陳偉斌 張啟兆

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容。解析幾何的核心觀點(diǎn)就是恰當(dāng)運(yùn)用代數(shù)的方法解決幾何問題，基本思想是數(shù)形結(jié)合思想，核心方法是坐標(biāo)法。數(shù)形結(jié)合思想和坐標(biāo)法是統(tǒng)領(lǐng)全局的，解析幾何就是在坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，用代數(shù)的方法研究幾何問題的一門學(xué)科。同學(xué)們在復(fù)習(xí)過程中要注意積累解決解析幾何的基本問題及典型問題的常用方法、技巧，提高解題能力，確保復(fù)習(xí)效果。

一，存在性問題

解析幾何中探究存在性問題實質(zhì)上是探索結(jié)論的開放性問題，是在一定的條件下判斷某種數(shù)學(xué)對象是否存在的問題，它有結(jié)論存在和結(jié)論不存在兩種情形，解答這類問題，一般先對結(jié)論作肯定存在的假設(shè)，然后由此出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理論證。若導(dǎo)出矛盾，則說明先前假設(shè)錯誤;若推出合理的結(jié)論，則說明先前假設(shè)正確，由此得出問題的結(jié)論，“假設(shè)推證結(jié)論”是解答此類問題的三個步驟。

評注：（l）已知橢圓中的某些參數(shù)求橢圓方程是常見題型，因為橢圓中三個參數(shù)a，b，c三者之間已經(jīng)有了關(guān)系a₂=b₂+c₂，所以只要再給出兩個條件就可以解出方程，若已知離心率，常見的處理辦法就是利用離心率減少變量，即把a(bǔ)，b，c、都用一個變量來表示，比如這道題目就可得到a=2c，b=√3c。

（2）對于一道綜合題，要能認(rèn)真審題，發(fā)現(xiàn)其中隱含的條件，比如題目中的PF⊥x軸，這些隱含條件有時就是解決問題的關(guān)鍵點(diǎn)。該題涉及了解析幾何中常見的兩種處理辦法，已知直線與橢圓的一個交點(diǎn)，可結(jié)合韋達(dá)定理求另一個交點(diǎn)，以及利用對稱性用-k代替k得到另一個交點(diǎn)。在求k時，把A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化成斜率來運(yùn)算也是簡化計算的一個技巧，若寫出AB的方程，再利用過點(diǎn)F求k就比較煩瑣了。

（3）該小題中的兩種不同的思路，其實都是在抓整個圖形的關(guān)鍵元素，關(guān)鍵元素就是指這個元素定下后，整個圖形也就定下了，解法一抓的關(guān)鍵元素就是A，B中的點(diǎn)，解法二抓的關(guān)鍵元素就是AB的斜率，然后把所有變量都由這個元素表示，這個思想和向量中的基底思想有點(diǎn)類似。

二、定點(diǎn)、定值問題

解析幾何中的定值問題是指某些幾何量（線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等）的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等和題曰中的參數(shù)無關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個確定的值。

解析幾何中的定點(diǎn)、定值問題的解法的一般規(guī)律：（l）定點(diǎn)問題：要探究直線或者網(wǎng)是否過定點(diǎn)，通常有兩種策略，策略一：首先要表示出直線或者網(wǎng)的方程，這就需要恰當(dāng)設(shè)好變量，選擇合適的路徑進(jìn)行求解，而過定點(diǎn)就是要與變量無關(guān)，一般情況下利用系數(shù)為0就能解決問題;策略二：先通過特殊位置的圖形進(jìn)行猜測，猜出定點(diǎn)，再證明。（2）定值問題：主要是通過化簡求值得到，只要恰當(dāng)設(shè)好變量，合理進(jìn)行運(yùn)算，一般都能解決，得到的結(jié)果要通過特殊值進(jìn)行檢驗，解析幾何中的設(shè)法主要就是設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)或者設(shè)直線的斜率，兩種設(shè)法的本質(zhì)是一樣的，在不同的題目里各有優(yōu)勢，我們要在平常解題過程中認(rèn)真總結(jié)，解題之前一定要通過比較選擇最適合的解法。

評注：（l）求定值問題常見的方法有兩種：一是從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān);二是直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值。

（2）在第②小題中，設(shè)直線l¹的方程為y-y⁰=k¹（x-x⁰），換元：記t=k¹y⁰-x⁰，則直線l1的方程可優(yōu)化為y=k¹x+t，從而優(yōu)化解題過程。

三，與面積有關(guān)的問題

解析幾何中與面積相關(guān)問題的解題思路：（l）根據(jù)題曰條件確定所運(yùn)用的面積公式;（2）不規(guī)則圖形的面積問題需要割補(bǔ)，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的規(guī)則圖形;（3）注意運(yùn)用坐標(biāo)的幾何意義;（4）有些面積問題可通過幾何性質(zhì)去處理。

分析：（l）由于本題沒有給圖，所以在讀題時應(yīng)該在草稿紙上先畫個圖（如圖2），再從目標(biāo)出發(fā)：要求△OBC的面積的最大值，可以建立日標(biāo)函數(shù)，那么以△OBC的哪一條邊為底邊比較好呢？結(jié)合圖形和已知條件，選擇合適的解題路徑。在△OBC中，OB的長度為定值，故以O(shè)B為底邊。第（l）小題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)C到直線OB的距離的最大值，于是有兩種解法。

（2）要求當(dāng)△OBC的面積最大時，直線l的方程，通性通法是設(shè)出直線l的方程，然后把△OBC的面積表示出來，即建立目標(biāo)函數(shù)，再去求△OBC面積的最大值。結(jié)合圖形（如圖3）和已知條件B（x¹，y¹），C（x²，y²），且3Y¹+y²=0，選擇怎樣的解題路徑呢？用割補(bǔ)法，將△OBC的面積轉(zhuǎn)化為△BAO與△CAO的面積之差，而在計算這兩個三角形的面積時均以AO為底邊，因此巧設(shè)直線l的方程為x=my+n，用m，n表示出△OBC的面積，求出△OBC的面積最大時m的值，即可解決問題。

評注：第（l）小題如果以BC為底邊去求△OBC面積的最大值，也可以解決問題，但運(yùn)算稍微復(fù)雜一些，而且要討論直線BC的斜率是否存在，請同學(xué)們試一試。第（2）小題采用割補(bǔ)法，并利用直線的橫截距和兩個交點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示三角形面積，使問題得到簡捷解答，這種方法是解有關(guān)橢圓中三角形面積的最大值問題的常用方法。那么，是否可以利用直線的縱截距和兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示三角形面積呢？答案是肯定的，同學(xué)們不妨試一試。

解析幾何中的運(yùn)算往往比較復(fù)雜，因而解題需要先規(guī)劃，認(rèn)真分析題目，觀察已知和未知，制定合理運(yùn)算程序，選擇有效策略，認(rèn)真分析、觀察解答過程中的每一步及題曰要求，便可施以技巧，從而優(yōu)化解題方法，簡化解幾運(yùn)算，提高思維品質(zhì)，使做題達(dá)到事半功倍之功效。

（責(zé)任編輯 王福華）