李瑛

摘 ?要：圓錐曲線小題在高考中占據(jù)兩道，有一道通常是求雙曲線的離心率大小（或范圍）、漸近線方程等問題。由于它涉及雙曲線較多的基本量，以及方程與曲線、方程組與不等式的求解問題，因此解題過程比較復(fù)雜，思考角度比較多，導(dǎo)致解題方法的多樣化。文章從解決某一道雙曲線小題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟雙曲線解題思路的多樣，感受一題多解的魅力，打開舉一反三的大門。

關(guān)鍵詞：雙曲線;離心率;漸近線;一題多解;一題多變

一、解題知識

（一）基礎(chǔ)知識

已知雙曲線方程為，兩焦點分別為，，左、右頂點分別為，，點為雙曲線上的一動點，則：①定義;②;③離心率;④漸近線：

（二）常用結(jié)論

結(jié)論1：由雙曲線的左右焦點到兩條漸近線的距離均為.

結(jié)論2：由雙曲線的左右頂點到兩條漸近線的距離均為.

二、典例分析

典例（2017全國卷I）以雙曲線C：的右頂點為圓心，b為半徑作圓，且與雙曲線的一條漸近線交于M，N兩點.若，則的離心率為???????.

（一）一題多解，搭好橋梁

[解析]由題意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，，從而AMN為等邊三角形.設(shè)漸近線的傾斜角為，過點A作交漸過線于P點.下面開始“搭橋”.

思路1：借“”搭橋.

由

思路2：借“”搭橋.由以及，

思路3：借“”搭橋.由，

[總結(jié)] 相比之下，思路3通過直接得出與的關(guān)系式，計算最簡潔，因此是最快捷的方法。今后同學(xué)們遇到此類題型就知道如何去搭橋找題眼了。

下面將例1進(jìn)行變式訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維以及舉一反三的能力。教師也可引導(dǎo)學(xué)生去改編題，比如改變圓心、半徑、直線與圓位置關(guān)系、角的大小等。

（二）一題多變，舉一反三

變式1：將典例中半徑改成“半徑”，其余不變，則.

[解析]很快找到“橋梁”，，解得.

變式2：以雙曲線：的右焦點為圓心，為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點.若，則的離心率為???????.

思路1：由結(jié)論1及正三角形性質(zhì)知，.

思路2：由結(jié)論1及的幾何意義知，.

思路3：在直角三角形中，由，.

通過變式1、2我們發(fā)現(xiàn)，無論圓心是在右頂點，還是右焦點的圓，都經(jīng)過原點O，且與雙曲線同一漸近線的兩交點與圓心構(gòu)成的三角形相似，因此雙曲線的離心率相同。

那如果圓心不是這兩個特殊點呢？我們得到以下推廣結(jié)論。

[推廣]已知雙曲線，以點為圓心，為半徑的圓與其一條漸近線相交于M，N兩點.

（1）若，則該雙曲線的離心率為;

（2）若，，則該雙曲線的離心率為.

推導(dǎo)：（1）在中，，由，解出.

（2）由，從而，因此.

我們再回到典例，將條件“漸近線與圓相交”進(jìn)行改變，得到如下變式3。

變式3：以雙曲線：的右焦點為圓心，a為半徑的圓與雙曲線的漸近線相切，則雙曲線的離心率等于???????.

[解析] 由題意得b=a，該雙曲線C為等軸雙曲線，故離心率

變式4：以雙曲線：的右焦點為為圓心，a為半徑的圓與雙曲線的漸近線有交點，則的離心率的取值范圍是?????????.

[解析] 漸近線與圓有交點，則圓心到漸近線的距離，即，從而. 又e>1，因此

[歸納]?通過變式3和變式4發(fā)現(xiàn)，等軸雙曲線是一類很特殊的雙曲線，它在求雙曲線離心率的值或者范圍的過程中，一般都是“臨界值”。

此外我們還發(fā)現(xiàn)，若將圓的半徑換成，則該圓與雙曲線的漸近線剛好相切。

結(jié)論3：以雙曲線的焦點為圓心、虛半軸長為半徑的圓與雙曲線的漸近線必定相切。

下面再進(jìn)一步改變典例題目的條件，半徑變成直徑問題。

變式5：已知分別是雙曲線的左、右焦點，是以為直徑的圓與該雙曲線的一個交點，且，則這個雙曲線的離心率是（ ）

A.B.C.D.

[解析] 由題意知點位于左支且，由可得. 從而，.

思路1：借“”搭橋.根據(jù)雙曲線的定義可知，從而求出離心率，

選C.

思路2：借“”搭橋.在中，.

思路3：借“點坐標(biāo)”搭橋.連接，易知是以為邊長的等邊三角形，計算出坐標(biāo)，將之代入雙曲線方程，從而建立關(guān)于a，b，c的方程.

[小結(jié)]思路2與思路1有著異曲同工之處，顯然思路3的計算量最大，相比之下，變式5建議采用前兩種思路。

如果繼續(xù)按照這樣的變題思路走下去，相信這一道“典例家族”可以更加龐大。在此，筆者只是作個示范引導(dǎo)，感興趣的你可以繼續(xù)做下去。

三、思考提升

已知雙曲線，是實軸頂點，是右焦點，是虛軸端點，若在線段上（不含端點）存在不同的兩點，使得構(gòu)成以為斜邊的直角三角形，求雙曲線離心率的取值范圍.

變式1：將“存在不同的兩點”換成“存在一個點”，求離心率的取值范圍.

變式2：將“存在不同的兩點”換成“不存在點”，求離心率的取值范圍.

變式3：將題干中“線段上（不含端點）存在不同的兩點”換成“線段上（含端點）存在不同的兩點”，求離心率的取值范圍.

變式4：將題干中“線段上（不含端點）存在不同的兩點”換成“線段上（含端點）存在一個點”，求離心率的取值范圍.

四、歸納小結(jié)

離心率是圓錐曲線的重要幾何性質(zhì)之一，是高考常考的問題。解決此類問題的關(guān)鍵是要求出或者找到關(guān)于的關(guān)系式，掌握“搭橋”的技巧，平時多進(jìn)行舉一反三訓(xùn)練。

文中提到的一些結(jié)論及推廣命題主要是基于焦點在軸上的雙曲線而言，同樣也適用于焦點位于軸的雙曲線，這個推導(dǎo)過程交給讀者自己去完成了。

文章涉及到的內(nèi)容僅為個人鄙見，若有不妥之處，歡迎批評指正。

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