翁荔

【摘要】為了幫助學(xué)習(xí)者解決問題，教師應(yīng)從溝通聯(lián)系的角度出發(fā)，在探知學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，提出恰當(dāng)?shù)?、?duì)學(xué)生有啟發(fā)的類比案例，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)概念、加強(qiáng)理解、強(qiáng)化技能、提高能力，本文通過(guò)具體的案例論述如何利用基于問題解決中的類比案例來(lái)指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí).

【關(guān)鍵詞】問題解決，類比，同質(zhì)

【基金項(xiàng)目】江西教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題《基于問題解決的初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究》（17PTYB008）研究成果.

類比是解決數(shù)學(xué)問題的常用方法.波利亞曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“類比是問題解決的引路人.”在教學(xué)活動(dòng)中，通過(guò)類比來(lái)促進(jìn)教學(xué)得到了很多研究人員和學(xué)者的認(rèn)可.從認(rèn)知心理學(xué)角度來(lái)看，類比就是特殊對(duì)象之間的特定信息的轉(zhuǎn)移.運(yùn)用類比有助于提出猜想、完善圖式、促進(jìn)新發(fā)現(xiàn)的產(chǎn)生，但是學(xué)生的類比能力不是自然形成的，需要教師不斷深入地培養(yǎng).在基于問題解決的學(xué)習(xí)中，類比案例以問題屬性的相似點(diǎn)和屬性關(guān)系之間的相似點(diǎn)為基礎(chǔ)，通過(guò)提供本質(zhì)相似或相同的問題引發(fā)學(xué)生的思考，幫助學(xué)習(xí)者補(bǔ)全認(rèn)識(shí)、通透理解、提高思維品質(zhì)，現(xiàn)舉例與同行探討.

一、以體會(huì)概念為核心的比較

問題1 如圖1所示為一種折疊門，此門中間是左右兩扇相等的活頁(yè)門，活頁(yè)門的右軸固定在門框上.門的上下裝有軌道，可以推動(dòng)左側(cè)的活頁(yè)門進(jìn)行開關(guān).現(xiàn)把圖1的俯視圖簡(jiǎn)化成圖2，已知兩扇活頁(yè)門的寬OB=OC=60 cm，軌道AB=120 cm，點(diǎn)B固定時(shí)，點(diǎn)C在AB上左右運(yùn)動(dòng)，OC與OB的長(zhǎng)度不變，求當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)A向右運(yùn)動(dòng)60 cm時(shí)，點(diǎn)O在此過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng).

問題2 如圖3所示為一電動(dòng)門，當(dāng)門水平下落關(guān)閉時(shí)，可以抽象成圖4的矩形ABCD，其中AB=3 m，AD=1 m，此時(shí)它與入口OM等寬，與地面的距離AO=0.2 m，當(dāng)門抬起時(shí)，變?yōu)閳D5的平行四邊形AB′C′D，此時(shí)，AB′與水平方向的所夾的角度為60°.求在電動(dòng)門抬起至圖5的過(guò)程中，點(diǎn)C所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).

解 問題1：60·π·60180=20π，問題2：60·π·3180=π.

學(xué)生的解答情況：這一組問題采取先解答問題1后呈現(xiàn)問題2的方式.剛接觸問題1時(shí)，很多學(xué)生無(wú)從下筆，困難之處在于從C，O這兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的角度很難確定點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)軌跡，問題2在問題1的基礎(chǔ)上，學(xué)生有了部分解題經(jīng)驗(yàn)，但是很多學(xué)生錯(cuò)誤地把A當(dāng)作定點(diǎn)，CA當(dāng)作定長(zhǎng)來(lái)解決問題.

類比點(diǎn) 這一組問題的“同質(zhì)”之處是對(duì)圓的概念的理解，即到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.這個(gè)定義可以等價(jià)為圓是確定了一個(gè)定點(diǎn)和一段定長(zhǎng)后，另一動(dòng)點(diǎn)形成的圖形.

教學(xué)小結(jié) 用知識(shí)解決問題的情況，可以反映學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度.通過(guò)典型問題的設(shè)置，能夠幫助學(xué)生深化知識(shí)的理解，把握核心的思想方法，實(shí)現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)的調(diào)整、補(bǔ)充和完善.這組問題是對(duì)圓的定義的深入理解，用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)理解圓的定義，把動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題轉(zhuǎn)化為找定點(diǎn)和固定線段.通過(guò)這樣的比較，使學(xué)生能從不同角度認(rèn)識(shí)概念，辨識(shí)非本質(zhì)屬性和本質(zhì)屬性，建立概念的多元聯(lián)系，對(duì)發(fā)展學(xué)生的概括能力有著重要的意義.

二、以加強(qiáng)理解為核心的比較

問題1 如圖6所示，點(diǎn)P為線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，PA=m，AB=n，請(qǐng)思考點(diǎn)P位于何位置時(shí)，線段PB的長(zhǎng)取最大值，并求出這個(gè)最大值（用含m，n的式子表示）.

問題2 如圖7所示，點(diǎn)D為線段EF外一動(dòng)點(diǎn)，EF=3，DE=1，分別以DE，DF為邊，作等邊△DEG和等邊△HDF，連接GF，HE，求線段HE的最大值.

問題3 如圖8所示，已知⊙O的半徑為3，OC=5，點(diǎn)B是⊙O上的動(dòng)點(diǎn).在△ACB中，∠BAC=90°，AC=AB，連接AO.現(xiàn)將AO繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AD，連接CD，求AO的最大值.

解 問題1：當(dāng)點(diǎn)P位于BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段PB取最大值，為m+n=2.問題2：易證△GDF≌△EDH，∴線段HE的最大值=線段GF的最大值.當(dāng)線段GF的長(zhǎng)取最大值時(shí)，點(diǎn)G在FE的延長(zhǎng)線上，∴最大值為3+1=4.問題3：易證△ABO≌△ACD，∴BO=CD.所以當(dāng)點(diǎn)D位于OC的延長(zhǎng)線上時(shí)，OD取最大值8.此時(shí)AO=22OD=42.

學(xué)生的解答情況：在實(shí)際解決問題中，很多學(xué)生不理解問題1，為什么點(diǎn)P位于BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段PB取最大值，導(dǎo)致后面的問題無(wú)法解決.問題2中隨著D點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，變化的線段很多，學(xué)生眼花繚亂、辨識(shí)不清.問題3中學(xué)生很難想到通過(guò)求線段OD來(lái)推導(dǎo)線段AO.

類比點(diǎn) 這一組問題的“同質(zhì)”之處是借助三角形三邊關(guān)系對(duì)圖形的理解，如圖6所示，隨著∠B的變化，△ABC分別經(jīng)歷了銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，雖然三角形不同，但都滿足三角形兩邊之和大于第三邊，因此，能夠理解當(dāng)它不構(gòu)成三角形，即A，B，C在同一條直線上時(shí)，有最大值a+b.

教學(xué)小結(jié) 布魯納曾指出，比較在幫助學(xué)生直觀理解和發(fā)展抽象水平方面的作用極大.這組問題，看似復(fù)雜圖形的不同變化，但其最根本的、突破的關(guān)鍵是如圖6所示的基本圖形.這個(gè)本源圖形的確定就是逐漸排除無(wú)關(guān)屬性，突出關(guān)鍵屬性的過(guò)程.從學(xué)生的答題情況來(lái)看，學(xué)生缺乏對(duì)基本圖形即對(duì)運(yùn)動(dòng)變化中線段長(zhǎng)度的理解.由于學(xué)生的心理發(fā)展水平不夠，教師就需要引領(lǐng)指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)更多細(xì)節(jié)、本質(zhì)的內(nèi)涵，只有通過(guò)多角度研究和分析獲得的理解，才最有可能遷移到其他事例上去.

三、以強(qiáng)化技能為核心的比較

問題1 若一元二次方程3x2-4x-4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，求x1+x2.

問題2 已知點(diǎn)A（x1，6），B（x2，6）是函數(shù)y=x2-2x+4上兩點(diǎn)，則當(dāng)x=x1+x2時(shí)，函數(shù)值y為多少？

問題3 已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)（-3，0），（1，0），求ba.

解 問題1：x1+x2=43，問題2：x1+x22=1，則x=x1+x2=2，∴y=4，問題3：x1+x2=-ba=-2，∴ba=2.

學(xué)生的解答情況 學(xué)生對(duì)公式的運(yùn)用有很大的“歸屬感”，一元二次方程的問題用韋達(dá)定理，拋物線涉及a，b的問題，用對(duì)稱軸公式，例如問題3用拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)解決，即-b2a=-3+12.

類比點(diǎn)分析 這一組問題的“同質(zhì)”之處是根與系數(shù)的關(guān)系.問題1是根與系數(shù)關(guān)系的顯性表征.問題2是由一元二次方程過(guò)渡到拋物線情境的半顯性表征，問題3是內(nèi)顯表征，其較前兩問的層次體現(xiàn)在：（1）由二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系得，拋物線與x軸的交點(diǎn)即函數(shù)值y為0的情況，（2）從3x2-4x-4=0到ax2+bx+c=0的數(shù)字到字母的抽象，（3）由公式的順推到公式的逆推.

教學(xué)小結(jié) 從一個(gè)示例遷移問題解決技能于新的問題，需要學(xué)生從該示例中構(gòu)建起此類問題的圖式，并且將它用于新的情境中.只用一個(gè)示例往往會(huì)使學(xué)生側(cè)重于過(guò)程的模仿，而忽略問題的結(jié)構(gòu)特征，使學(xué)生無(wú)法解決變換的其他問題或不能把此方法遷移到其他問題.通過(guò)這組問題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生把方程知識(shí)、函數(shù)知識(shí)有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，形成合理的知識(shí)組塊.當(dāng)遇到相關(guān)問題時(shí)，學(xué)生能夠通過(guò)這些知識(shí)的合理轉(zhuǎn)換，形成清晰明了簡(jiǎn)潔的解決方案.

四、以形成能力為核心的比較

問題1 一件工作，小明做10天可以完成，小紅做15天可以完成，問兩人合作幾天可以完成？設(shè)兩人合作x天可以完成，則可列方程為.

問題2 《九章算術(shù)》是我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作，其中有一題：“今有鳧起南海，七日至北海，雁起北海，九日至南海.今鳧雁俱起，問何日相逢？”（鳧：野鴨）現(xiàn)假設(shè)鳧與雁從南海和北海同時(shí)起飛，經(jīng)過(guò)x天相遇，則可列方程為.

學(xué)生解答情況 在這組問題中，教師先展示問題2，大部分學(xué)生從速度這個(gè)角度來(lái)思考問題，無(wú)法列出方程，然后教師展示問題1，由問題1的類比很多學(xué)生立即想到了解題方案，最后教師鼓勵(lì)學(xué)生舉出不重復(fù)的例子，深入理解.

解 問題1：110+115x=1，問題2：17+19x=1.

類比點(diǎn) 這組問題的“同質(zhì)”之處是“工程問題”中的“1”，完成整項(xiàng)工作、飛完整段路程都是“1”，由具體的“1”到抽象的“1”是學(xué)生思維深刻性的提升.

教學(xué)小結(jié) 類比的依據(jù)是兩個(gè)不同事物的相同屬性，顯性的屬性容易察覺，但是本質(zhì)、深層次的屬性需要一定的挖掘能力.第三學(xué)段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，是具體形象思維向經(jīng)驗(yàn)型抽象思維的培養(yǎng)階段，此組比較，是學(xué)生從具體的事例，過(guò)渡到典型事例，再抽象出本質(zhì)的活動(dòng)，是學(xué)生認(rèn)知行為的訓(xùn)練.

綜上所述，學(xué)生解決問題時(shí)往往局限于具體情境，就事論事，不會(huì)從整體上把握和分析，難以實(shí)現(xiàn)向相似情境的遷移.基于問題解決的類比案例，從溝通聯(lián)系的角度出發(fā)，在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，提出恰當(dāng)?shù)?、?duì)學(xué)生有啟發(fā)的案例，對(duì)相關(guān)問題進(jìn)行探討，是學(xué)生加強(qiáng)理解、提高技能、發(fā)展能力、培養(yǎng)態(tài)度的有效途徑.

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