沈旭舟

[摘 ?要] 例題是學(xué)生學(xué)習(xí)概念的重要工具，文章從概念教學(xué)的視角出發(fā)分析了例題的基本功能，并以“等差數(shù)列”為例探討了例題在概念教學(xué)中的具體運(yùn)用，并結(jié)合實(shí)踐分享了一些思考和體會(huì).

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);概念教學(xué);例題

例題是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成，很多例題的出現(xiàn)就是為了對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行解釋，提升學(xué)生對(duì)概念的理解程度，因此在概念教學(xué)過程中，教師要妥善使用例題，充分發(fā)掘它潛在的功能，提升學(xué)生的概念學(xué)習(xí)效率.

概念教學(xué)視角下的例題功能分析

一般來講，數(shù)學(xué)課堂的例題有以下功能：介紹新知、引導(dǎo)理解、引領(lǐng)示范、詮釋方法、訓(xùn)練思維等功能，上述功能在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過程中也多有體現(xiàn)[1]. 在某個(gè)概念引入之后，教學(xué)都應(yīng)該提供一些例題，這些例題將為學(xué)生理解概念提供相應(yīng)的載體，須知例題的“例”這個(gè)字，如果以動(dòng)詞來理解，它本身就有“比照”的含義，如果作為名詞，它又表示“可以作為依據(jù)的事物”，由此可見附在概念講解后的例題對(duì)學(xué)生的理解有著示范與引領(lǐng)的作用.

教學(xué)教學(xué)中一直有這樣的說法：“概念不牢，地動(dòng)山搖”，數(shù)學(xué)概念的重要性不言而喻，對(duì)不少學(xué)生來講，沒有學(xué)好概念正是他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)舉步維艱的重要原因. 數(shù)學(xué)概念是一種重要的思維形式，是人腦對(duì)研究對(duì)象的空間形式以及數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)和特征的一種反映，它有著抽象性、發(fā)展性、簡潔性等特點(diǎn)，而這些也正是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要難點(diǎn)，例題則是解決這些難點(diǎn)的重要工具.

數(shù)學(xué)概念是對(duì)某類事物共性特點(diǎn)的反映，這也就決定它脫離了具體層面的事物實(shí)體，具有高度的抽象性，在概念教學(xué)過程中的，無論是導(dǎo)入還是解釋，都需要搭配具體的例題來進(jìn)行，例題讓概念的研究言之有物，讓數(shù)學(xué)研究不再是純粹的思辨，這也將促成學(xué)生對(duì)抽象概念的理解. 學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程一直有著發(fā)展性的特點(diǎn)，概念學(xué)習(xí)也同樣如此，即隨著學(xué)生認(rèn)識(shí)的由淺入深，他們對(duì)概念的研究將更有深度. 數(shù)學(xué)教材經(jīng)常以例題的方式來推動(dòng)學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生探索概念的內(nèi)涵和外延，進(jìn)而讓學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)逐步完善. 此外，數(shù)學(xué)概念還有簡潔性等特點(diǎn)，它是用最簡潔而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z言將事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)展示出來，很多學(xué)生初次接觸概念，都會(huì)覺得相關(guān)內(nèi)容平淡無奇，教師通過例題引導(dǎo)學(xué)生多角度地研讀概念，從而讓學(xué)生能夠?qū)Ω拍钚纬奢^為全面的認(rèn)識(shí).

以“等差數(shù)列”為例談概念教學(xué)中的例題使用

教學(xué)過程中，我們先通過實(shí)例讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到等差數(shù)列的基本概念，在此基礎(chǔ)上通過例題，引導(dǎo)學(xué)生逐級(jí)深入地探索概念的本質(zhì)內(nèi)涵.

1. 在例題探究中感悟概念的內(nèi)涵

例1：判斷下列數(shù)列是否是等差數(shù)列，如果是，請(qǐng)說明公差，如果不是，請(qǐng)闡明理由.

（1）5，5，5，5;

（2）1，5，9，13，17;

（3）-3，-2，-1，1，2，3.

生：前兩個(gè)數(shù)列都屬于等差數(shù)列，公差分別為0和4;最后一個(gè)不是等差數(shù)列，因?yàn)樗^了一項(xiàng).

師：講得不錯(cuò)，請(qǐng)大家再觀察一下公差等于0的數(shù)列，請(qǐng)說明它有什么特點(diǎn)，請(qǐng)嘗試給它取一個(gè)名字？

生：公差等于0的數(shù)列是每一項(xiàng)都與首項(xiàng)相同，可將其稱為常數(shù)列.

師：公差大于0的數(shù)列又有怎樣的特點(diǎn)？

生：這些數(shù)列的每一項(xiàng)都比前一項(xiàng)大，呈現(xiàn)為單調(diào)遞增的特點(diǎn).

師：那么如果公差小于0呢？

生：應(yīng)該是單調(diào)遞減的數(shù)列.

師：如果采用函數(shù)的方法來研究數(shù)列，我們可以將數(shù)列的通項(xiàng)公式視為n的函數(shù)，從圖像特點(diǎn)來講，等差數(shù)列各項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)將呈現(xiàn)在一條直線上，再聯(lián)系剛才大家所闡述的單調(diào)性特征，我們還能按照公差的不同情形來對(duì)等差數(shù)列分類. （教師板書）

教學(xué)思路：在學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的概念之后，教師通過例題讓學(xué)生對(duì)不同的數(shù)列進(jìn)行辨析，比對(duì)等差數(shù)列的概念，從中發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的一般性特點(diǎn)，并引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的角度來對(duì)數(shù)列進(jìn)行研究，將函數(shù)思想以及數(shù)形結(jié)合等方法引入數(shù)列的概念理解中來，上述教學(xué)引領(lǐng)學(xué)生循著由特殊到一般的基本認(rèn)知規(guī)律，加深著對(duì)函數(shù)概念的理解.

教學(xué)思路：例題2依然由具體的數(shù)列出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從特殊情形聯(lián)想到等差數(shù)列中的某些項(xiàng)提取出來組成的數(shù)列也屬于等差數(shù)列，并由此引出等差中項(xiàng)的概念. 上述教學(xué)過程中，學(xué)生在問題引領(lǐng)下展開思考，教師則結(jié)合學(xué)生的答案因勢(shì)利導(dǎo)，對(duì)他們提出更具啟發(fā)性質(zhì)的提問，指導(dǎo)學(xué)生有效把握問題的實(shí)質(zhì). 事實(shí)上，等差中項(xiàng)這個(gè)概念沒有出現(xiàn)在教材正文部分，只是在習(xí)題中出現(xiàn)，但這卻是等差數(shù)列一個(gè)非常重要的性質(zhì)，教師通過例題引導(dǎo)學(xué)生展開討論，有助于學(xué)生在等差數(shù)列概念研究過程中對(duì)其性質(zhì)形成更全面的理解.

2. 在例題研究中感受數(shù)學(xué)概念的合理性

生：這兩個(gè)數(shù)列都是已知首項(xiàng)和末項(xiàng)，需要對(duì)中間項(xiàng)求解，其中第一個(gè)數(shù)列直接用等差中項(xiàng)的概念來處理即可，第二個(gè)數(shù)列雖然求解內(nèi)容不夠特殊，但我們可以從等差數(shù)列的基本概念出發(fā)，即每一項(xiàng)和前一項(xiàng)的差值等于公差，那么首項(xiàng)和末項(xiàng)數(shù)字已知，它們隔了兩項(xiàng)，那么就是三個(gè)公差的差距，在此基礎(chǔ)上可以計(jì)算出公差為-4，因此可以推測(cè)b等于-1，c等于-5.

師：講得很好，剛才在大家討論時(shí)，老師也聽到，對(duì)于第二個(gè)數(shù)列，你們有同學(xué)在爭(zhēng)論首項(xiàng)和末項(xiàng)之間對(duì)應(yīng)幾個(gè)公差的差距，兩項(xiàng)還是三項(xiàng)，對(duì)此有怎樣更加準(zhǔn)確而形象的理解方法呢？

生：可以在數(shù)軸上標(biāo)記出對(duì)應(yīng)的項(xiàng)，然后進(jìn)行比較就可得出結(jié)論.

師：請(qǐng)總結(jié)你們剛才的求解方法.

生：先確定數(shù)列的公差，隨后任何一項(xiàng)的數(shù)值都等于前一項(xiàng)加上公差.

教學(xué)思路：教師將例題提供給學(xué)生之后，要讓學(xué)生有充分的時(shí)間進(jìn)行思考和討論，即便學(xué)生在展示過程中給出正確的結(jié)論，面對(duì)學(xué)生討論中暴露出的重要問題，教師也不能放過. 比如上述教學(xué)中，學(xué)生對(duì)數(shù)列之間的差值等于公差的幾倍發(fā)生了分歧，雖然最后他們形成了統(tǒng)一的意見，但是教師依然有必要追問學(xué)生，引導(dǎo)他們揭示正確的解決方法. 這樣的操作正好也引入了數(shù)軸這一形象化的工具，讓學(xué)生從幾何角度對(duì)公差形成了更加形象的理解，而且相關(guān)結(jié)論都是讓學(xué)生用自己的語言來表達(dá)，這也容易讓學(xué)生更加有效地形成理解.

3. 在例題研究中推動(dòng)概念的生成

師：請(qǐng)大家討論如果某等差數(shù)列{an}，其公差等于d，其他項(xiàng)是否可以用首項(xiàng)和公差進(jìn)行表示. （學(xué)生討論，討論結(jié)束后安排學(xué)生展示.）

教學(xué)思路：作為等差數(shù)列的第一節(jié)課，如果按照教材上的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)，內(nèi)容略顯單薄，為此筆者認(rèn)為教學(xué)過程中可以將等差數(shù)列的通項(xiàng)公式也拿出來，事實(shí)上這也是等差數(shù)列概念的基本組成，通過通項(xiàng)公式的研究，可以讓學(xué)生更加全面地對(duì)等差數(shù)列的概念形成認(rèn)識(shí). 正如前文所述，數(shù)學(xué)概念本身就有著發(fā)展性，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的基本概念出來之后，教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合對(duì)例題的分析，可由基本概念來完成通項(xiàng)公式的推導(dǎo)和認(rèn)識(shí)也正是概念學(xué)習(xí)的一個(gè)必要組成，這樣的處理順應(yīng)了學(xué)生的發(fā)展需要，學(xué)生在自主研究和討論中完成對(duì)通項(xiàng)公式的理解，這顯然是學(xué)生自我生成的必然結(jié)果，當(dāng)然也是教師期待中的結(jié)果.

幾點(diǎn)思考

針對(duì)教學(xué)中的實(shí)踐，筆者認(rèn)為還有這樣一些細(xì)節(jié)值得引起高中數(shù)學(xué)教師的注意和思考.

1. 有效重組教材上的例題和習(xí)題資源

新的教材使用觀一直都強(qiáng)調(diào)要改變“教教材”的傳統(tǒng)觀念，必須要讓教材真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)和研究的素材. 對(duì)教師而言，在任何一次教學(xué)設(shè)計(jì)中都要認(rèn)真地對(duì)教材進(jìn)行重新開發(fā)，對(duì)教材上的例題和習(xí)題資源進(jìn)行有效重組.

在上述“等差數(shù)列”的教學(xué)案例中，筆者從教材的習(xí)題中選取素材作為例題指導(dǎo)學(xué)生對(duì)等差中項(xiàng)進(jìn)行了研究，此外還結(jié)合例題引導(dǎo)學(xué)生研究了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，這樣的處理讓本課的教學(xué)內(nèi)容更加豐富，而且相關(guān)內(nèi)容如等差中項(xiàng)、公差的幾何意義、通項(xiàng)公式都是等差數(shù)列概念的必要延伸，從知識(shí)結(jié)構(gòu)的嚴(yán)謹(jǐn)性來講，我們這樣處理更符合學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需要.

2. 對(duì)例題的質(zhì)量和數(shù)量進(jìn)行有效把握

例題在學(xué)生數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過程中的重要性不言而喻，但是這不能成為教師胡亂用例題來填充教學(xué)的理由，尤其是在對(duì)概念內(nèi)涵進(jìn)行發(fā)掘的時(shí)候，教師尤其需要注意，對(duì)例題的質(zhì)量和數(shù)量要進(jìn)行有效把握.

概念課上例題使用一直有“在精不在多”的原則，這樣處理可以讓課堂教學(xué)更加集中，而且例題的典型性與延展性也將在一定程度上發(fā)展學(xué)生思維的靈活性和深刻性[2]. 比如上述有關(guān)等差數(shù)列公差的幾何意義，教師無需另外找例題來闡述相關(guān)事實(shí)，直接可以在已有例題的基礎(chǔ)上適當(dāng)討論即可.

3. 圍繞概念教學(xué)的需要精選例題

教材上的知識(shí)點(diǎn)往往是瑣碎的，要讓整節(jié)課更加流暢，也為了讓學(xué)生的思維更加順暢，并能有效建構(gòu)探索活動(dòng)的脈絡(luò)，教師有必要精心選擇例題.對(duì)任何一個(gè)教師而言，他們本身就有大量習(xí)題的儲(chǔ)備，但是并不是每一個(gè)習(xí)題都適合充當(dāng)例題.因此圍繞學(xué)生概念學(xué)習(xí)的需要，精選能夠有效啟發(fā)學(xué)生思維，并能反映概念本質(zhì)的例題則顯得尤其關(guān)鍵.

數(shù)學(xué)例題是幫助學(xué)生溝通理論研究和靈活運(yùn)用的重要紐帶，也是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的基本素材. 高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中要充分利用例題資源，將其所具有的功能發(fā)揮出來，以提升高中數(shù)學(xué)教學(xué)的效率.

參考文獻(xiàn)：

[1] ?吳立寶，王富英，秦華. 數(shù)學(xué)教科書例題功能的分析[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（03）.

[2] ?沈志勇. 論“小題大做”——基于數(shù)學(xué)抽象能力培養(yǎng)的例題設(shè)計(jì)與教學(xué)[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（02）.