王沖霄，劉忠樂，文無敵，張志強(qiáng)，趙 苗

(海軍工程大學(xué) 兵器工程學(xué)院，湖北 武漢 430033)

水下拖曳系統(tǒng)在海洋資源勘探、反潛作戰(zhàn)、反魚雷及魚雷實(shí)戰(zhàn)指標(biāo)考核等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用，線列陣是水下拖曳系統(tǒng)的一個關(guān)鍵組成部分，其水動力特性將顯著影響整個水下航行器系統(tǒng)的快速性、操縱性及穩(wěn)定性，所以開展水下拖纜的水動力特性研究具有重要的理論意義和工程實(shí)用價值[1]。在實(shí)際海洋應(yīng)用中，拖纜難免會受到不同海況下水面波浪的干擾，而這些干擾往往會對拖纜誘餌的模擬效果以及水下航行器的穩(wěn)定性產(chǎn)生較大影響。目前針對波浪對水下拖纜的影響研究，僅有王飛等[2]采用集中質(zhì)量法對規(guī)則波下的拖纜進(jìn)行了動力學(xué)建模計算，而實(shí)際海洋中波浪大多為不同頻率和波幅組成的不規(guī)則波。針對單向不規(guī)則波的建模仿真，目前常用的方法有線性波浪疊加法和線性過濾法兩種[3-4]。線性波浪疊加法將海浪視為一個平穩(wěn)的隨機(jī)過程，認(rèn)為其由多個不同周期和隨機(jī)初相位的余弦波疊加而成[4]。

針對水下拖纜，采用集中質(zhì)量法，在Huang[5]和王飛[2]的研究基礎(chǔ)上，利用線性波浪疊加法和譜分析原理，基于海浪P-M譜，將一組不同頻率的組成波疊加起來構(gòu)成波浪運(yùn)動模型，從而在水下拖纜的運(yùn)動模型中成功導(dǎo)入不規(guī)則波理論。通過仿真計算得到拖纜的偏移量和張力變化，為拖纜的誘餌模擬效果和水下航行器航行安全性評估提供數(shù)據(jù)支持。

1 拖纜動力學(xué)模型

1.1 控制方程

搭載拖纜的水下拖曳系統(tǒng)如圖1所示，取空間固定的系統(tǒng)坐標(biāo)系O-XYZ，將坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)置在水平面上，以此坐標(biāo)系為基準(zhǔn)，從尾部到拖點(diǎn)將拖纜離散為N段，共N+1個節(jié)點(diǎn)。

圖1 水下拖纜示意Fig. 1 Sketch of the towing cable

定義歐拉角為θ，φ為拖纜姿態(tài)角，對于其上任意第i個節(jié)點(diǎn)，采用牛頓運(yùn)動定律可以得到拖纜的控制方程：

(1)

(2)

式中：I為三階單位陣；l、σ、μ、ρ、k分別為節(jié)點(diǎn)長度、橫截面積、拖纜單位質(zhì)量、流體密度和附加質(zhì)量系數(shù)；下標(biāo)i+1/2為節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)i+1間對應(yīng)的物理量，下標(biāo)i-1/2的意義以此類推。

Fi表示作用于節(jié)點(diǎn)i上的所有外力，可表示為：

Fi=Ti+Bi+Gi+FDi+Fwi

(3)

式中：Ti、Bi、Gi、FDi、Fwi分別為作用在節(jié)點(diǎn)i上的張力、浮力、重力、流體阻力和波浪干擾力。以下對除波浪干擾力外的所有力列出計算模型，而波浪干擾力則根據(jù)譜分析原理推導(dǎo)出。

1) 張力

假設(shè)纜索形變在彈性范圍內(nèi)，由胡克定律，可得拖纜張力如下：

ΔTi=Ti+1/2-Ti-1/2

(4)

式中：E為彈性模量，τ為纜長方向的切向量。同理可得Ti-1/2，此處不再列出。

2) 浮力

(5)

3) 重力

Gi=mig

(6)

4) 流體阻力

采用Huang[5]、Ablow[6]等人的方法，將流體阻力取為節(jié)點(diǎn)兩側(cè)流體阻力一半的和，計算如下：

(7)

式中：d為拖纜直徑，U為流場速度，Cn和Cτ為拖纜的法向和切向阻力系數(shù)。

1.2 邊界條件

1) 拖曳端邊界條件

拖曳端邊界條件為運(yùn)動學(xué)的連續(xù)條件，無相對速率時與水下航行器的位置和速度始終一致，為：

(8)

式中：xs、ys、zs、us、vs、ws分別代表航行器在拖曳端的坐標(biāo)和速度，為對應(yīng)時間t的函數(shù)。

2) 自由端邊界條件

視無拖體的自由端為一節(jié)點(diǎn)，運(yùn)用式(1)的方程，有：

(9)

式中：

(10)

1.3 初始條件

(11)

式中所有右側(cè)量為已給定值，i=N為已給定的首端邊界條件。一般采用航行器以固定速度勻速直線航行時拖纜的穩(wěn)態(tài)解為初始條件。

2 基于P-M譜的不規(guī)則波模型構(gòu)建

為簡化討論過程，探討的波浪模型為一階深水Stokes波模型， 假設(shè)拖纜處于無限水深的環(huán)境下，則一階深水進(jìn)行波速度勢方程為：

(12)

式中：A為波幅；ω為波浪的圓頻率，由色散關(guān)系ω2=gk可得；g為重力加速度；k為波浪的波數(shù)，k=2π/L；L為波長；lw為波浪傳播方向上的一維坐標(biāo)，有：

lw=xsinα+ycosα

(13)

式中：α為浪向角，為波的傳播方向與y軸之間的夾角。

海浪運(yùn)動是一種復(fù)雜的隨機(jī)過程，以確定的函數(shù)來描述是非常困難的，譜是描述復(fù)雜海浪的有效手段，目前常用的研究方法是利用譜以隨機(jī)過程來描述海浪。采用Pierson和Moscowitz[7-8]的海浪P-M譜對海浪進(jìn)行分析，譜密度公式如下：

(14)

式中：U代表離海平面19.5 m處的風(fēng)速。

P-M譜的極值頻率為：

(15)

對應(yīng)平均周期為：

(16)

采用線性波浪疊加法進(jìn)行研究，由文獻(xiàn)[9]，式(12)疊加波的速度勢為：

作為縣級城市，揚(yáng)中市智慧城市建設(shè)不能盲目跟風(fēng)，必須從自身實(shí)際特點(diǎn)出發(fā)，以實(shí)際發(fā)展需求為導(dǎo)向，進(jìn)行智慧城市某一領(lǐng)域的重點(diǎn)建設(shè)，打造出“智慧揚(yáng)中”的特色。作為全國聞名的“工程電氣島”和“新能源產(chǎn)業(yè)島”，揚(yáng)中電力電氣產(chǎn)業(yè)基地是江蘇省首批特色產(chǎn)業(yè)基地。近年來揚(yáng)中正努力實(shí)現(xiàn)由電力電氣產(chǎn)業(yè)基地向智能電氣產(chǎn)業(yè)基地的跨越，智慧電氣小鎮(zhèn)建設(shè)也取得了重大進(jìn)展，接下來揚(yáng)中應(yīng)著力打造高水平的智慧電氣特色小鎮(zhèn)，以智慧產(chǎn)業(yè)推進(jìn)揚(yáng)中智慧城市建設(shè)進(jìn)程。

(17)

式中：下角標(biāo)n代表第n個組成波的相關(guān)特征值，ε為介于0到2π之間的隨機(jī)相位，M為波浪總數(shù)。

以極值頻率ω0為中心，把頻率范圍劃分成M個區(qū)間，間距為Δωn=ωn-ωn-1，?。?/p>

(18)

則波幅An可表示為：

(19)

式中：kn根據(jù)色散關(guān)系可得，εn由計算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)(每次不同)可得。

由以上過程，可得由一組疊加波構(gòu)成的不規(guī)則波，其速度勢如式(17)所示，略去海流影響，該波浪引起的流場速度uw和加速度aw可表示為：

(20)

改寫為標(biāo)量形式，有：

(21)

(22)

(23)

(24)

參考Morison公式，可認(rèn)為受流場加速度的影響，拖纜在水中會受到兩種作用力：一是流體加速度形成的壓力梯度所產(chǎn)生的作用力，另一部分是由相對加速度引起的慣性力。波浪產(chǎn)生的阻力部分以海流形式并入流體阻力中計算，則流場加速度對拖纜的作用力可表示為：

(25)

將式(25)代入式(3)中，即可進(jìn)行數(shù)值求解。

3 仿真結(jié)果與分析

3.1 數(shù)值求解

通過聯(lián)立控制方程(1)和邊界條件(9)、(10)，以及速度的微分定義v=dx/dt可得到完整的一階微分方程組，共有6N個方程：

(26)

采用的算例參數(shù)如表1所示。

表1 拖纜參數(shù)Tab. 1 Parameters of towing cable

引導(dǎo)纜和拖纜的附加質(zhì)量系數(shù)取1.0，離散為130段，即Δs取1 m，依照穩(wěn)定條件，時間步長Δt取為1 ms。針對4、5、6級三種復(fù)雜海況環(huán)境對應(yīng)的海面征象，選取蒲福風(fēng)級表作為海浪等級的參考依據(jù)，可得出相對應(yīng)的海面風(fēng)級[11]，如表2所示。

表2 蒲福風(fēng)級表Tab. 2 Beaufort wind scale

海面風(fēng)速U分別取各級海況對應(yīng)風(fēng)速的最大值，波浪總數(shù)M=200，航行器設(shè)置為水下15 m深處，航速vy=2 m/s。各級海況下風(fēng)速和不規(guī)則波的計算參數(shù)如表3所示。

表3 各級海況下不規(guī)則波計算參數(shù)Tab. 3 Calculating parameters of irregular waves under various sea conditions

3.2 拖纜的穩(wěn)態(tài)解

圖2所示為航行器在航速為2 m/s航行時，拖纜的穩(wěn)態(tài)纜型和拖曳端張力曲線，由仿真結(jié)果可知，尾部拖纜穩(wěn)定在z=-15.352 3 m處，拖曳端處張力T=352.193 9 N。

圖2 穩(wěn)態(tài)纜形和拖曳端張力曲線Fig. 2 Stable cable shape and tension curve of towline

3.3 拖纜在不同海況下數(shù)值解

將拖纜的穩(wěn)態(tài)解作為初始條件，分別對三種海況下拖纜的形狀和拖曳端張力進(jìn)行仿真。仿真結(jié)果表明：隨著海況等級的提高，疊加波的頻率范圍逐漸降低，拖纜的垂向振動偏移量明顯加大，且其波動周期接近不規(guī)則波的平均周期T0，相比4級海況，5級、6級海況下偏移量最大值分別增大117.14%和171.43%；同樣，拖曳端張力亦隨著海況等級的提高，在原穩(wěn)定值附近的波動變化也明顯加大，波動周期亦接近不規(guī)則波的平均周期，相比4級海況，5級、6級海況下張力最大值分別增大2.1%和6.85%。從整體而言，海況等級越高，拖纜和張力的不穩(wěn)定性越大，其波動周期也越大，這一點(diǎn)符合日常觀察經(jīng)驗(yàn)。

下面僅給出4級、5級、6級三種海況下，浪向角為0°時，時間t在450～500 s區(qū)間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定后，拖纜自由端(i=0)相對穩(wěn)態(tài)解的垂向偏移量變化曲線和拖曳端(i=N-1/2)的張力變化曲線，如圖3、圖4、圖5所示。

圖3 4級海況下垂向偏移量(節(jié)點(diǎn)i=0，時間450～500 s)和拖點(diǎn)處張力變化曲線Fig. 3 Vertical offset of grade 4 sea condition(Node i=0,time 450～500 s) and tension curve at drag point

圖4 5級海況下垂向偏移量(節(jié)點(diǎn)i=0，時間450～500 s)和拖點(diǎn)處張力變化曲線Fig. 4 Vertical offset of grade 5 sea condition(Node i=0,time 450～500 s) and tension curve at drag point

圖5 6級海況下垂向偏移量(節(jié)點(diǎn)i=0，時間450～500 s)和拖點(diǎn)處張力變化曲線Fig. 5 Vertical offset of grade 6 sea condition(Node i=0,time 450～500 s) and tension curve at drag point

3.4 拖纜在不同浪向角下的數(shù)值解

海況等級取5級，浪向角分別取0°、15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、165°、180°，對拖纜在不同浪向角下的形狀和拖曳端張力進(jìn)行數(shù)值仿真。仿真結(jié)果表明：在不規(guī)則波的作用下，拖纜以接近波的平均周期T0做近似簡諧振動；在橫向和垂向均產(chǎn)生一個偏移量，橫向偏移在浪向角為75°和105°附近時最大，在0°和180°時最小，均為0 m；垂向偏移在0°、15°、165°、180°附近時最大，在90°附近時最??；拖曳端張力在45°和135°附近波動最大，在90°附近波動最小；就整體而言，拖曳端張力始終在穩(wěn)定值附近波動，其波動周期同樣接近不規(guī)則疊加波的均值T0。

下面給出不同浪向角下，時間t在450～500 s的區(qū)間內(nèi)基本達(dá)到穩(wěn)定且上浮速度較慢后，拖纜自由端(i=0)相對穩(wěn)態(tài)解的橫向和垂向偏移量變化曲線和拖點(diǎn)(i=N-1/2)的張力變化曲線，如圖6、圖7所示。

圖6 不同浪向角下拖纜自由端運(yùn)動曲線Fig. 6 Motion curve of free end of towing cable at different wave direction angles

圖7 不同浪向角拖點(diǎn)處張力變化曲線Fig. 7 Tension curve at drag point at different wave direction angles

4 結(jié) 語

1) 通過集中質(zhì)量法和譜分析理論建立了水下拖纜在復(fù)雜海況下的動力學(xué)模型，針對實(shí)例進(jìn)行了仿真計算。結(jié)果顯示拖纜在復(fù)雜海況的不規(guī)則波作用下，會產(chǎn)生一定的垂向偏移量，總體會有上??；隨著海況等級的增加，疊加波的頻率范圍逐漸降低，纜繩張力的波動也會更加劇烈，且垂向偏移量和張力的波動周期也會增加，總體接近于疊加波的平均周期。

2) 通過對不規(guī)則波作用下不同浪向角的拖纜仿真計算，發(fā)現(xiàn)其波動規(guī)律與規(guī)則波作用下類似，但也具有不規(guī)則波的特點(diǎn)，從整體上看做近似的簡諧振動，且波動周期同樣接近疊加波的平均周期。