劉佳琦，蔡忠華，王德禹

(1. 上海交通大學(xué) 海洋工程國家重點實驗室，上海 200240； 2. 高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240)

集裝箱運輸因其裝卸貨物效率高、運輸時間短和成本低等優(yōu)點，在航運市場得到廣泛應(yīng)用。目前，大約90%的非散裝貨物海運都是利用集裝箱來完成運輸[1]。隨著集裝箱的廣泛使用，集裝箱墜海事故發(fā)生率隨之升高。據(jù)估計，每年海上運輸過程中約有10 000個集裝箱丟失[2]，這對航運業(yè)造成了巨大的經(jīng)濟損失。Aguiar[1]等認為對集裝箱堆垛進行動力學(xué)響應(yīng)研究是探究集裝箱丟失機理的方法之一。而目前，該項研究大部分是建立在有限元軟件數(shù)值計算的基礎(chǔ)上，這不能完全反映堆棧系統(tǒng)的真實特性。而在海運過程中，因受到模型體積大，試驗難度大和成本高等多方面因素的限制[3]，難以對高達幾十米的集裝箱堆垛進行試驗測量。因此，在實驗室條件下，利用相似模型來模擬集裝箱，進而構(gòu)建集裝箱堆垛系統(tǒng)，并對其進行試驗研究是可行的方法，不僅可以驗證有限元數(shù)值模擬的準確性，還能得到堆垛系統(tǒng)最真實的力學(xué)行為。

模型試驗研究方法是建立與原型相似的模型進行試驗研究，從而揭示原型本質(zhì)和規(guī)律的方法[4]，其理論基礎(chǔ)是相似定理。在設(shè)計集裝箱相似模型時，由于集裝箱具有薄壁構(gòu)件(厚度與結(jié)構(gòu)件最小平面跨度之比在1/80和1/5之間的構(gòu)件[5])，若采用完全幾何相似的縮尺模型進行試驗，會出現(xiàn)相似模型的厚度太小而無法加工的情況，并且在加工焊接時極易產(chǎn)生初始應(yīng)力和初始變形，這些初始缺陷可能會成為影響其結(jié)構(gòu)力學(xué)行為的一個重要因素。初始缺陷影響系數(shù)的不一致代表了初始條件的不一致，這一點與相似第三定理相違背[6]。同時，集裝箱原模型框架結(jié)構(gòu)不是標準的型材制作，形狀并不規(guī)則。除了框架結(jié)構(gòu)，其它部分主要是采用蒙皮式波紋板結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)在實驗室條件下很難制作。

鑒于集裝箱結(jié)構(gòu)的特殊性，本文提出了一種快速構(gòu)建集裝箱相似畸變模型的方法。首先，建立20英尺ISO貨運集裝箱有限元模型，基于有限元方法提取其靜力學(xué)和動力學(xué)特征參數(shù)；其次，基于Froude縮尺定理確定縮尺集裝箱特征參數(shù)目標值；然后，構(gòu)建相似集裝箱的結(jié)構(gòu)模型，利用拓撲優(yōu)化對縮尺集裝箱墻壁結(jié)構(gòu)的材料分布進行優(yōu)化；最終，基于多目標優(yōu)化算法對縮尺有限元模型的設(shè)計參數(shù)進行尋優(yōu)直至尋優(yōu)目標真值收斂至目標值，優(yōu)化確定的縮尺有限元模型即為集裝箱相似模型。最后采用有限元分析驗證了該畸變相似模型的合理性。研究結(jié)果表明：本文的模型優(yōu)化設(shè)計方法合理有效，設(shè)計的模型不僅滿足模型的加工工藝要求，還能預(yù)測集裝箱的力學(xué)行為。

1 20英尺ISO貨運集裝箱模型

標準20英尺ISO貨運集裝箱三維模型如圖1所示，它的主要尺寸和材料參數(shù)信息[7]如表1所示。采用Patran有限元軟件構(gòu)建集裝箱的有限元模型，模型的單元尺寸、形狀和類型等詳細信息見表2?？s尺模型與全尺寸模型在所有相似參數(shù)上完全相似是很難實現(xiàn)的。選擇重要參數(shù)而忽略次要參數(shù)，雖然會導(dǎo)致畸變模型和原型之間產(chǎn)生誤差[8]，但誤差的大小取決于選擇參數(shù)對模型的影響程度。因此，選擇對集裝箱的機械性能影響較大的參數(shù)，包括：模型質(zhì)量，慣性矩，結(jié)構(gòu)剛度，第一階模態(tài)頻率，第一階模態(tài)振型等作為重要參數(shù)。為了便于貨物裝卸，20英尺ISO貨運集裝箱采用了一端封閉，另一端雙開門的結(jié)構(gòu)形式，如圖2所示。這導(dǎo)致開口端(開門端)和閉口端(封閉端)的橫向剛度存在較大差異，需要分別考慮。

利用有限元分析獲得20英尺ISO貨運集裝箱的主要特征參數(shù)，計算結(jié)果與Aguiar[1]等人保持一致，如表3所示。其中，集裝箱的試驗方法和要求如表4所示。

圖1 20英尺集裝箱結(jié)構(gòu)示意Fig. 1 20-ft container structure diagram

圖2 20英尺ISO貨運集裝箱Fig. 2 20-ft ISO freight container

表1 20英尺集裝箱的主要尺寸和材料參數(shù)Tab. 1 Main size and material parameters of 20-ft container model

表2 20英尺集裝箱有限元模型構(gòu)造細節(jié)Tab. 2 Construction details of 20-ft container finite element model

表4 集裝箱試驗方法與要求[9-10] Tab. 4 Methods and requirements of container test[9-10]

2 20英尺ISO貨運集裝箱縮尺模型設(shè)計

2.1 相似設(shè)計準則

幾何相似是指兩個系統(tǒng)中相對應(yīng)的幾何要素的比值是一個常數(shù)。運動相似是指兩個系統(tǒng)中對應(yīng)的運動參數(shù)在時間上的相似性，比如速度、加速度等。幾何相似和運動相似可以通過Froude縮尺準則來實現(xiàn)。動力學(xué)相似指作用于系統(tǒng)的力之間的比率是固定值。依據(jù)重力與慣性力之比，彈性力與慣性力之比兩個無量綱數(shù)，來確定縮尺模型的物理(尺寸、質(zhì)量)和結(jié)構(gòu)(縱向、橫向剛度)信息，使得縮尺集裝箱與全尺寸集裝箱在幾何、運動、動力學(xué)方面的對應(yīng)相似。其中，F(xiàn)roude 縮尺準則[11]信息如表5所示，其中，λ為縮尺比。

表5 Froude縮尺準則Tab. 5 Froude scaling law

2.2 縮尺模型的構(gòu)造

大比尺模型雖然可以與實際的結(jié)構(gòu)形式上更為相似，但是制作的成本更高，對試驗環(huán)境的要求也越高，模型的裝卸、測試都會有一定的困難。小比尺相似模型則因尺寸過小，不利于加工制造，且尺寸越小，因焊接產(chǎn)生的殘余應(yīng)力與初始變形對試驗結(jié)果的影響會越大，導(dǎo)致試驗結(jié)果的不準確。因此模型設(shè)計一方面應(yīng)盡量做到與實際結(jié)構(gòu)在各方面保持相似，另一方面還需要考慮模型制作的便利性和實驗平臺的限制等。本文為節(jié)約模型制作成本，降低對試驗環(huán)境要求，取模型的縮小比例為1∶10，即λ=10。

相似模型的設(shè)計思路如圖3所示。首先，基于有限元方法，建立20英尺標準海運干貨集裝箱結(jié)構(gòu)1∶1的有限元模型，并提取其靜力學(xué)和動力學(xué)特征參數(shù)目標值；然后，基于Froude定理確定縮尺集裝箱靜力學(xué)和動力學(xué)特征參數(shù)目標值；其次，在考慮加工制造限制的前提下，選定縮尺集裝箱各結(jié)構(gòu)構(gòu)件的截面形式與尺寸，構(gòu)建縮尺集裝箱結(jié)構(gòu)模型，利用拓撲優(yōu)化對縮尺集裝箱墻壁結(jié)構(gòu)的材料分布進行優(yōu)化，確定縮尺集裝箱的墻壁結(jié)構(gòu)形狀?；谕負鋬?yōu)化得到的集裝箱結(jié)構(gòu)形式，利用多目標優(yōu)化算法對縮尺有限元模型的設(shè)計參數(shù)進行尋優(yōu)，若目標真值無法收斂，則更改集裝箱的各結(jié)構(gòu)構(gòu)件的截面形式或尺寸，重新進行拓撲優(yōu)化與多目標優(yōu)化，直至尋優(yōu)目標真值收斂至目標值，優(yōu)化確定的縮尺有限元模型即為集裝箱相似模型。

圖3 相似模型設(shè)計思路Fig. 3 Design way of similarity model

2.2.1 拓撲優(yōu)化

為解決實驗室條件下無法加工蒙皮波紋板結(jié)構(gòu)的問題，利用平板進行替代。因加工水平的限制，在平板選擇最小厚度，模型質(zhì)量仍遠遠超過目標值。因此，需要利用拓撲優(yōu)化對縮尺集裝箱的墻壁結(jié)構(gòu)的材料分布進行優(yōu)化，在保證結(jié)構(gòu)的特征性能前提下，最大程度地減輕模型的重量。載荷條件與約束條件對拓撲優(yōu)化結(jié)果十分重要，因此，需要考慮在實際情況下集裝箱的受力情況。

圖4 載荷與約束條件Fig. 4 Load and constraints condition

20英尺ISO貨運集裝箱在實際使用期間，集裝箱底部的4個角鑄件通過扭鎖固定在艙蓋板或者下層的集裝箱頂部，集裝箱頂部的4個角承受著上層集裝箱的重量和相鄰的集裝箱堆垛在集裝箱長邊方向和短邊方向力的作用。因此約束條件為底部箱角完全固定，載荷條件為頂部的4個角分別受到沿集裝箱長邊、短邊的集中力和垂直方向的壓力作用，每個角在X，Y，Z三個方向上的力分別為75、1 077和150 N[9]，具體的設(shè)置方式見圖4。雖然在規(guī)范中，不同方向剛度試驗底角件的固定方式存在差異，并非均為完全固定，但兩者計算結(jié)果差異很小，在工程上可以忽略。

基于ABAQUS的SIMP拓撲優(yōu)化方法，建立了以墻壁結(jié)構(gòu)單元密度為設(shè)計變量，畸變能密度最小(剛度最大化)為目標函數(shù)，優(yōu)化前后體積分數(shù)百分比和位移約束為約束函數(shù)的拓撲優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，對墻壁結(jié)構(gòu)的材料分布進行優(yōu)化。其中，對集裝箱頂端箱角的四個點進行位移約束，以保證集裝箱的箱角不會產(chǎn)生大變形。拓撲優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型為：

式中：F(ηi)表示結(jié)構(gòu)的畸變能密度，ηi表示第i個單元的偽密度，α表示體積減小的百分比，V0表示為墻壁結(jié)構(gòu)初始體積，D0表示節(jié)點的許用位移偏移值。

本文利用ABAQUS軟件中變密度法對不同體積減小百分比和節(jié)點許用位移進行計算，隨著體積減小分數(shù)與許用位移的不斷減小，優(yōu)化獲得的墻壁結(jié)構(gòu)趨于穩(wěn)定(一致)。當選擇α=5%，D0=0.02時，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)形式如圖5所示。考慮到現(xiàn)實中加工制造的條件，對拓撲優(yōu)化的結(jié)果進行修正，如圖6所示。對修正后的集裝箱模型進行靜力學(xué)分析，得到結(jié)果與原始模型進行對比，見表6。

表6 模型優(yōu)化結(jié)果對比Tab. 6 Comparison of model results

圖5 拓撲優(yōu)化結(jié)果Fig. 5 Results of topology optimization

圖6 20英尺縮尺集裝箱幾何圖Fig. 6 Geometry diagram of 20-ft container

由分析結(jié)果可知，橫向剛度(開口端)和縱向剛度均增加，橫向剛度(閉口端)有所減小，優(yōu)化區(qū)域的墻壁重量減小幅度達到91.6%。這表明，在集裝箱底端加上小肘板可以很好地給予結(jié)構(gòu)支撐?；谟赏負鋬?yōu)化確定的集裝箱結(jié)構(gòu)形式，進行多目標優(yōu)化，以確定各個結(jié)構(gòu)構(gòu)件的厚度。

2.2.2 多目標優(yōu)化

集裝箱畸變相似模型的構(gòu)建是一個多學(xué)科、多目標和多約束的優(yōu)化問題。優(yōu)化目標包括結(jié)構(gòu)質(zhì)量、集裝箱的橫向剛度(開口端和閉口端)、縱向剛度、抗側(cè)剛度(開口端和閉口端)、一階模態(tài)頻率及振型。其中，采用靜力學(xué)分析計算結(jié)構(gòu)剛度，加載方式與邊界條件信息詳見表4。利用模態(tài)分析計算模態(tài)頻率，并通過輸出一些典型點(集裝箱的8個箱角頂點)的位移來描繪振型，通過比較位移數(shù)值大小，初步判斷縮尺模型與原尺寸模型在振型是否一致。最終，對縮尺模型進行模態(tài)分析，驗證全尺寸模型與縮尺模型振型是否保持一致，以確保結(jié)果正確。約束條件包括結(jié)構(gòu)強度和結(jié)構(gòu)的可制造性等。結(jié)構(gòu)強度的加載方式見表4。制造可行性表明該多目標分析的設(shè)計參數(shù)為離散型。本文采用逆向思維的設(shè)計方法，通過調(diào)整集裝箱模型各結(jié)構(gòu)構(gòu)件的特征參數(shù)來滿足設(shè)計目標。

運用多目標優(yōu)化方法中的平方加權(quán)法將多目標優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單目標優(yōu)化問題，通過調(diào)節(jié)權(quán)重因子，來解決各目標之間的量綱不一致性問題。每個目標的權(quán)重因子為該目標值的倒數(shù)。采用多島遺傳算法對目標函數(shù)尋優(yōu)求解。作為在傳統(tǒng)遺傳算法基礎(chǔ)上建立的一種基于群體分組的并行性遺傳算法[12], 算法將每個進化種群劃分為若干個子種群，這些子種群被稱為“島嶼”。在每個島嶼上對子種群獨立地進行傳統(tǒng)遺傳算法操作，如選擇、交叉、變異等，每個島選定的個體定期轉(zhuǎn)移到另一島上，然后繼續(xù)進行傳統(tǒng)遺傳算法操作，從而有效地抑制早熟現(xiàn)象，有利于找到全局最優(yōu)解[13]。多島遺傳算法的優(yōu)化模型流程見圖7。

圖7 多島遺傳算法流程Fig. 7 Flow diagram of multi-island GA algorithm

對集裝箱縮尺模型進行模型修正。優(yōu)化后的各個結(jié)構(gòu)尺寸信息見表7。優(yōu)化過程中變量變化曲線如圖8和圖9所示。

圖8 優(yōu)化過程中結(jié)構(gòu)橫向剛度曲線Fig. 8 Transverse stiffness curve in the optimization process

圖9 優(yōu)化過程中縱向剛度曲線Fig. 9 Longitudinal stiffness curve in the optimization process

應(yīng)用Froude縮尺準則來獲得縮尺模型的目標特征參數(shù)，選擇的設(shè)計變量及名稱見表7。通過建立數(shù)學(xué)模型來實現(xiàn)模型優(yōu)化設(shè)計?？捎上旅娴臄?shù)學(xué)關(guān)系表示：

表7 縮尺模型幾何信息特征Tab. 7 Scale model geometric information feature

3 20英尺ISO貨運集裝箱縮尺模型驗證

縮尺集裝箱模型材料采用普通碳素鋼，其楊氏模量E=210 GPa，泊松比υ=0.3，密度為7 850 kg/m3。為了確定本文設(shè)計的縮尺集裝箱模型的可靠性，采用有限元方法來對其進行驗證。首先，對結(jié)構(gòu)進行靜力學(xué)強度分析，來提取模型的結(jié)構(gòu)剛度。然后，對結(jié)構(gòu)進行模態(tài)分析來確定模型的頻率和模態(tài)特征。

3.1 靜力學(xué)強度分析

對縮尺集裝箱模型進行靜力學(xué)強度分析的加載方式與邊界條件，是參考CCS的《集裝箱檢驗規(guī)范》[9]的內(nèi)容設(shè)置的，詳細信息見表4，利用有限元分析獲得的剛度計算結(jié)果如圖10所示。

圖10 縮尺集裝箱剛度有限元計算結(jié)果Fig. 10 Finite element analysis results of stiffness of the scaled model

3.2 模態(tài)分析

對縮尺集裝箱模型進行模態(tài)分析獲得的結(jié)果如表8所示，一階模態(tài)振型見圖11。通過與原尺寸集裝箱的一階模態(tài)振型圖對比，兩者一階模態(tài)振型一致，如圖12所示。因此，縮尺集裝箱的特征特性與由Froude縮尺準則獲得的目標值保持一致，驗證了經(jīng)過多目標優(yōu)化得到的集裝箱縮尺模型的準確性與有效性?？s尺集裝箱模型的詳細參數(shù)信息見表9。

表8 前3階集裝箱模型模態(tài)頻率 Hz Tab. 8 Former 3-order eigen frequencies of container model Hz

圖12 全尺寸集裝箱一階模態(tài)Fig. 12 1st-order natural frequency

由表8可知，最終構(gòu)建的相似模型與原型結(jié)構(gòu)的之間的靜力學(xué)行為差距較小，即本文所提出的方法可以有效減小原型結(jié)構(gòu)和相似試驗?zāi)Ｐ椭g的差值，使計算結(jié)果滿足預(yù)設(shè)目標的要求；從模態(tài)分析結(jié)果中可以看出，該集裝箱相似模型與目標結(jié)果差距較小，滿足目標要求，也驗證了所提方法的可行性和實用性。

表9 縮尺集裝箱模型參數(shù)信息表Tab. 9 Feature parameters of scaled model (λ=10)

4 結(jié) 語

基于Froude縮尺定理，結(jié)合拓撲優(yōu)化與多目標優(yōu)化，提出了一種構(gòu)建相似畸變模型的方法。利用拓撲優(yōu)化對縮尺集裝箱墻壁結(jié)構(gòu)的材料分布進行優(yōu)化，利用多目標優(yōu)化來尋求滿足靜力學(xué)目標、動力學(xué)目標和結(jié)構(gòu)的物理特性時各個結(jié)構(gòu)的設(shè)計參數(shù)值。并對具有薄壁結(jié)構(gòu)的ISO海運集裝箱進行相似畸變模型的構(gòu)建。最終利用有限元分析驗證了該相似畸變模型的合理性。結(jié)果表明：設(shè)計的模型不僅滿足模型的加工工藝要求，還具有預(yù)測集裝箱力學(xué)行為的能力。該設(shè)計方法也具有一定的通用性，能為其它類型結(jié)構(gòu)相似模型的構(gòu)建提供新的思路。