初始價值A(chǔ)0和股東選擇的破產(chǎn)邊界A*時的股權(quán)價值Ve(0,A0)。顯然，股東選擇的破產(chǎn)邊界A*為常數(shù)，這體現(xiàn)了股東的理性預(yù)期，所以與債務(wù)距到期的時間無關(guān)，這與Leland和Toft[13]有限期債務(wù)結(jié)構(gòu)下的常數(shù)破產(chǎn)邊界相一致。

因破產(chǎn)清算時標的資產(chǎn)的剩余價值是債券價值的來源之一，所以破產(chǎn)邊界A*對于債券估值也會產(chǎn)生較大影響。當破產(chǎn)邊界較高時，目標公司會更早破產(chǎn)，雖然較高的破產(chǎn)邊界增加了破產(chǎn)清算時債權(quán)人可能獲得的剩余價值，但是減少了債權(quán)人獲得利息收入的時間。如果選擇較低的破產(chǎn)邊界，雖然增加了債券的利息收入，但是一旦破產(chǎn)清算，剩余價值有可能無法償付剩余的所有債務(wù)。所以對于本文考慮的多層債務(wù)問題，因不同債務(wù)的優(yōu)先級和利息支付條款不相同，破產(chǎn)邊界對債務(wù)價值的影響會更加復(fù)雜。

對于優(yōu)先A級債而言，合約持續(xù)期的現(xiàn)金利息是構(gòu)成債權(quán)價值的最主要部分，本金隨著合約到期而逐漸下降到零。所以對于優(yōu)先A級債的債權(quán)人來說，改變破產(chǎn)邊界主要通過影響利息收入(等額本息)來影響債權(quán)價值。但對于次級債而言，債務(wù)持續(xù)期內(nèi)的現(xiàn)金利息很少，甚至沒有，債權(quán)人主要依賴到期時一次性收回債務(wù)價值。所以，對于次級債債權(quán)人而言，破產(chǎn)邊界主要通過影響清算價值而影響債權(quán)價值。破產(chǎn)邊界對優(yōu)先B級債價值的影響介于對優(yōu)先A級債和次級債之間。在考慮了破產(chǎn)邊界變化對不同債權(quán)價值的影響之后，不同優(yōu)先級的債權(quán)人選定信貸利差(以及次級債的現(xiàn)金利息)，使得債務(wù)在初始時刻的價值等于債權(quán)人的出資，保證所有債權(quán)人盈虧平衡。

3 參數(shù)校準

Metrick和Yasuda[1]通過研究144家股權(quán)收購基金的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)股權(quán)收購?fù)顿Y的波動率為60%。根據(jù)Campbell等[15]的研究，小公司的波動率為60%，但Metrick和Yasuda認為其樣本中的股權(quán)收購?fù)顿Y波動率過小，因此他們在模型中選取90%作為標的資產(chǎn)幾何布朗運動的波動率。而在本文中，我們選取60%的波動率作為基本參數(shù)。

Demiroglu和James[5]分析了181個杠桿收購案例，其樣本顯示，凈現(xiàn)金流大約為總資本的7%左右(在不同年代，這一數(shù)據(jù)在5%～12%之間波動)，EBITDA大約為總資本的11%(在不同年代，這一數(shù)據(jù)在8%～16%之間波動)。本文選取δ=10%作為單位時間內(nèi)標的資產(chǎn)產(chǎn)生自由現(xiàn)金流的速度。

私募基金的目標公司大多具有很高的成長潛力，股權(quán)收購案例也不例外。Harris等[16]研究發(fā)現(xiàn)，私有股權(quán)投資標的相對于標普500(S&P500)的超額收益為6.6%?；谶@些實證結(jié)果，本文選擇μA=20%作為基本參數(shù)。

Kaplan和Str?mberg[3]發(fā)現(xiàn)私有股權(quán)收購基金通常不會在同一家目標公司投資超過五年，如果項目成功，基金將會在剩余五到八年回收投資。Demiroglu和James[5]的樣本數(shù)據(jù)顯示股權(quán)收購中的債務(wù)融資平均期限為44～90個月，其中優(yōu)先A級債的期限大約為44～78個月，優(yōu)先B級債大約為70～90個月，次級債的期限大約在80個月左右。本文選取T=6，即72個月作為項目持續(xù)期。事實上，對邊界條件進行調(diào)整，本模型適用于不同期限的債務(wù)定價。

Kleymenova等[17]的樣本顯示，在2003～2010年的私募二級市場交易中，普遍存在25%左右的折價。Nadauld等[18]研究了2007～2009金融危機期間的樣本，發(fā)現(xiàn)私募股權(quán)二級市場折價超過了50%。本文選擇κ=40%作為折扣率。

4 模型分析

4.1 數(shù)值結(jié)果分析

因為在實際中，有的次級債包含現(xiàn)金利息條款，有的則不包含現(xiàn)金利息條款。為了檢驗?zāi)Ｐ偷姆€(wěn)健性，本文先分析次級債包含現(xiàn)金利息和不包含現(xiàn)金利息對各級債券信貸利差的影響。首先考慮不包含任何現(xiàn)金利息支付的情形，即rp=0。基于前面的參數(shù)值，本文模型的數(shù)值結(jié)果為：優(yōu)先A級債、B級債和次級債的信貸利差分別為csa=1.38%，csb=4.77%，csp=8.68%，破產(chǎn)邊界為A*=13.77%×A0，即標的資產(chǎn)價值跌到初始價值的13.77%時，目標公司選擇破產(chǎn)清算。通過對股權(quán)價值進行分析可得，股東的內(nèi)部收益率(IRR)為22.72%。

再考慮次級債包含現(xiàn)金利息支付的情形。不失一般性，假設(shè)次級債現(xiàn)金利率為rp=4.5%。在這種情況下，三種債券的信貸利差分別為：csa=1.41%，csb=4.94%，csp=3.18%，破產(chǎn)邊界為A*=14.29%×A0，股東的內(nèi)部收益率為22.68%。Ljungqvist和Richardson[19]通過分析私募基金投資者的現(xiàn)金流數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)投資者的平均內(nèi)部收益率為21.83%。而Groh和Gottschalg[20]利用Thomson Venture Economics數(shù)據(jù)庫對美國的股權(quán)收購基金進行分析，發(fā)現(xiàn)在剔除基金層面費用之前的內(nèi)部收益率為22.73%。因此，無論次級債是否包含現(xiàn)金支付，基于校準的參數(shù)，本文模型估算的股權(quán)內(nèi)部收益率與實證數(shù)據(jù)十分接近。

進一步對比上述兩種結(jié)果發(fā)現(xiàn)，次級債現(xiàn)金利息支付對優(yōu)先A、B級債的信貸利差和股東選擇的破產(chǎn)邊界影響甚微，但是極大程度地降低了次級債的信貸利差。其潛在的經(jīng)濟邏輯為：如果增加合約期內(nèi)次級債權(quán)人的現(xiàn)金利息收益，債權(quán)人在初始時刻會降低所要求的信貸利差，較低的信貸利差降低了次級債本金的累積速度。對股東而言，如果次級債要求的現(xiàn)金利息提高，會增加項目期內(nèi)的現(xiàn)金支出壓力，從而使公司更有可能陷入流動性短缺的境地。但從另一個角度來說，由于次級債現(xiàn)金利息提高，期末本金會大幅下降，因此項目成功時，股東能得到更多的剩余價值。通過權(quán)衡這兩方面的利弊，股東最終保持破產(chǎn)策略基本不變，而股權(quán)價值在兩種情況下也基本相同。

綜合上述分析不難發(fā)現(xiàn)，提高次級債的現(xiàn)金利率，會對次級債產(chǎn)生重要影響，但對更高級別的債務(wù)和股權(quán)價值影響不大。本質(zhì)上來說，次級債的現(xiàn)金利息和本金累積率是影響次級債價值的兩個主要方面，次級債債權(quán)人需要權(quán)衡這兩者的利弊來選擇盈虧平衡的信貸利差。一般情況下，次級債債權(quán)人的這種權(quán)衡不會直接影響優(yōu)先級高于次級債的債權(quán)價值。但是，增加次級債現(xiàn)金利息會增加目標公司的債息支付壓力，可能導(dǎo)致更早的破產(chǎn)清算，從而間接影響優(yōu)先級更高的債權(quán)價值。在本文的模型中，次級債現(xiàn)金利息導(dǎo)致的股權(quán)損失與次級債累積本金下降帶來的股東利益增加基本相互抵消，從而不會大幅影響股東的破產(chǎn)決策。鑒于此，在后文的分析中，我們均考慮具有現(xiàn)金利息支付的次級債。

事實上，根據(jù)優(yōu)先A級債、優(yōu)先B級債、次級債和股權(quán)價值滿足的HJB方程、邊界條件以及優(yōu)先A、B級債和次級債債權(quán)人的盈虧平衡條件，在(外生)給定股東破產(chǎn)邊界A*時，可以計算三種優(yōu)先級債券的價值和股權(quán)價值。然后根據(jù)光滑粘貼條件(5)在初始時刻選擇最大化股權(quán)價值的破產(chǎn)點A*。一旦求得破產(chǎn)觸發(fā)點A*，可根據(jù)標的資產(chǎn)的動態(tài)方程求解最優(yōu)的破產(chǎn)概率。為此，記f(t)和F(t)分別為標的資產(chǎn)價值從A0到達A*的首達時概率密度函數(shù)和累計分布函數(shù)。根據(jù)Karatzas和Shreve[21]，f(t)和F(t)分別為

+Φ[-a]

圖1給出了在基本參數(shù)設(shè)定下的破產(chǎn)概率。圖1(a)表示破產(chǎn)概率密度與時間的關(guān)系。從圖中不難發(fā)現(xiàn)，在項目剛開始的時候，破產(chǎn)概率很低，這是因為標的資產(chǎn)的價值遠高于破產(chǎn)邊界(A0=7A*)。隨著時間流逝，單位時間內(nèi)的破產(chǎn)概率逐漸增加，大約在第三年前后達到最大值，隨后逐漸下降。圖1(b)給出了累積破產(chǎn)概率隨時間的變化趨勢。圖示結(jié)果說明，在項目實施的前兩年內(nèi)公司的破產(chǎn)概率低于2%，然后隨時間一直遞增，到項目到期時破產(chǎn)概率大約為12%。這與Kaplan和Str?mberg[22，3]以及Andrade和Kaplan[7]等實證研究結(jié)論基本吻合。

圖1 破產(chǎn)概率密度和累積破產(chǎn)概率分布

在分層債務(wù)結(jié)構(gòu)中，各層債務(wù)在不同時刻和不同資產(chǎn)價值下的債權(quán)價值會有所不同。如圖1所示，目標公司在前期具有較低的破產(chǎn)概率，因此優(yōu)先A級債有較大可能充分收回其債務(wù)價值，但優(yōu)先B級債和次級債只能依靠在后期收回其債務(wù)價值。為了進一步說明分層債務(wù)結(jié)構(gòu)的優(yōu)勢和對公司杠桿、各層債務(wù)占比的影響，圖2分別繪制了不同標的資產(chǎn)價值和不同時間節(jié)點對應(yīng)的各層債務(wù)比例以及目標公司的最優(yōu)杠桿。

圖2 目標公司的杠桿和債務(wù)比例

圖2(a)分析了在某一固定時刻(即t=0)公司杠桿、各層債務(wù)比例與標的資產(chǎn)價值之間的關(guān)系。其中，公司杠桿為債務(wù)總價值占公司總價值的比例，優(yōu)先A級債(優(yōu)先B級債、次級債)比例為優(yōu)先A級債(優(yōu)先B級債、次級債)價值占債務(wù)總價值的比例。分析結(jié)果表明，當標的資產(chǎn)價值趨近于破產(chǎn)邊界時，公司杠桿疾速上升并達到最大，幾乎接近100%。實際上，大量實證研究發(fā)現(xiàn)，在金融危機中，許多杠桿收購的目標公司由于資產(chǎn)貶值造成其杠桿率急速提升，最終不得不選擇破產(chǎn)清算，從而導(dǎo)致大量股權(quán)收購項目失敗[19-21]。顯然，本文的理論模型

圖2-(b)分析了在資產(chǎn)價值保持不變的條件下(即A=A0)，公司杠桿、各級債務(wù)占總債務(wù)的比重與時間的關(guān)系。從圖中可以看出，隨著時間的推移，債權(quán)價值在公司價值中所占的比例逐漸上升，公司杠桿逐漸提高。其主要原因在于，當標的資產(chǎn)價值一直保持不變的時候，具有期權(quán)屬性的股權(quán)價值就會快速縮水，從而導(dǎo)致公司整體杠桿上升。優(yōu)先A級債的價值隨時間增加而逐漸減小到0，所以其占比下降。但優(yōu)先B級債和次級債的占比例逐漸增加。注意到優(yōu)先B級債在每一期獲得利息支付，沒有利息累積進入本金，所以其價值本身會隨時間的流逝而降低。但與之相比，優(yōu)先A級債的債權(quán)人每期都會收到等額本息，因此其價值下降速度遠遠高于優(yōu)先B級債價值下降的速度。這種速度差異導(dǎo)致了優(yōu)先B級債所占比例不但不下降反而上升的結(jié)果。在實踐操作中，對于多層債務(wù)結(jié)構(gòu)的估值，投資者和債權(quán)人除了要考慮各種債務(wù)所占比例，還要對具體價值進行逐個分析，更需要深入了解其變動的潛在原因和影響因素。

4.2 單層債務(wù)結(jié)構(gòu)分析

至此，本文已經(jīng)給出了多層債務(wù)結(jié)構(gòu)下的破產(chǎn)邊界和股權(quán)債權(quán)價值分析，接下來對不同債務(wù)進行單獨分析，比較它們之間的差異，進一步證實多層債務(wù)結(jié)構(gòu)的優(yōu)勢。

圖3給出了單層債務(wù)結(jié)果下的破產(chǎn)概率。從圖3(a)中可以看出，隨著時間流逝，按揭債的破產(chǎn)概率密度迅速上升，而本金積累型債券的破產(chǎn)概率密度在相對長的時間內(nèi)幾乎為零。按揭債的破產(chǎn)概率密度最先達到峰值，然后逐漸下降，從而形成倒U型的形狀。正如上文所言，目標公司如果只發(fā)行按揭債，在項目初期將面臨較為沉重的流動性壓力，從而增加了單位時間破產(chǎn)清算的可能性。在項目后期，隨著本金逐漸減少，股東的期權(quán)價值越來越大，所以傾向于推遲破產(chǎn)，從而降低了單位時間的破產(chǎn)概率。不同于按揭債和子彈債，本金累積債的破產(chǎn)概率密度沒有出現(xiàn)關(guān)于時間的倒U型特征。圖3(b)給出了累計破產(chǎn)概率的分布情況，在本文設(shè)定的參數(shù)下，按揭債的破產(chǎn)概率大約是子彈債(本金累積債)的兩(四)倍。

圖3 單層債務(wù)結(jié)構(gòu)下破產(chǎn)概率密度和分布情況

4.3 比較靜態(tài)分析

這一部分考慮主要模型參數(shù)取值對結(jié)論的影響。通常情況下，私有股權(quán)投資的目標公司大多具有很高的波動率。在上文分析中，模型設(shè)定的波動率為σA=60%，這是一種比較適中的參數(shù)選擇?，F(xiàn)在考慮波動率更高的情況，即σA=90% (Metrick和Yasuda[1])。保持其他參數(shù)不變的情況下，有csa=7.5%，csb=15.11%，csp=15.33%以及A*=12.26%×A0，股權(quán)的內(nèi)部收益率為22.17%。這些結(jié)果表明，當標的資產(chǎn)波動率增加時，所有債權(quán)人都要求更高的信貸利差。提高波動率意味著目標公司擁有的項目風險越大，因此債權(quán)人會要求更高的信貸利差來彌補高波動性可能帶來價值損失。但是對股東而言，增加標的資產(chǎn)波動率對股權(quán)價值產(chǎn)生正反兩方面的影響。不利的方面，增加標的資產(chǎn)的不確定性增加了債權(quán)人要求的信貸利差，從而增加了合約期限內(nèi)現(xiàn)金利息支付壓力，同時也增加了項目到期時尚未償還的債務(wù)總量，因此股東有動機選擇提前破產(chǎn)。另外一方面，類似于標準的資本結(jié)構(gòu)理論(Leland[14])，股權(quán)具有典型的期權(quán)屬性，標的資產(chǎn)的波動性會增加股權(quán)價值，從而吸引股東選擇更低的破產(chǎn)觸發(fā)點。通過權(quán)衡這些利與弊，股東選擇最優(yōu)的破產(chǎn)邊界。在校準的參數(shù)下，期權(quán)效應(yīng)稍微占據(jù)主導(dǎo)作用，即增加標的資產(chǎn)的不確定性，股東選擇推遲破產(chǎn)。實際上，股東通過權(quán)衡，選擇最優(yōu)的破產(chǎn)觸發(fā)點，極大地削弱了標的資產(chǎn)不確定性對股權(quán)內(nèi)部收益率的影響(IRR(σA=60%)=22.68%，IRR(σA=90%)=22.17%)。這主要是因為債務(wù)對目標公司標的資產(chǎn)的風險有著十分重要的分散作用，而這種分散機制非常類似于債務(wù)對異質(zhì)風險的分散作用(關(guān)于金融工具可分散企業(yè)特質(zhì)風險的研究可參考Chen, Miao和Wang[23], Wang, Yang和Zhang[24]等文獻)。

資本市場的利息率是衡量市場流動性的有效指標之一。當市場流動性較充裕時，市場利率處于較低水平，債務(wù)融資成本也會比較低。在基本模型分析中，本文設(shè)定市場利率為r=5%。為了分析市場流動性對債務(wù)價值、破產(chǎn)決策以及股權(quán)價值的影響，本文設(shè)定一個更低的市場利率，即r=2%。在其他參數(shù)不變的情況下，通過計算可得：csa=1.1%，csb=4.1%，csp=2.45%，破產(chǎn)邊界為A*=11.02%×A0，股權(quán)的內(nèi)部收益率為26.44%。這些結(jié)果表明，在低市場利率條件下，各層債務(wù)的信貸利差明顯下降。相對于高利率市場環(huán)境，目標公司的利息負擔得到顯著緩解，尚未償還的次級債本金累積量也有所下降。此外，破產(chǎn)邊界更低，保證了目標公司能經(jīng)營更久(平均而言)，這在很大程度上歸因于項目持續(xù)期內(nèi)利息負擔減少。對股東而言，在低利率市場環(huán)境中，股權(quán)的內(nèi)部收益率上升到26.44%，相比于高利率情況下的內(nèi)部收益率有較大幅度提升。AJSW[2]曾指出貸款成本對于股權(quán)收購杠桿實施和估值都會產(chǎn)生重大影響，低廉的債務(wù)融資是股權(quán)收購市場繁榮的重要條件。Kaplan和Stein[4]通過實證研究指出，上世紀80年代高收益?zhèn)袌龅姆睒s，是股權(quán)收購市場快速發(fā)展的重要原因。顯然，本文的結(jié)果從理論上支持了這些實證結(jié)論。

5 結(jié)語

基于股權(quán)收購理論，本文構(gòu)建了基于多層債務(wù)結(jié)構(gòu)的債權(quán)估值和股權(quán)估值理論模型，并分析了目標公司的最優(yōu)破產(chǎn)策略和破產(chǎn)概率?；谛实哪Ｐ蛥?shù)，模型提供了與實證數(shù)據(jù)十分吻合的股權(quán)內(nèi)部收益率。在股權(quán)收購交易初期，目標公司在單位時間內(nèi)的破產(chǎn)概率比較低，但隨后急劇上升，達到最大值后緩慢下降。破產(chǎn)概率的這種分布特點也與實證研究結(jié)論十分吻合。另外，文章分析了標的資產(chǎn)價值、時間對公司杠桿和各層債務(wù)占比的影響。特別地，隨著標的資產(chǎn)價值趨近于破產(chǎn)邊界，公司杠桿和優(yōu)先級最高的債務(wù)占比急劇上升，而其他債務(wù)的占比急速下降，這從理論上支持了在經(jīng)濟條件惡化時投資者搶購安全資產(chǎn)的行為動機。

本文對比分析了三種不同債務(wù)融資方式對債權(quán)估值和破產(chǎn)決策的影響。分析結(jié)果表明，如果只采用單層按揭債方式進行融資，融資成本比較高，目標公司會選擇提前破產(chǎn)，從而增加了破產(chǎn)概率。如果只采用單層本息累積型債務(wù)進行融資，雖然破產(chǎn)概率較低，但是債權(quán)人要求較高的信貸利差，從而要求更高的本金累積速度，這會導(dǎo)致期末股東損失更多權(quán)益。而只采用單層子彈債的成本也會高于多層債務(wù)結(jié)構(gòu)下的融資成本。這從融資成本、破產(chǎn)概率和期末股權(quán)價值等角度論證了多層債務(wù)結(jié)構(gòu)的優(yōu)勢和合理性。

本文對模型的主要參數(shù)進行了比較靜態(tài)分析。分析結(jié)果顯示，雖然提高標的資產(chǎn)的波動率會使得債務(wù)融資成本大幅上升，但是對股權(quán)內(nèi)部收益率卻影響甚微。這主要歸功于兩個方面：第一方面，增加標的資產(chǎn)的波動率增加了項目風險，但是股東可以通過發(fā)行債務(wù)等金融工具有效降低自己承擔的風險。另一方面，股東可以通過權(quán)衡標的資產(chǎn)波動率的期權(quán)效應(yīng)和債務(wù)成本效應(yīng)選擇最優(yōu)的破產(chǎn)觸發(fā)點，進而降低不確定性對自身利益的影響。除此之外，當市場利率較低時，所有債務(wù)的融資成本均有所下降，股東選擇推遲破產(chǎn)，股權(quán)價值顯著提升。這說明較高的市場流動性對股權(quán)收購交易產(chǎn)生積極影響，這與實證研究的相關(guān)結(jié)論十分吻合。

雖然本文研究了股權(quán)收購案例中具有特質(zhì)風險目標公司的債權(quán)、股權(quán)估值理論和破產(chǎn)決策，但本文的理論結(jié)果可以為其他相似模型提供參考。比如，在場外市場(OTC)交易的以流動性較差的資產(chǎn)作為標的的資產(chǎn)擔保證券(ABS)，針對其分層收益結(jié)構(gòu)，也可以利用本模型進行價值分析。