王永春

2019年11月22日上午，我在《湖北教育》第一屆“教研名師”觀摩課暨中小學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)研討會上做了題為《義務(wù)教育階段學(xué)生理性思維的培養(yǎng)》的報(bào)告，主要從數(shù)學(xué)學(xué)科的角度思考義務(wù)教育階段學(xué)生理性思維的培養(yǎng)問題。

一、問題的提出

中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)以培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”為核心，分為文化基礎(chǔ)、自主發(fā)展、社會參與三個(gè)方面，綜合表現(xiàn)為人文底蘊(yùn)、科學(xué)精神等六大素養(yǎng)，其中科學(xué)精神分為理性思維、批判質(zhì)疑、勇于探究三個(gè)基本要點(diǎn)。理性思維的培養(yǎng)是理科落實(shí)核心素養(yǎng)的重要方面。

義務(wù)教育階段各學(xué)科的課程理念和性質(zhì)、教學(xué)目標(biāo)具有系統(tǒng)性和連貫性，因此理性思維的培養(yǎng)也應(yīng)通盤考慮，加強(qiáng)研究小學(xué)如何為初中階段的學(xué)習(xí)打好理性思維的基礎(chǔ)。特別是數(shù)學(xué)學(xué)科，從小學(xué)到初中，是從算術(shù)到代數(shù)、從常量到變量、從實(shí)驗(yàn)幾何和直觀幾何到抽象邏輯推理的論證幾何的發(fā)展過程，無論是知識還是思維、思想方法，都是一個(gè)質(zhì)的飛躍。因此，如果小學(xué)階段不加強(qiáng)學(xué)生理性思維的培養(yǎng)，勢必影響初中的學(xué)習(xí)。

二、理性思維的解讀

思維有三種最基本的方式：概念、判斷和推理。概念既是思維的基本形式，也是判斷（命題）和推理的基礎(chǔ)。命題是表達(dá)判斷的陳述句，數(shù)學(xué)命題是在數(shù)學(xué)概念和邏輯推理基礎(chǔ)上形成的對數(shù)學(xué)對象進(jìn)行判斷的陳述句。命題分真命題和假命題，本文所討論的數(shù)學(xué)命題是指真命題。數(shù)學(xué)命題是數(shù)學(xué)運(yùn)算和推理的依據(jù)。概念是判斷的基礎(chǔ)，判斷（命題）是推理的基礎(chǔ)，推理是數(shù)學(xué)中最重要的思維方式或者思想方法。概念、判斷和推理之間層層遞進(jìn)。通俗地說：如果概念不清，那么判斷不明，繼而推理不靈。

根據(jù)中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)研究報(bào)告的解釋，理性思維主要包含三個(gè)方面：①崇尚真知，能理解和掌握基本的科學(xué)原理和方法;②尊重事實(shí)和證據(jù)，有實(shí)證意識和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那笾獞B(tài)度;③邏輯清晰，能運(yùn)用科學(xué)的思維方式認(rèn)識事物、解決問題、指導(dǎo)行為。根據(jù)思維的三個(gè)最基本的形式，理性思維的培養(yǎng)，要求學(xué)生在理解概念和命題的基礎(chǔ)上，掌握科學(xué)的原理和思想方法，有追求科學(xué)真理的精神和實(shí)事求是的態(tài)度，能夠根據(jù)事實(shí)和原理進(jìn)行邏輯思考，通過推理和建立模型解決問題。

三、理性思維的培養(yǎng)

（一）概念的教學(xué)

概念是反映事物本質(zhì)屬性的最基本的思維方式。事物一旦被抽象概括成概念，就已經(jīng)不是事物的現(xiàn)象和局部，而是抓住了事物的本質(zhì)和全體。本文特別強(qiáng)調(diào)一個(gè)基本觀點(diǎn)：無論是教科書的編寫還是課堂教學(xué)，不要因?yàn)閷W(xué)生認(rèn)知水平的局限性和概念的抽象性而有意回避概念的清晰表達(dá)和理解，不要繞著困難走，而應(yīng)該采取各種辦法，努力使學(xué)生理解概念。每次學(xué)習(xí)遇到困難就回避，就像行進(jìn)中遇到石頭繞著走而不是跨越過去。這樣做，久而久之，困難積累多了，學(xué)生的面前就會形成一堵墻或者一座山，難以逾越，從而導(dǎo)致很多學(xué)生的學(xué)習(xí)只能死記硬背。

概念具有四個(gè)方面的特性或者構(gòu)成要素，即概念的名稱、定義、例子和屬性。例如，鳥是體表被覆羽毛的卵生脊椎動物，這個(gè)概念中能反映鳥的內(nèi)涵的本質(zhì)屬性的是“體表被覆羽毛”“卵生的脊椎動物”，那么，會飛就不是反映鳥的內(nèi)涵的本質(zhì)特征。因此，判斷一個(gè)動物是不是鳥，不能以會不會飛為標(biāo)準(zhǔn)。但是我們可以按會不會飛為標(biāo)準(zhǔn)對鳥進(jìn)行分類，即鳥可以分為兩類——會飛的和不會飛的，會飛的如麻雀、喜鵲、大雁、丹頂鶴等，不會飛的如鴕鳥等。蝙蝠和蜻蜓等雖然會飛，但沒有羽毛，所以不是鳥;鴕鳥等雖然不會飛，但是符合鳥的本質(zhì)特征，即體表被覆羽毛、卵生脊椎動物，所以是鳥?？梢姡斫飧拍畹膬?nèi)涵和外延非常重要。

小學(xué)數(shù)學(xué)中的十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)法有幾個(gè)重要的概念，十進(jìn)制、數(shù)位、計(jì)數(shù)單位、0～9這10個(gè)數(shù)字。十進(jìn)位值制意味著把0到9放在不同的數(shù)位上就能夠表達(dá)所有的數(shù)。無論是寫數(shù)、讀數(shù)、比較數(shù)的大小、計(jì)算等都要根據(jù)計(jì)數(shù)單位和數(shù)位進(jìn)行。例如，認(rèn)識10的時(shí)候，常常用數(shù)小棒的方式計(jì)數(shù)，我們習(xí)以為常地讓學(xué)生從1根數(shù)到10根捆成1捆，可是我們讓學(xué)生思考過為什么嗎，讓學(xué)生思考過1是什么嗎。學(xué)生認(rèn)識了0～9這10個(gè)數(shù)字，我們讓學(xué)生思考過為什么自然數(shù)10的表達(dá)沒有用新的數(shù)字，而是從0～9中選擇0和1這兩個(gè)數(shù)字表達(dá)嗎？學(xué)生認(rèn)識了100以內(nèi)的數(shù)，我們讓學(xué)生思考過什么是一位數(shù)、兩位數(shù)的本質(zhì)嗎？也許有老師說低年級學(xué)生理解不到這么深刻，到四年級大數(shù)的認(rèn)識時(shí)再總結(jié)。然而，學(xué)生在第一學(xué)段學(xué)習(xí)了三年的數(shù)的認(rèn)識和計(jì)算，有很多學(xué)生只知其然不知其所以然，主要原因是對十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)法的本質(zhì)不理解。因此，我再次重申我的基本觀點(diǎn)和做法：高水平教學(xué)，標(biāo)準(zhǔn)化考試。高水平教學(xué)是為了抽象地理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)，標(biāo)準(zhǔn)化考試是為了不增加學(xué)生的負(fù)擔(dān)，因?yàn)閷W(xué)生的負(fù)擔(dān)主要來自考試。再如，100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識，學(xué)生數(shù)數(shù)的難點(diǎn)之一是數(shù)到幾十九，不知道接下來怎么數(shù)，實(shí)際上學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)障礙的最根本原因是對十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)法沒有進(jìn)行抽象。沒有抽象就沒有本質(zhì)的理解，如果學(xué)生理解了十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)法，學(xué)生就知道一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，每個(gè)數(shù)位上的最大數(shù)字是9，那么個(gè)位滿十應(yīng)該向十位進(jìn)一，比如，數(shù)到29，再數(shù)一個(gè)，個(gè)位滿十應(yīng)該向十位進(jìn)一，個(gè)位變成0，十位變成3，29的下一個(gè)數(shù)是30，而不是20。只要學(xué)生掌握了這個(gè)抽象的位值思想方法，就可以以此類推，順利地?cái)?shù)到99。99是最大的兩位數(shù)，如果再增加1，兩位數(shù)已經(jīng)不能表示了，就需要再增加一個(gè)更高級的數(shù)位——百位，于是產(chǎn)生了100。其他自然數(shù)的學(xué)習(xí)，可以此類推。

另外，自然數(shù)10的認(rèn)識非常重要，10的出現(xiàn)是自然數(shù)乃至數(shù)學(xué)發(fā)展史上的第一個(gè)里程碑。教學(xué)10的認(rèn)識，可以啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行時(shí)光穿越，回想我們的祖先是如何數(shù)數(shù)和計(jì)數(shù)的。至少在3300年前的商朝，中國人使用的甲骨文就有大量的數(shù)字符號，已經(jīng)使用了十進(jìn)制;2500年前的春秋戰(zhàn)國時(shí)期，用算籌計(jì)數(shù)，1個(gè)物體用“ ”表示，2個(gè)物體用“”表示，3個(gè)物體用“ ”，……9個(gè)物體用“ ”表示（阿拉伯?dāng)?shù)字在我國推廣使用才100多年）。那么比9個(gè)多1個(gè)，用什么表示呢？教師引導(dǎo)學(xué)生想象：可以繼續(xù)用不同的符號表示，但是這樣下去，有很多物體時(shí)，就得使用更多的符號或小棒，很麻煩，也不容易記憶。怎么辦才能解決用比較少的符號表示很多數(shù)呢？教師請學(xué)生開動腦筋，想出好辦法。勤勞智慧的中國人受個(gè)、十、百、千、萬等計(jì)數(shù)單位的啟發(fā)，創(chuàng)造了數(shù)位（位值制），只用0～9（剛開始還沒有0這個(gè)符號，用空一位表示0，后來到了宋朝才出現(xiàn)用“○”表示0）10個(gè)符號就能夠表示所有的數(shù)。把數(shù)字放在不同的位置上，可以表示不同的值，例如把1放在個(gè)位上表示一，放在十位上就表示一個(gè)十（10）;把1放在十位上、0放在個(gè)位上就表示10，10是最小的兩位數(shù)……可別小瞧這個(gè)發(fā)明，古代中國人從3300年前發(fā)明十進(jìn)制，到2500年前發(fā)明十進(jìn)位值制居然用了至少800年，所以這個(gè)發(fā)明完全可以與中國古代四大發(fā)明相提并論。

初中物理有電壓的概念，怎么理解電壓呢？教科書只給出了名稱，沒有涉及概念的定義及本質(zhì)屬性。學(xué)生對電壓的認(rèn)識沒有達(dá)到抽象的水平，勢必影響后續(xù)知識的學(xué)習(xí)，尤其是歐姆定律等模型的建構(gòu)和應(yīng)用。我們打個(gè)比方，水一般往低處流，是因?yàn)楦咛幍乃哂兄亓菽?。假設(shè)一座樓房最高有五層，自來水怎么從一樓流到五樓呢？它需要克服水的重力，也就是說一定有力的作用，即水泵施加的力有了水壓，水壓越大水流越大。同理，電壓越大電流越大。

此次活動的觀摩課“百分?jǐn)?shù)的意義”是一節(jié)概念課，很好地體現(xiàn)了百分?jǐn)?shù)概念的四個(gè)要素。教師通過師生互動交流，探究了幾個(gè)核心問題：為什么要用百分?jǐn)?shù)？百分?jǐn)?shù)是什么意思？百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)有什么聯(lián)系？在什么情況下用百分?jǐn)?shù)？這樣的探究，使得課堂教學(xué)達(dá)到了深度學(xué)習(xí)狀態(tài)。

（二）結(jié)構(gòu)的教學(xué)

我們至少應(yīng)從兩個(gè)方面理解結(jié)構(gòu)：學(xué)科知識結(jié)構(gòu)和個(gè)體的學(xué)科認(rèn)知結(jié)構(gòu)。個(gè)體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)來源于學(xué)科知識結(jié)構(gòu)，個(gè)體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是不同的。學(xué)科知識結(jié)構(gòu)是概念和命題的關(guān)聯(lián)所形成的結(jié)構(gòu)，是全體學(xué)科工作者研究的成果和智慧結(jié)晶，是一種普遍性的客觀存在，它不依個(gè)人的意志而改變。學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)來源于知識結(jié)構(gòu)，是學(xué)生個(gè)體對學(xué)科理解的智慧結(jié)晶，它屬于學(xué)生個(gè)體，存在于學(xué)生個(gè)體的頭腦中，是個(gè)性化的主觀存在，是一個(gè)復(fù)雜的多要素系統(tǒng)，個(gè)體之間的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和水平是有差異的。學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是不完善的，可能的原因是對一些概念和命題沒有掌握，或者是掌握了概念和命題，但對于知識的掌握是碎片化的、支離破碎的，沒有形成網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)。沒有結(jié)構(gòu)化的知識無法使學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

學(xué)科知識結(jié)構(gòu)是一個(gè)完整的、縱向和橫向連接的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，是古今中外廣大學(xué)科工作者集體智慧的結(jié)晶。無論是教材還是教學(xué)，都不能把這個(gè)完整的知識結(jié)構(gòu)直接呈現(xiàn)給學(xué)生，而是通過一本一本的教科書呈現(xiàn)給學(xué)生。教科書根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平和規(guī)律，把這座高樓大廈拆散、碎片化，進(jìn)行螺旋上升式的編排。學(xué)生從小學(xué)一年級到高三，在12年的時(shí)間里一課時(shí)一課時(shí)地學(xué)習(xí)，就像一磚一瓦地把自己的認(rèn)知大廈重新蓋起來，形成自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。教師的任務(wù)就是指導(dǎo)學(xué)生填好自己的一磚一瓦，把頭腦里的這座大廈蓋得結(jié)構(gòu)完整、結(jié)實(shí)美觀。

關(guān)于結(jié)構(gòu)的重要性，美國心理學(xué)家布魯納有過精辟論述：

一門學(xué)科的課程應(yīng)該決定于對能達(dá)到的給那門學(xué)科以結(jié)構(gòu)的根本原理的最基本的理解。教專門的課題或技能而沒有把他們在知識領(lǐng)域更廣博的基本結(jié)構(gòu)中的脈絡(luò)弄清楚，這在幾個(gè)深遠(yuǎn)的意義上，是不經(jīng)濟(jì)的。第一，這樣的教學(xué)使學(xué)生要從已學(xué)得的知識推廣到他后來將碰到的問題，就非常困難。第二，陷于缺乏掌握一般原理的學(xué)習(xí)，從激發(fā)智慧來說，不大有收獲。使學(xué)生對一個(gè)學(xué)科有興趣的最好辦法，是使這個(gè)學(xué)科值得學(xué)習(xí)，也就是使獲得的知識能在超越原來學(xué)習(xí)情境的思維中運(yùn)用。第三，獲得的知識，如果沒有完滿的結(jié)構(gòu)把它連在一起，那是一種多半會被遺忘的知識。一串不連貫的論據(jù)在記憶中僅有短促得可憐的壽命。根據(jù)可借以推斷出論據(jù)的那些原理和觀念來組織論據(jù)，是降低人類記憶喪失的速率唯一的已知方法。

從中可以看出，布魯納非常注重學(xué)科課程的原理、觀念和結(jié)構(gòu)。這不但有利于學(xué)習(xí)和掌握學(xué)科知識，還有利于記憶、技能和方法的遷移。本文所提出的在概念、命題基礎(chǔ)上形成的結(jié)構(gòu)，與布魯納的觀點(diǎn)有許多相似之處。

認(rèn)知結(jié)構(gòu)的教學(xué)，其過程是復(fù)雜的、個(gè)性化的。特別需要強(qiáng)調(diào)的是，教師首先要有知識關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)化的思想和意識。每節(jié)課，新知識的學(xué)習(xí)都要進(jìn)行關(guān)聯(lián)。一般情況下，課始直接呈現(xiàn)主題，進(jìn)行新舊知識的自主關(guān)聯(lián)，啟發(fā)學(xué)生類比思考：這個(gè)新知識點(diǎn)與哪些學(xué)過的舊知識有關(guān)系？如何把新知識轉(zhuǎn)化成舊知識？能不能用學(xué)過的知識和方法理解新知識、解決新問題？每堂課的小結(jié)階段，也應(yīng)進(jìn)行關(guān)聯(lián)和結(jié)構(gòu)化，使新知識通過同化或者順應(yīng)納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)當(dāng)中。另外，即使教師每堂課把知識結(jié)構(gòu)完整地呈現(xiàn)在黑板上，也并不表明每個(gè)學(xué)生都把知識結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為了自己認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的一部分。教師要讓學(xué)生經(jīng)歷知識結(jié)構(gòu)的形成過程，這個(gè)過程要體現(xiàn)思想方法、元認(rèn)知和非智力因素等整體認(rèn)知結(jié)構(gòu)的協(xié)調(diào)發(fā)展。

（三）邏輯推理的教學(xué)

推理一般分為合情推理和演繹推理。合情推理主要有歸納推理、類比推理、統(tǒng)計(jì)推斷;演繹推理主要有三段論、選言推理、關(guān)系推理等。

1.歸納推理的教學(xué)

歸納推理是從特殊到一般的推理方法，即依據(jù)一類事物中部分對象的相同性質(zhì)推出該類事物都具有這種性質(zhì)的一般性結(jié)論的推理方法。歸納推理往往是在人們實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上得出結(jié)論的，如通過觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、分析、綜合、抽象、概括，形成對思維對象的共性認(rèn)識，最后歸納結(jié)論。

歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法。完全歸納法是根據(jù)某類事物中的每個(gè)事物或每個(gè)子類事物都具有某種性質(zhì)，推出該類事物具有這種性質(zhì)的一般性結(jié)論的推理方法。如自然數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的乘法滿足交換律，有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)的乘法也滿足交換律，所以關(guān)于數(shù)的乘法都滿足交換律，就運(yùn)用了完全歸納法。完全歸納法考察了所有特殊對象，所得出的結(jié)論是可靠的。不完全歸納法得到的結(jié)論可能為真也可能為假，需要進(jìn)一步證明結(jié)論的可靠性。歸納法有助于發(fā)現(xiàn)并提出問題，進(jìn)行大膽猜想。數(shù)學(xué)史上有很多著名的問題都是這樣被提出來的，如哥德巴赫猜想、費(fèi)馬猜想等。哥德巴赫通過觀察幾組加法算式，發(fā)現(xiàn)這些大于或等于6的偶數(shù)等于兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和：6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7，14=7+7，…于是，他大膽猜想：任何一個(gè)不小于6的偶數(shù)都等于兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和。

這個(gè)猜想是否正確呢？兩百多年來很多數(shù)學(xué)家進(jìn)行了不懈的努力，而且取得了很大進(jìn)展。最著名的就是我國數(shù)學(xué)家陳景潤已經(jīng)證明了“任何一個(gè)大偶數(shù)都可表示成一個(gè)素?cái)?shù)與另一個(gè)不超過2個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和”，創(chuàng)造了距離摘取這顆數(shù)論皇冠上的明珠只有一步之遙的輝煌成果。

歸納推理在教學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，如物理教學(xué)中，通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)銅可以導(dǎo)電，鉛可以導(dǎo)電，鋁可以導(dǎo)電，于是可以初步歸納出一個(gè)猜想：金屬都可以導(dǎo)電。

2.類比推理的教學(xué)

類比推理是從特殊到特殊的推理方法，即依據(jù)兩類事物的相似性，用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物也具有該性質(zhì)，也叫類比法。依據(jù)該方法得到的結(jié)論可能為真也可能為假，需要進(jìn)一步證明結(jié)論的可靠性，如根據(jù)整數(shù)的運(yùn)算律，得出小數(shù)具有同樣的運(yùn)算性質(zhì)。

類比不同于比較，是在比較的基礎(chǔ)上進(jìn)行的推理。類比法與歸納法也有不同之處，類比法是從特殊到特殊的推理，歸納法是從特殊到一般的推理。它們也有相同之處，它們的結(jié)論都是或然的，即正確與否都是不確定的，有待證明。

無論是學(xué)習(xí)新知識，還是利用已有知識解決新問題，如果能夠把新知識和新問題與已有的相類似的知識進(jìn)行類比，進(jìn)而找到解決問題的方法，這樣就實(shí)現(xiàn)了知識和方法的正遷移。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中利用類比思想，提高解決問題的能力。有些類比比較直接，如由整數(shù)的運(yùn)算定律遷移到小數(shù)、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算定律等;而有些類比比較隱蔽，需要在分析的基礎(chǔ)上才能實(shí)現(xiàn)，如抽屜原理，變式練習(xí)有很多，難度較大，解決此類問題的關(guān)鍵是通過類比找到抽屜和物品的數(shù)量，然后運(yùn)用模型思想和演繹推理思想解決問題。應(yīng)用類比的思想方法，關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)兩類事物相似的性質(zhì)，因此，觀察、比較與聯(lián)想是類比的基礎(chǔ)。中學(xué)數(shù)學(xué)與小學(xué)數(shù)學(xué)可以類比的知識有很多，打好小學(xué)數(shù)學(xué)的知識基礎(chǔ)和掌握類比思想，對于中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)會有較大益處。代數(shù)與算術(shù)、空間與平面的類比，高維與低維的類比，無限與有限、曲與直的類比等，都是常用的類比形式。如：在代數(shù)中，與整數(shù)的運(yùn)算順序和運(yùn)算定律相類比，可以推導(dǎo)出有理數(shù)和整式的運(yùn)算順序和運(yùn)算定律;與分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)相類比，可以導(dǎo)出分式也具有類似的性質(zhì)，并且可以推出它和分?jǐn)?shù)一樣能夠進(jìn)行化簡和運(yùn)算。

3.演繹推理的教學(xué)

我們主要討論常用的三段論和關(guān)系推理。

（1）直言三段論。有兩個(gè)前提（直言命題）和一個(gè)結(jié)論（直言命題）的演繹推理，叫直言三段論，簡稱“三段論”。三段論是演繹推理的一般模式，包括：大前提——已知的一般原理，小前提——所研究的特殊情況，結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷。例如：長方形的面積等于長乘寬，正方形是特殊的長方形，所以正方形的面積也等于長乘寬，即邊長乘邊長。

三段論一般要借助于一個(gè)共同的詞（項(xiàng)）把兩個(gè)命題聯(lián)系起來，然后推出一個(gè)新的命題（結(jié)論）。兩個(gè)前提包含的共同項(xiàng)稱為“中項(xiàng)”，上述例子的“長方形”就是中項(xiàng);大前提與結(jié)論包含的共同項(xiàng)是大項(xiàng)，上述例子的“長乘寬”就是大項(xiàng);小前提與結(jié)論包含的共同項(xiàng)是小項(xiàng)，上述例子的“正方形”就是小項(xiàng)。我們用字母S表示小項(xiàng)，M表示中項(xiàng)，P表示大項(xiàng)，一般的推理形式可概括如下：

所有M都是P

S是M

所以，S是P

三段論的核心思想是：一類對象的全部具有或不具有某屬性，那么該類對象的部分也具有或不具有某屬性。第一種情況見上例，第二種情況見下例：一切奇數(shù)都不是2的倍數(shù)，4的倍數(shù)加1的和是奇數(shù)，所以4的倍數(shù)加1的和不是2的倍數(shù)。

兩種情況的推理可以用下圖表示：

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材和教學(xué)中，如果兩個(gè)前提中的某一個(gè)不言自明，有時(shí)可能會省略一個(gè)前提。如：這個(gè)圖形是三角形，它的內(nèi)角和是180°，這個(gè)推理省略了大前提“三角形的內(nèi)角和是180°”。

三段論通過大前提、小前提推出特殊結(jié)論。在小學(xué)數(shù)學(xué)中雖然很少有類似于初中數(shù)學(xué)證明等嚴(yán)密規(guī)范的演繹推理，但是在很多結(jié)論的推導(dǎo)過程中應(yīng)用了三段論推理的省略形式。例如，根據(jù)平行四邊形的面積公式推出三角形的面積公式，就是一個(gè)三段論推理：

平行四邊形的面積等于底乘高 （大前提）

兩個(gè)同樣（全等）的三角形的面積等于平行四邊形的面積 （小前提）

兩個(gè)同樣（全等）的三角形的面積等于底乘高 （結(jié)論）

最后根據(jù)等式的性質(zhì)，推出一個(gè)三角形的面積等于底乘高的積除以2。

（2）關(guān)系推理。關(guān)系推理是前提中至少有一個(gè)是關(guān)系命題的推理。下面簡單舉例說明幾種常用的關(guān)系推理：①對稱性關(guān)系推理，如1米=100厘米，所以100厘米=1米。②反對稱性關(guān)系推理，如a大于b，所以b不大于a。③傳遞性關(guān)系推理，分為相等關(guān)系與不等關(guān)系的傳遞，相等關(guān)系如a=b，b=c，所以a=c，不等關(guān)系如a>b，b>c，所以a>c。關(guān)系推理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用比較普遍，如在一年級學(xué)習(xí)數(shù)的大小比較時(shí)，把一些數(shù)按從小到大或從大到小的順序排列，實(shí)際上都用到了關(guān)系推理。

此次活動的觀摩課“平行四邊形的面積”公式的推導(dǎo)過程，就很好地體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和推理思想：

長方形的面積等于長乘寬

平行四邊形的面積等于長方形的面積

平行四邊形的底等于長方形的長、高等于寬

所以平行四邊形的面積等于底乘高

此次活動的觀摩課“探究四點(diǎn)共圓的條件”也非常好地體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和推理思想。

（作者單位：人民教育出版社課程教材研究所）