岳儒芳 張強(qiáng)

摘 ? 要：解析幾何問題研究基本思路是，從幾何直觀分析研究對(duì)象，再從代數(shù)與幾何兩個(gè)角度認(rèn)識(shí)、分析問題，尋求解決問題的途徑與方法，為此，充分發(fā)揮幾何直觀在解析幾何學(xué)習(xí)過程中的作用，對(duì)提升學(xué)生認(rèn)識(shí)解析幾何本質(zhì)、培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀核心素養(yǎng)具有重要作用.本文試圖在解析幾何教學(xué)中，尋求培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀核心素養(yǎng)的途徑與方法，讓學(xué)生從整體上提升對(duì)圓錐曲線本質(zhì)認(rèn)識(shí)，把握解析幾何基本方法，讓學(xué)生獲得能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);幾何直觀;圓錐曲線

中圖分類號(hào)：G633.4 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ?文章編號(hào)：1009-010X（2020）02-0025-05

數(shù)學(xué)教育家徐利治認(rèn)為：直觀就是借助于經(jīng)驗(yàn)、觀察、測(cè)試或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對(duì)事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識(shí)，而幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知，解析幾何是利用解析式來研究幾何對(duì)象之間的關(guān)系和性質(zhì)的一門幾何學(xué)分支。圓錐曲線作為解析幾何的經(jīng)典內(nèi)容，在高中數(shù)學(xué)中占有重要地位。它是培養(yǎng)學(xué)生“幾何直觀”核心素養(yǎng)的重要載體。同時(shí)，由于解析幾何綜合性比較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)抽象等也都要求比較高，因此，圓錐曲線的學(xué)習(xí)非常有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，

通過直觀與想象的有機(jī)結(jié)合，提升學(xué)生對(duì)圓錐曲線本質(zhì)認(rèn)識(shí)，把握解析幾何基本方法。很多圓錐曲線的問題都是以平面上的點(diǎn)、直線、曲線這三大類幾何元素為基礎(chǔ)構(gòu)成的圖形問題。 為此，從幾何直觀出發(fā)，利用解析法研究圓錐曲線問題，是解析幾何問題解決的基本思路。下面，筆者將通過對(duì)幾個(gè)典型的解析幾何問題的分析，探究借助幾何直觀認(rèn)識(shí)圓錐曲線本質(zhì)的途徑與方法。

一、建立起數(shù)與形的聯(lián)系，借助空間形式認(rèn)識(shí)位置關(guān)系

解析幾何問題解決過程中，需要充分挖掘并利用研究對(duì)象的幾何特性，并結(jié)合其代數(shù)特點(diǎn)，從而簡(jiǎn)化思維過程和運(yùn)算量。例如，在涉及圓錐曲線與直線或三角形組成的復(fù)雜圖形問題中，可以利用圓錐曲線幾何圖形的對(duì)稱特性，使問題化難為易，事半功倍。

【反思】幾何直觀的本質(zhì)是將相對(duì)復(fù)雜、抽象的問題“圖形化”，利用圖像描述問題，進(jìn)而借助圖形分析、解決問題。解析幾何的任務(wù)之一是研究圖形的特點(diǎn)，而圓錐曲線本身都具有很好的對(duì)稱性。通過例1使學(xué)生體會(huì)并感受圖形對(duì)稱性的本質(zhì)就是點(diǎn)的對(duì)稱性，抓住了點(diǎn)的對(duì)稱性就可以抓住圖形的對(duì)稱性。在實(shí)際解題過程中，如果這種對(duì)稱性能被巧妙地利用，那么就可以簡(jiǎn)化解題步驟，找到解決問題的捷徑。因此，在用代數(shù)方法研究圓錐曲線問題的同時(shí)，充分利用好圖形本身所具有的平面幾何性質(zhì)，?？傻玫胶?jiǎn)捷而優(yōu)美的解法。

在思考數(shù)學(xué)問題，尤其是圓錐曲線問題時(shí)，要有畫圖、識(shí)圖以及用圖的意識(shí)與習(xí)慣。第一，問題解決過程中，要想到畫圖（即代數(shù)問題圖形化），即能畫圖則首先畫圖，目的是把抽象的東西直觀地表示出來，把本質(zhì)的東西顯現(xiàn)出來。當(dāng)然，在平時(shí)學(xué)習(xí)中，要熟練掌握一些基本圖形的畫法是非常有必要的。在弄清題意后，先畫圖，然后再梳理解題思路。畫圖其實(shí)就是把題中文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言的過程。第二，要學(xué)會(huì)觀察圖形，在觀察時(shí)，要結(jié)合圖形自身的幾何特征，以及題中條件與圖形的有機(jī)結(jié)合，去尋求問題解決的思路。第三，“用圖形說話”。利用圖形生動(dòng)形象地描述數(shù)學(xué)問題，直觀地反映和揭示思考、尋求解決問題的思路，有利于發(fā)現(xiàn)和提出問題。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)， 要“心中有圖”，圖形可以畫出，也可以根據(jù)“心中的圖形”，利用直觀的圖形語言，刻畫、思考問題。同時(shí)，幾何直觀更有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)，常常成為分析和解決問題的重要手段。這是一種基本的數(shù)學(xué)素質(zhì)，也是新教材中對(duì)提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)提出的要求。

二、借助基本幾何圖形特征，凸顯研究對(duì)象的關(guān)系與結(jié)構(gòu)

把研究對(duì)象圖形化，通過對(duì)研究對(duì)象的觀察，可以發(fā)現(xiàn)許多隱含條件。例如，直線與圓錐曲線是最重要的位置關(guān)系。這也構(gòu)成了解析幾何的核心部分。直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，反映在代數(shù)上就是它們的方程組成的方程組有無實(shí)數(shù)解的問題。方程組有幾組解，直線與圓錐曲線就有幾個(gè)公共點(diǎn);方程組沒有實(shí)數(shù)解，直線與圓錐曲線就沒有公共點(diǎn)。

直線與曲線位置關(guān)系有相切、相交及相離，要從運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)三種位置關(guān)系。相交關(guān)系中重點(diǎn)關(guān)注特殊點(diǎn)和特殊線，如交點(diǎn)、弦長(zhǎng)、中點(diǎn)弦等，同時(shí)會(huì)從復(fù)雜圖形中分離出基本的、簡(jiǎn)單的圖形，例如，很多解析幾何問題，涉及到以弦為其中一邊的三角形，需要將三角形中各元素之間的幾何關(guān)系代數(shù)化，再對(duì)代數(shù)結(jié)果做出幾何解釋。

解法2：如圖3所示，在同一坐標(biāo)系下分別作出直線l與曲線C的圖象。直線l是過定點(diǎn)（0，1）的一條動(dòng)直線，曲線C是等軸雙曲線。觀察圖形可知：當(dāng)直線l從與曲線C相切①開始（此時(shí)有一個(gè)交點(diǎn)），繞著定點(diǎn)（0，1）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（此時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)），當(dāng)旋轉(zhuǎn)到與曲線C的一條漸近線平行時(shí)②（此時(shí)又變成只有一個(gè)交點(diǎn)），直線繼續(xù)繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（此時(shí)仍然只有一個(gè)交點(diǎn)），當(dāng)旋轉(zhuǎn)到③時(shí)（此時(shí)沒有交點(diǎn)），直線l與曲線C相離。再結(jié)合選項(xiàng)與圖形可排除A、B、D.故選C.

【反思】本題蘊(yùn)藏著非常豐富的信息，并由此可以演變出許多不同的問題。如，可把題中的條件“左支”改為“右支”或“兩支”，交點(diǎn)個(gè)數(shù)也可改為“零個(gè)”“一個(gè)”“兩個(gè)”;當(dāng)然，在求直線與雙曲線兩支公共點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，還可以利用圖形的對(duì)稱性來考慮。

解法1主要是從“數(shù)”的角度，把問題轉(zhuǎn)化為由它們的方程組成的方程組的解的問題，而解法2關(guān)鍵是從“形”的角度，通過觀察直線與曲線位置關(guān)系，再將幾何關(guān)系代數(shù)化，充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題，體現(xiàn)了幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算之間的融合。

三、代數(shù)問題圖形化、模型化，簡(jiǎn)化思維過程

由于幾何研究的對(duì)象是圖形，而圖形的直觀性會(huì)幫助我們發(fā)現(xiàn)問題，啟發(fā)思路，找出解決問題的有效方法，所以在解決圓錐曲線問題時(shí)，應(yīng)做到“心中有圖”，分析圖形中幾何元素的位置關(guān)系，尋求解題思路。例如，三角形是最基本的幾何圖形，充分挖掘三角形中蘊(yùn)藏的信息，有利于問題解決。

【反思】在解析幾何中，運(yùn)動(dòng)是曲線的靈魂，運(yùn)動(dòng)是無條件的、絕對(duì)的，靜止是有條件的、相對(duì)的。例如，解析幾何中點(diǎn)或線的運(yùn)動(dòng)過程中，會(huì)產(chǎn)生幾何元素位置關(guān)系的變化，同時(shí)形成對(duì)應(yīng)的變量關(guān)系，而變量的變化過程中，又有不變量，圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題就體現(xiàn)了從幾何變化到代數(shù)變化，而代數(shù)變化中的定值就是幾何關(guān)系中的定點(diǎn)。直線過定點(diǎn)問題，需要借助幾何直觀并產(chǎn)生聯(lián)想，做出猜想，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)結(jié)論。這類問題一般計(jì)算量較大，關(guān)鍵是利用基本量思想，找出與問題有關(guān)的關(guān)鍵點(diǎn)或關(guān)鍵直線，充分利用解析幾何的思想，設(shè)出直線方程，最終解決問題。數(shù)學(xué)思維不是總在抽象層面展開，往往需要借助幾何直觀。

總之，幾何直觀的本質(zhì)就是將相對(duì)復(fù)雜、抽象的問題“圖形化”，利用圖像描述問題，進(jìn)而借助圖形分析、解決問題。借助幾何直觀進(jìn)行思考，是一種很重要的研究策略。幾何直觀是揭示現(xiàn)代數(shù)學(xué)本質(zhì)的有力工具，有助于形成科學(xué)正確的世界觀和方法論。借助幾何直觀，依托情境去感悟事物的本質(zhì)，揭示研究對(duì)象的性質(zhì)和關(guān)系，使思維更容易轉(zhuǎn)向更高級(jí)更抽象的空間形式，使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)創(chuàng)造性工作歷程，能夠開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造激情，形成良好的思維品質(zhì)。

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