陳宏春

[摘 ?要] 高中數(shù)學(xué)教育中存在脫離生活的問題，隨著社會(huì)的不斷進(jìn)步與發(fā)展，數(shù)學(xué)在日常生活中的應(yīng)用已經(jīng)越來(lái)越廣泛，教師應(yīng)該嘗試多利用生活元素開展教學(xué)：一是熟悉的生活情境能有效地消除學(xué)生對(duì)陌生知識(shí)的抵觸情緒;二是這樣的教學(xué)模式能引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活，培養(yǎng)學(xué)生觀察生活的能力，讓學(xué)生明白生活中處處有數(shù)學(xué)，鼓勵(lì)學(xué)生在生活中不斷學(xué)習(xí)數(shù)學(xué). 文章中筆者將會(huì)以實(shí)例來(lái)展示利用常見的經(jīng)濟(jì)生活場(chǎng)景展開數(shù)列教學(xué)的方法.

[關(guān)鍵詞] 生活元素教學(xué);等差數(shù)列;等比數(shù)列;求和公式;通項(xiàng)公式

常常聽到學(xué)生們開玩笑說道：“只要學(xué)完小學(xué)數(shù)學(xué)，就可以解決日常生活需求了，我們現(xiàn)在學(xué)的數(shù)學(xué)都沒什么實(shí)際用途.”實(shí)際上，這樣的說法并不適用于現(xiàn)代生活，它從側(cè)面表現(xiàn)出了高中數(shù)學(xué)教育存在脫離生活的問題. 隨著社會(huì)的不斷進(jìn)步與發(fā)展，數(shù)學(xué)在日常生活中的應(yīng)用已經(jīng)越來(lái)越廣泛，教師應(yīng)該嘗試多利用生活元素開展教學(xué)：一是熟悉的生活情境能有效地消除學(xué)生對(duì)陌生知識(shí)的抵觸情緒，從而使得學(xué)生能以更大的激情和更濃厚的興趣投入學(xué)習(xí)中;二是這樣的教學(xué)模式能引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活，培養(yǎng)學(xué)生觀察生活的能力，讓學(xué)生明白生活中處處有數(shù)學(xué).

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)中的重要部分，能很有效地鍛煉學(xué)生觀察歸納和計(jì)算的能力. 數(shù)列的知識(shí)在經(jīng)濟(jì)生活中十分實(shí)用，下文中筆者將會(huì)以實(shí)例來(lái)展示利用常見的經(jīng)濟(jì)生活場(chǎng)景展開數(shù)列教學(xué)的方法.

銀行存款利息問題

高中階段的學(xué)生對(duì)于銀行存款問題并不陌生，筆者曾在介紹完等比數(shù)列通項(xiàng)公式之后，讓學(xué)生嘗試應(yīng)用通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)解決銀行存款利息計(jì)算的問題.

師：假設(shè)你們每年有一萬(wàn)元用于儲(chǔ)蓄，有兩家銀行分別提出了自己的利息策略. A銀行采取無(wú)復(fù)利模式，每年提供本金7%的利息;B銀行采取復(fù)利模式，每年提供上一年本息合計(jì)4%的利息. 在不考慮通貨膨脹的情況下，請(qǐng)同學(xué)們相互討論一下怎樣規(guī)劃才能使這筆資金得到的利息最多，看看你們是不是理財(cái)小能手.

在看見這樣富有生活氣息的問題后，學(xué)生們紛紛表現(xiàn)出了濃厚的興趣，課堂討論氛圍十分熱烈. 在學(xué)生大致討論了一段時(shí)間后，筆者搜集了以下幾種比較有代表性的儲(chǔ)蓄方案.

方案A：一半的錢放在A銀行，一半的錢放在B銀行.

方案B：把所有的錢放在A銀行.

方案C：先把所有的錢放在A銀行，一定年數(shù)后本息合計(jì)放入B銀行.

接下來(lái)筆者將學(xué)生分為了三組，讓他們計(jì)算三種方案在5年、10年和25年的時(shí)間跨度里分別能有多少收益，存放在A銀行的錢收益是固定的，而存放在B銀行的錢收益需要利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式來(lái)計(jì)算，對(duì)于前兩個(gè)較容易計(jì)算的方案，學(xué)生得出的收益情況如表1所示.

第三組學(xué)生在計(jì)算方案C時(shí)遇到了問題，筆者便讓其選出一位代表闡述一下困難所在.

生：第三種方案和前兩種方案的不同之處在于，我們需要計(jì)算出這個(gè)特殊的“一定年數(shù)”后才能夠最終確定利息的計(jì)算方法，但是對(duì)于這個(gè)特殊的時(shí)間節(jié)點(diǎn)我們還需要經(jīng)過一定的計(jì)算.

師：那么你們是怎么思考和計(jì)算的呢？

生：A銀行雖然看起來(lái)利息率比較高，但是由于它不是復(fù)利型的方案，增加的利息是固定的，而隨著總量的不斷增加，B銀行提供的方案產(chǎn)生的利息終有一年會(huì)超過A銀行，于是我們一年一年地進(jìn)行計(jì)算，對(duì)比A銀行、B銀行的利息差異.

師：的確，隨著總量的增加，原本看似收益更小的B方案最終帶來(lái)的收益反而會(huì)更多，思路是正確的，但是你們不覺得一年一年地進(jìn)行計(jì)算是一件“吃力不討好的事”嗎？試著利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式的知識(shí)來(lái)解決這個(gè)問題.

生（經(jīng)過一段時(shí)間的思考）：那我們只要求解不等式10000+700n≤10000·（1.04）n（n∈N）即可.

師：很好，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式正可以起到這樣化繁為簡(jiǎn)的作用.

接下來(lái)教師帶領(lǐng)著全班同學(xué)一起計(jì)算了第三種方案的收益情況，學(xué)生們十分投入和認(rèn)真.

分期付款方案選擇問題

問題情境：小王想要在工作之余成為一名兼職的滴滴司機(jī)，現(xiàn)要買一輛汽車，已知該汽車的總價(jià)值為115000元，全款買車不需要額外的錢，分期付款的方案如下：先交15000元的首付金，接下來(lái)的每一個(gè)月付5000元和余款利息，余款利息的計(jì)算公式為：利息=余款×1%. 如果小王手上的活動(dòng)資金能夠付得起首付卻不能全款買下這輛車，20個(gè)月后才能全款買下，試問：小王平均每月要通過兼職司機(jī)這份工作賺多少錢，選擇分期付款方式才更加經(jīng)濟(jì)？

情境分析：滴滴出行是學(xué)生們生活中常用的軟件，以此為問題的情境能極大程度上調(diào)動(dòng)起學(xué)生探索研究的欲望.

問題解答：先計(jì)算分期付款模式下的總付款. 根據(jù)題干信息易知，需要20個(gè)月才能最終還清所有的錢，假設(shè)第n個(gè)月小王需要付的金額數(shù)為an，則可以推斷出an=6000-50（n-1）（n=1，2，…，n），因此該數(shù)列的和加上首付便是小王應(yīng)該付的總額. 因?yàn)镾20=110500，所以小王最終總付款為125500元，對(duì)比原價(jià)多付了10000元，因此小王需要每月通過兼職賺10000÷20=500（元）才更加經(jīng)濟(jì).

企業(yè)經(jīng)營(yíng)利潤(rùn)問題

問題情境：某企業(yè)需要進(jìn)行技術(shù)升級(jí)投資，現(xiàn)有兩種方式可供選擇.

方案A：一次性向銀行貸款一千萬(wàn)元，第一年能夠?yàn)槠髽I(yè)增加一百萬(wàn)元的收益，往后收益逐年增加30%;

方案B：每一年都向銀行貸款一百萬(wàn)元，往后第n年的收益為50（n+1）萬(wàn)元.

假設(shè)這兩種方案中貸款的使用年限相同，皆為k（9≤k≤11，k∈N）年，到達(dá)期限之后公司需要連本帶息一次性償還，已知銀行按年利率10%復(fù)利收取貸款利息，請(qǐng)問：出于凈利潤(rùn)最大化考慮，公司應(yīng)該選擇哪種方案？

問題解答：（注：方便計(jì)算，下面所有數(shù)據(jù)皆以“百萬(wàn)元”作為單位）

方案A：分析收益情況易知，該方案的收益按年份成等比數(shù)列，根據(jù)首項(xiàng)為1和公比為3的條件可知，前n年的收益總和為（百萬(wàn)元），且可計(jì)算得銀行貸款本息合計(jì)為10×1.1n（百萬(wàn)元），因此最終的凈利潤(rùn)為-10×1.1n（百萬(wàn)元）.

方案B：該方案下的收益數(shù)據(jù)成等差數(shù)列（首項(xiàng)為1，公差為0.5），根據(jù)等差數(shù)列求和公式易得其前n項(xiàng)和為n+×0.5（百萬(wàn)元），而每一年的貸款本息合計(jì)成等比數(shù)列，總額為11×（1.1n-1）（百萬(wàn)元），因此凈利潤(rùn)為n+×0.5-11×（1.1n-1）（百萬(wàn)元）.

當(dāng)使用年限為9時(shí)，方案A的凈利潤(rùn)為8.44百萬(wàn)元，方案B的凈利潤(rùn)為12.06百萬(wàn)元，所以選擇方案B公司所得凈利潤(rùn)更高;

當(dāng)使用年限為10時(shí)，方案A的凈利潤(rùn)為16.68百萬(wàn)元，方案B的凈利潤(rùn)為14.97百萬(wàn)元，所以選擇方案A公司所得凈利潤(rùn)更高;

當(dāng)使用年限為11時(shí)，方案A的凈利潤(rùn)為27.87百萬(wàn)元，方案B的凈利潤(rùn)為18.12百萬(wàn)元，所以選擇方案A公司所得凈利潤(rùn)更高.

情境分析：該問題綜合考察了等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式，有利于幫助學(xué)生對(duì)比兩種求和公式的異同.

植樹造林增長(zhǎng)率問題

問題情境：假設(shè)某地有2200畝荒地可以用來(lái)植樹，若第一年年初植樹100畝，往后逐年遞增50畝，假設(shè)這些樹木都能夠成活，那么需要花多少年才可以把這片荒地種滿綠樹呢？若每一畝綠樹在剛種下時(shí)有2m3的木材量，且每年木材量都會(huì)增長(zhǎng)20%，試問：在實(shí)現(xiàn)全面綠化那一年的年底該地區(qū)木材總量為多少？

問題解答：將荒地完全綠化也就是要使得每一年的植樹面積累加起來(lái)等于荒地的面積，根據(jù)題干條件易知，每一年綠化的面積成等差數(shù)列，因此根據(jù)求和公式可得前n年的綠化總面積為100n+25n（n-1），即要使100n+25n（n-1）=2200，可解得年數(shù)為8.

假設(shè)用an表示第n年種下的木材量，將木材量從最后一年向第一年逆推可得，最后一年年底每一年積累下來(lái)的木材量分別為2a8·1.2，2a7·1.22，2a6·1.23，…，2a1·1.28，將其求和便可得第九年年底的木材總量了.

注意點(diǎn)總結(jié)

（1）去繁存簡(jiǎn)，突出重點(diǎn). 生活中的實(shí)際事件情況一般比較復(fù)雜，教師沒必要將其都呈現(xiàn)出來(lái)，而是應(yīng)該結(jié)合教學(xué)知識(shí)的需求，適當(dāng)簡(jiǎn)化事件干擾因素，突出與教學(xué)目標(biāo)最契合的點(diǎn).

（2）教師引導(dǎo)，學(xué)生主導(dǎo). 學(xué)生在接觸到生活元素時(shí)一般會(huì)比較激動(dòng)，教師要注意設(shè)置一些關(guān)鍵性的引導(dǎo)問題，防止學(xué)生注意力飄到無(wú)關(guān)緊要的地方去.

（3）情境引導(dǎo)，深度參與. 如第一點(diǎn)所示，教師在利用生活元素進(jìn)行教學(xué)時(shí)，不妨建構(gòu)一些可以讓學(xué)生更有代入感的情境，這樣的情境引導(dǎo)會(huì)讓學(xué)生更加積極地投入研究.

（4）注意觀察，結(jié)合時(shí)代. 高中生的生活閱歷畢竟有限，教師在選取情境時(shí)要注意貼近學(xué)生的視角和生活.