楊彥豪，姜淞云，張志斌

(1.中國港灣工程有限公司，北京 100027；2.中交四航工程研究院有限公司，廣東 廣州 510230)

在港口碼頭工程中，由于混凝土沉箱具有耐久性高、整體性好、造價較低和運輸安裝方便等特點，應用越來越廣泛。對于常規(guī)對稱式沉箱的浮游穩(wěn)定計算，規(guī)范[1]中已給出明確的計算方法。多數工程中所用的沉箱均為規(guī)則對稱式矩形結構[2-3]，部分工程中出現了圓形[4]或橢圓形[5]沉箱，但均為對稱結構。因此都可以采用規(guī)范方法直接進行計算。

然而，對于非對稱異型沉箱的浮游穩(wěn)定計算，由于其結構形式不滿足規(guī)范中所要求的前提條件，因此該方法已不再適用。必須根據異型沉箱的結構特點，重新推導并給出浮游穩(wěn)定計算方法，以確保其施工過程中的穩(wěn)定和安全。

1 概況

阿比讓港口擴建項目是科特迪瓦近年來最大的項目，也是中國港灣在該國乃至西部非洲地區(qū)非常重要的項目，具有重大的政治、經濟和社會影響力。本項目中新建碼頭為重力式沉箱結構，碼頭岸線如圖1所示，其中一個拐角的角度為124°，為保證岸線平順銜接，設計布置兩個互為鏡像的異型非對稱沉箱，沉箱位置見圖1。

圖1 碼頭岸線及異型沉箱

沉箱預制安裝前需要進行浮游穩(wěn)定計算，以確保安裝過程中沉箱的穩(wěn)定與安全，避免發(fā)生傾覆。鑒于兩個異型沉箱的非對稱性，無法利用現有規(guī)范方法進行計算，因此需要從浮游穩(wěn)定的理論出發(fā)，推導任意物體的浮游穩(wěn)定計算公式。

2 計算公式推導

2.1 歐拉傾斜軸定理

圖2為任意懸浮于水中的物體，其靜止時的初始浸水面為W0L0。當該物體受到擾動發(fā)生擺動時，產生一個小傾角θ，此時其浸水面為WθLθ。如果傾角θ足夠小，平面W0L0和WθLθ的交線為直線，稱該直線為傾斜軸。由于物體僅做小角度擺動，浸沒的體積不變，則傾斜軸兩邊的體積應相等[6]。

圖2 任意懸浮于水中的物體

如圖2所示，以傾斜軸為X軸，以豎直方向為Z軸，以物體內部X軸上任意一點O為坐標原點建立坐標系，作出平面W0L0和WθLθ在YOZ平面的投影圖3a)，作出W0L0在XOY平面上的投影圖3b)。

圖3a)中右側出水的微體積為V1、面積為S1，左側浸入水面的微體積為V2、面積為S2，則有：

V1=?s1ytanθds

(1)

V2=-?s2ytanθds

(2)

由于傾斜角θ很小，認為V1和V2相等。

?s1ytanθds=-?s2ytanθds

(3)

又因為：

S=S1+S2

(4)

所以有：

?syds=0

(5)

即傾斜軸通過浸水面的形心。

圖3 浸水面在YOZ和XOY平面上的投影

2.2 定傾半徑

文獻[6]給出體積移動定理，即：

(6)

式中：xG為原始坐標；x′G為移動后坐標；xd為對應物體中移動部分在x方向移動的距離；V′為物體中移動部分的體積；V為物體總體積。

根據體積移動定理不難發(fā)現，懸浮物體的擺動導致其中一部分浸入、另一部分浮出水面，這引起了物體的浮心變化。由2.1節(jié)可知，微體積的底為dxdy，高為ytanθ。則變化的微體積為V′=ytanθdxdy。

按前述方法建立的坐標系，浮心點初始坐標為B0(0,0,0)，則可以得到Bθ(xB,yB,zB)：

(7)

(8)

(9)

式中：V為物體體積；S為浸水面面積；Ixy為浸水面W0L0關于X、Y軸的慣性積；Ixx為浸水面W0L0關于X軸的慣性矩。

可以看出，zB為θ的高階無窮小，所以zB相對于xB和yB可以忽略不計。

對于xB而言，如果Ixy不為0，則xB也不為0。此時，變化后的浮心Bθ將不與W0L0共面，沉箱小角度擺動就變成了三維運動；但是如果Ixy為0，那么xB也等于0，此時，沉箱僅做二維擺動。

由傾斜軸定理可知，傾斜軸(X軸)通過浸水面的形心。如果要確定Ixy還必須知道Y軸的位置。

對于對稱結構，如果能夠平穩(wěn)懸浮在水中，其浮心在浸水面上的豎向投影必定與浸水面的形心重合。此時，Y軸通過形心，Ixy=0。

對于非對稱結構，又可以分為兩種情況：

1)非對稱結構做三維運動。浮心在浸水面W0L0上的投影不與浸水面的形心重合，可知傾斜軸過浸水面的形心，此時物體只能繞通過W0L0的形心與浮心在W0L0上投影點這兩點所在的直線運動。但是一經擾動，由于此時Ixy并不為0，浮心沿X和Y軸兩個方向均有位移。因此微擾動為復雜的三維運動。

2)非對稱結構做二維擺動。如果物體穩(wěn)定時，浮心在浸水面W0L0上的投影與浸水面的形心重合，則以浸水面的形心為坐標原點、以傾斜軸為X軸、豎向為Z軸建立坐標系。此時，需要尋找傾斜軸相對于物體的位置，在此位置物體發(fā)生擺動時受到的阻力最小。由對稱結構的浮游穩(wěn)定計算可知，因為沿某個對稱軸的慣性矩最小，物體最易發(fā)生傾覆，因此只須計算沿該對稱軸的擺動即可，此時X軸和Y軸與對稱結構的兩條對稱軸重合。與其類似，在該問題中尋找通過浸水面W0L0的形心并且慣性矩最小的軸。由平面圖形幾何性質可知，過W0L0形心的主慣性軸即為所尋找的傾斜軸，與其垂直并且通過形心的坐標軸為所尋找的Y軸。此時，浸水面W0L0對主慣性軸的慣性積Ixy為0。繞此軸做小角度運動時，xB為0、zB為高階無窮小，僅yB不為0，物體做穩(wěn)定的二維擺動。

對于沿豎直方向尺寸基本不發(fā)生變化的異型結構，如本項目中的異型沉箱，當其豎直平穩(wěn)懸浮于水中時，任意橫斷面形狀和面積均不發(fā)生變化，由浮心的求解公式可知：

習近平生態(tài)文明建設重要論述的科學內涵主要包括以下六個方面：人與自然、社會、自身三維和諧的生態(tài)價值觀，綠水青山就是金山銀山的綠色發(fā)展觀，良好的生態(tài)環(huán)境就是最普惠的民生福祉的生態(tài)民生觀，以最嚴格的制度保護生態(tài)環(huán)境的生態(tài)法治觀，以生態(tài)紅線為生態(tài)環(huán)境保護生命線的生態(tài)安全觀和保護人類共同家園的生態(tài)全球觀，這些思想觀點相互聯系、互為補充，共同形成了一個有機、統一的新時代中國特色社會主義生態(tài)文明建設體系。

(10)

(11)

(12)

式中：Vi為浸入水中的體積；S為浸水面的面積；h為浸入水中的物體高度。

從式(10)和式(11)可知，X和Y坐標即為浸水面的形心。從而得出：浮心在浸水面W0L0的投影必與浸水面形心重合，這滿足了第2種情況中二維擺動的條件。此時，在浸水面W0L0中尋找過形心的主慣性軸，并分別定義為X軸和Y軸，那么在該坐標系中同樣可以得出式(7)～(9)。由于主慣性軸中有Ixy=0。因此，式(7)～(9)中xB為0、zB為高階無窮小，僅yB不為0。

(13)

(14)

通過以上假設及推導，將非對稱結構的定傾半徑計算公式化歸為與對稱結構一致。但是值得注意的是，本式成立的前提是浮心在浸水面上的投影與浸水面的形心重合。并且考慮到物體在水中穩(wěn)定時，質心與浮心必在同一豎直線上。因此對于非對稱異型沉箱，公式(14)成立的前提條件為：沉箱豎直平穩(wěn)懸浮于水中時，任意橫斷面的形狀和面積均不發(fā)生變化。并且通過壓載等方式，使異型沉箱穩(wěn)定懸浮于水中時，其質心、浮心和浸水面的形心在同一條豎直線上。這對于本式至關重要。

因此，對于非對稱異型沉箱，其定傾高度m的定義與規(guī)范的表達式一致：

m=ρ-a

(15)

(16)

綜合前面可知，計算異型沉箱浮游穩(wěn)定的步驟如下：1)求出沉箱穩(wěn)定時浸水面的形心(x，y)，則浮心的X、Y坐標與之相同；2)假定滿足浮游穩(wěn)定條件的加水重力Q，此時質心的X、Y坐標與形心和浮心的相同，據此計算出不同倉格加水量；3)根據不同倉格加水量，計算出質心的Z坐標、吃水深度以及浮心坐標；4)計算出質心與浮心距離a；5)根據式(16)計算出最小的定傾半徑，計算定傾高度并判定浮游穩(wěn)定情況。其中步驟5)須計算最小的定傾半徑，以確保沉箱在任意方向均可保持穩(wěn)定。

3 非對稱直角梯形異型沉箱的穩(wěn)定計算

本文所研究的異型沉箱如圖5、6所示，沉箱高19.5 m、底板高0.75 m、標準層高18.75 m。標準層的橫斷面為直角梯形，并且斷面尺寸沿豎向不發(fā)生變化。其他尺寸見圖5。

圖5 直角梯形異型沉箱平面(單位：mm)

圖6 直角梯形異型沉箱三維圖

雖然在底部的前趾和左右側壁出現了截面變化，但是底部以上在豎直方向上截面形式不變。如果沉箱保持水平，則浮心在浸水面上的投影與浸水面的形心基本重合。為了方便計算，認為本文研究的直角梯形異型沉箱滿足2.2節(jié)第2類情況。此時，需要尋找X軸(傾斜軸)的位置，使其位于形心主慣性軸處，從而使得慣性積Ixy為0，并且Ixx最小，從而確保沉箱在該位置的最小定傾高度滿足要求。

3.1 傾斜軸位置確定

如圖7所示，以通過浸水面形心為坐標原點，垂直于直角梯形的直角邊為X軸，平行于直角邊為Y軸，建立坐標系XOY。不難求出該坐標系下的慣性矩Ixx、Iyy和慣性積Ixy。由平面圖形幾何性質及轉軸公式可以求出過形心O的主慣性軸及主慣性矩Ix和Iy。

圖7 浸水面

假設主慣性軸與X軸夾角為θ，則有：

(17)

(18)

(19)

從上式可以求出兩軸相差90°的角度，分別對應最大和最小的主慣性軸Ix和Iy，圖7中X、Y軸即為主慣性軸。其中最大形心主慣性矩為Ix=3 645.426 8 m4；最小形心主慣性矩為Iy=1 412.515 4 m4。

不難發(fā)現，當異型沉箱繞Y軸擺動時更容易發(fā)生傾覆，因此采用式(16)進行驗算沉箱穩(wěn)定時只須計算繞Y軸擺動的情形。

3.2 穩(wěn)定驗算

建立圖 8所示坐標系，其中坐標原點位于沉箱底部，Z軸向上為正。異型沉箱的格倉編碼如圖8所示，假定總壓載量為400 t，各格倉的壓載水高度以及某格倉內壓載水面對于該水面傾斜軸的慣性矩見表1，總排水量為2 372 m3。

圖8 計算及格倉編號

表1 各格倉壓載水高度及對傾斜軸的慣性矩

通過計算求得壓載后的質心(m)為(7.85,5.61,7.369)，浮心(m)為(7.86,5.61,7.26)，浸水面的形心(m)為(7.88,5.60,7.80)?？梢钥闯鲑|心、浮心在浸水面的投影和浸水面的形心基本重合(X和Y坐標基本一致)，因此滿足前述2.2節(jié)公式(16)應用的前提條件。質心到形心的距離a=0.11 m。求解各格倉的慣性矩時，應求解該格倉壓載水面對于自身傾斜軸的慣性矩。

通過求解得出定傾半徑為0.578 m，此時定傾高度為0.468 m。根據規(guī)范本項目沉箱的定傾高度不小于0.2 m時即為穩(wěn)定，因此前述壓載方案可以滿足浮游穩(wěn)定。

本項目中兩個異型沉箱按照前述壓載方案進行施工，結果表明沉箱在這種壓載條件下，可以很好地保持浮游穩(wěn)定，理論計算和現場實施結果基本一致，兩個沉箱均順利完成了安裝。

4 結論

1)異型沉箱浮游穩(wěn)定計算無法直接按照規(guī)范，通過計算縱向中心軸的慣性矩從而求出定傾半徑。通過對任意形狀懸浮體的浮游穩(wěn)定計算公式推導，并結合異型沉箱的結構特點，將規(guī)范中矩形和無隔墻圓形沉箱的定傾半徑計算公式推廣至異型沉箱。

2)本文給出的計算方法主要針對豎直方向上截面形式不變的異型沉箱，通過壓載等方式，使沉箱豎直平穩(wěn)懸浮于水中時，任意橫斷面形狀和面積均不發(fā)生變化。其質心、浮心和浸水面的形心在同一條豎直線上。受到輕微擾動時，將沿著過浸水面形心的主慣性軸做二維擺動，而非復雜的三維運動。

3)由于異型沉箱的浸水面并非對稱圖形，無法直接找到其形心主慣性軸，因此通過平面圖形幾何性質求解主慣性軸，然后再進行定傾半徑的求解。

4)通過本項目兩個異型沉箱的計算以及現場實施，證明了這種計算方法安全可靠，可以為異型沉箱的浮游穩(wěn)定計算提供參考。