曹如祥

摘要：數(shù)學(xué)作業(yè)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、提升數(shù)學(xué)能力必不可少的一項(xiàng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，也是引導(dǎo)學(xué)生課前先學(xué)，驅(qū)動(dòng)學(xué)生課中優(yōu)學(xué)，推動(dòng)學(xué)生課后再學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，因而如何優(yōu)化作業(yè)設(shè)計(jì)，助力學(xué)生更加有效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，進(jìn)而提升能力和素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)作業(yè);作業(yè)設(shè)計(jì);個(gè)性學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)作業(yè)是由教師設(shè)計(jì)、學(xué)生自主完成的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，一般可分三類：閱讀作業(yè)、口頭和書面作業(yè)、實(shí)習(xí)作業(yè)。數(shù)學(xué)作業(yè)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、提升數(shù)學(xué)能力必不可少的一項(xiàng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，也是引導(dǎo)學(xué)生課前先學(xué)，驅(qū)動(dòng)學(xué)生課中優(yōu)學(xué)，推動(dòng)學(xué)生課后再學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，因而如何優(yōu)化作業(yè)設(shè)計(jì)，助力學(xué)生更加有效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，進(jìn)而提升能力和素養(yǎng)，是當(dāng)前數(shù)學(xué)老師必須直面的一個(gè)重要問題。本文結(jié)合筆者多年實(shí)踐，談?wù)勔恍┳龇ā?/p>

一、 優(yōu)化課前作業(yè)設(shè)計(jì)，誘發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情

教育理論認(rèn)為設(shè)計(jì)合理的問題，創(chuàng)設(shè)適量的作業(yè)能激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)欲望，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在動(dòng)力，讓他們積極主動(dòng)地參與到知識的發(fā)生、發(fā)展的探究中去，體會(huì)數(shù)學(xué)源于生活的道理。

在設(shè)計(jì)課前作業(yè)時(shí)，應(yīng)遵循以下原則：

（一）生活、趣味性

數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活。新課程需要科學(xué)世界向生活世界的回歸，強(qiáng)調(diào)情境創(chuàng)設(shè)的生活性，所以，要注重學(xué)生的生活實(shí)際，要發(fā)現(xiàn)、挖掘?qū)W生的日常生活中的資源。課前作業(yè)是對上課基本知識的提前了解，這就需要學(xué)生對知識點(diǎn)有興趣，如果能把課前作業(yè)與日常生活相聯(lián)系，無疑是一種好辦法。

案例1：學(xué)習(xí)二分法時(shí)，可設(shè)計(jì)如下一些作業(yè)：

①一條長為100km的供油線路中有一處出現(xiàn)故障，如何迅速查出故障所在？要把故障可能發(fā)生的范圍縮小到50m～100m左右，要檢查多少次？“故障”又怎樣查出呢？若要求誤差不超過1m，要檢查幾次？

②如何將x0所在的區(qū)間盡量縮??？x0所在的區(qū)間縮小到什么程度為止呢？進(jìn)一步回答下列問題：什么叫二分法？用二分法求方程近似解的步驟是什么？

通過創(chuàng)設(shè)如上與生活相關(guān)的作業(yè)，可以極大提高他們學(xué)習(xí)二分法的興趣，進(jìn)而帶動(dòng)他們進(jìn)行數(shù)學(xué)思考。

（二）通俗、簡明性

所列的問題要通俗易懂，簡明扼要，有利于學(xué)生讀取問題中的基本信息和問題的解決。抽象的問題要具體化，復(fù)雜的問題要簡明化，深?yuàn)W的問題要簡單化。

案例2：在學(xué)習(xí)“復(fù)數(shù)”時(shí)，可設(shè)計(jì)下一些作業(yè)：

方程x2=-1，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解，但在人類的生活、生產(chǎn)和科學(xué)研究中又常見，怎樣解決這個(gè)問題？

通過回憶數(shù)的發(fā)展、增強(qiáng)研究數(shù)的發(fā)展規(guī)律的探索的認(rèn)識，對數(shù)的發(fā)展增強(qiáng)了興趣和記憶。

（三）沖突、針對性

創(chuàng)設(shè)課前作業(yè)時(shí)，應(yīng)該圍繞學(xué)習(xí)目標(biāo)，選擇有針對性、對學(xué)生有認(rèn)識沖突的問題進(jìn)行作業(yè)設(shè)計(jì)，能使學(xué)生在自主探索、合作交流的過程中初步了解數(shù)學(xué)知識和技能，使課前預(yù)習(xí)更具實(shí)效。優(yōu)化預(yù)習(xí)作業(yè)設(shè)計(jì)，一定要精心備課，精研教材，不能讓學(xué)生無章可循。

案例3：學(xué)習(xí)集合的表示法時(shí)，提出以下作業(yè)：

1. 在初中我們曾用0，1，2，3…表示自然數(shù)，但是在拋物線y=2x-1上的點(diǎn)的集合、實(shí)數(shù)集等又怎樣表示呢？

2. 在初中人們常說不等式-2x-1≥0的解集為 x≤- 1 2 ，但在高中這樣的說法是不恰當(dāng)?shù)模烤箲?yīng)該如何表示這個(gè)集合呢？

進(jìn)一步回答下列問題作業(yè)：

3. 什么是列舉法？舉例說明如何用列舉法表示集合？

4. 什么是描述法？舉例說明如何用描述法表示集合？

通過初高中的對比，讓學(xué)生對集合的學(xué)習(xí)產(chǎn)生濃厚的興趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的效果。

二、 優(yōu)化課中作業(yè)設(shè)計(jì)，驅(qū)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)探究

為了不斷激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，引導(dǎo)學(xué)生將學(xué)習(xí)深入推進(jìn)，較充分體現(xiàn)課改所倡導(dǎo)的學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性、探究性，教學(xué)時(shí)“隨時(shí)隨地”適時(shí)設(shè)計(jì)出“大、小”有層次的問題、作業(yè)，引導(dǎo)學(xué)生一步一步深入地理解、探究，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題，建構(gòu)知識體系，發(fā)展能力。在設(shè)計(jì)課中作業(yè)時(shí)，應(yīng)遵循的原則有：探索性、規(guī)律性、層次性、小專題型、適用性、嚴(yán)謹(jǐn)性和思想性。①探索性指所設(shè)計(jì)的問題和作業(yè)要有一定的內(nèi)含，沒有現(xiàn)成的答案，需要去分析探索的;②規(guī)律性指所設(shè)計(jì)的問題和作業(yè)不僅要符合學(xué)生的認(rèn)知、發(fā)展規(guī)律，也要符合出題規(guī)律;③層次性指所設(shè)計(jì)的問題和作業(yè)要由易到難的梯度，使不同層層次的學(xué)生都有收獲;④小專題型指所設(shè)計(jì)的問題和作業(yè)應(yīng)體現(xiàn)小專題的形式出現(xiàn)，才使零碎的問題和作業(yè)有一定的系統(tǒng)性;⑤適用性指所設(shè)計(jì)的問題和作業(yè)能適合全體學(xué)生的實(shí)際水平，以保證使絕大多數(shù)學(xué)生在課堂上處于參與狀態(tài);⑥嚴(yán)謹(jǐn)性指所設(shè)計(jì)的問題和作業(yè)在一些細(xì)節(jié)上故意犯錯(cuò)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，再共同糾錯(cuò)，加深對問題的認(rèn)識，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科態(tài)度;⑦思想性指所設(shè)計(jì)的問題和作業(yè)不僅要體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思想方法，也要體現(xiàn)人生的價(jià)值意義，體現(xiàn)情感態(tài)度、價(jià)值觀。

案例4：在學(xué)習(xí)選修2-3《二項(xiàng)式定理的證明》的作業(yè)

問題1. （a+b）2展開式中各項(xiàng)是怎樣構(gòu)成的？展開式共有幾項(xiàng)？

問題2. 計(jì)算（a+b）3，能否回答下列：

①合并同類項(xiàng)之前展開式有多少項(xiàng)？

②各項(xiàng)的系數(shù)為多少？

③從上述三個(gè)問題，你能否得出（a+b）3的展開式？

問題3. 仿照上述過程，請你推導(dǎo)（a+b）4的展開式。

問題4. 仿照上述過程，請你推導(dǎo)（a+b）n的展開式。你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？

問題5.

（1）觀察“楊輝三角”發(fā)現(xiàn)規(guī)律

①第一行中各數(shù)之和為多少？第二、三、四、五行呢？由此你能得出怎樣的結(jié)論？

②觀察第2行中2與第1行各數(shù)之間什么關(guān)系？

第3行中3與第2行各數(shù)之間什么關(guān)系？第4行中的4、6與第3行各數(shù)之間有什么關(guān)系？由此你能得出怎樣的結(jié)論？

（2）楊輝三角的特點(diǎn)

①在同一行中，每行兩端都是1，與這兩個(gè)1等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等。

②在相鄰的兩行中，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和。融入數(shù)學(xué)文化，進(jìn)行德育教育。

問題6. 觀察（a+b）n的展開式，總結(jié)二項(xiàng)式定理的特點(diǎn)？

①二項(xiàng)展開式共有n+1項(xiàng)。

②各項(xiàng)中a的指數(shù)從n起依次減小1，到0為此，各項(xiàng)中b的指數(shù)從0起依次增加1，到n為此二項(xiàng)式系數(shù)Cn0，Cn1，Cn2，…，Cnn。

③二項(xiàng)式系數(shù)對稱性。

④二項(xiàng)式系數(shù)增減性與最大值。

⑤各二項(xiàng)式系數(shù)的和2n。

通過楊輝三角的學(xué)習(xí)理解二項(xiàng)式定理的理論依據(jù)。

問題7. 求（1+0.01）100近似值。

情境回歸，讓學(xué)生知道知識的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。通過（1+0.01）100≈2.7，教育學(xué)生“每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，一百天后進(jìn)步了近3倍！”，理解每天努力的重要意義。

三、 優(yōu)化課后作業(yè)設(shè)計(jì)，促進(jìn)學(xué)生個(gè)性學(xué)習(xí)

課后作業(yè)是學(xué)生鞏固課堂知識，提高能力的有效途徑。在設(shè)計(jì)課后作業(yè)時(shí)，應(yīng)遵循的原則：①基礎(chǔ)性與多樣性相結(jié)合。學(xué)生在接受能力方面存在著個(gè)體差異。重視學(xué)生的個(gè)性發(fā)展，針對學(xué)生學(xué)情，設(shè)計(jì)不同層次的作業(yè)，以滿足不同學(xué)生的需要，讓中等以上的學(xué)生持續(xù)保持學(xué)習(xí)的勁頭，而相對落后的學(xué)生也能看到自己的進(jìn)步，樹立自信。②針對性與實(shí)效性相結(jié)合，即要求作業(yè)要針對學(xué)習(xí)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，學(xué)生學(xué)習(xí)中的共性進(jìn)行設(shè)計(jì)，并且及時(shí)布置。布置作業(yè)務(wù)必重視針對性與實(shí)效性相結(jié)合，才能真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平。③特殊性與規(guī)律性相結(jié)合，在作業(yè)的布置過程中，注意作業(yè)的常見問題和處理問題的一般方法與特殊方法。④易錯(cuò)、易混與科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性相結(jié)合。通過作業(yè)中易錯(cuò)題、易混、疑難題的練習(xí)設(shè)計(jì)不僅讓學(xué)生進(jìn)一步掌握了本單元的知識，而且提高了學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣。同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)性的數(shù)學(xué)思維，科學(xué)的學(xué)科態(tài)度。

案例5：在《必修5》基本不等式的教學(xué)后，可布置以下分層作業(yè)：

（一）作業(yè)（A層）必做題

①下列結(jié)論正確的（? ）

A. 當(dāng)x>0且x≠1時(shí)，lnx+1lnx≥2

B. 當(dāng)x>0時(shí)，+1x≥2

C. 當(dāng)x>5時(shí)，x+1x的最小值是2

D. 當(dāng)x<0時(shí)，x+1x無最大值

②求函數(shù)f（x）=x+1x-4（x>4）的最小值。

③已知0

（二）作業(yè)（B層）選做題

①已知x>0，y>0，x+y=1，求2x+4y的最小值。

②已知x+3y-2=0，則關(guān)于3x+27y的說法正確的是 （? ）

A. 有最大值6

B. 有最小值2 3

C. 有最小值6

D. 有最大值2 3

③已知x>2，求函數(shù)y=x2+4x+2 x的最小值。

（三）作業(yè)（C層）課外思考題

①若對任意x>0，x+1 x2+3x+3≤2a-1恒成立，求a的取值范圍。

②已知x>0，y>0，且不等式1 a+1 b+k-2 a+b≥0恒成立，求k-1的最小值。

③設(shè)x，y∈R，xy≠0，則x2+1 y21 x2+4y2的最小值為。

這種“自選式”作業(yè)，減輕了學(xué)生負(fù)擔(dān)，保證了全體學(xué)生在不同目標(biāo)下學(xué)有所得。從作業(yè)完成情況來看，上交的數(shù)量更多了，差生的解題正確率也明顯提高。

四、 優(yōu)化復(fù)習(xí)作業(yè)設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生反思學(xué)習(xí)

艾賓浩斯遺忘曲線告訴我們，在學(xué)習(xí)中的遺忘是有規(guī)律的，如不抓緊復(fù)習(xí)，課內(nèi)外為課堂教學(xué)的努力就降低了上課的效率，所以在一定階段后要通過單元作業(yè)進(jìn)行鞏固學(xué)習(xí)，根據(jù)單元難點(diǎn)、重點(diǎn)、高考地位、常見題型，單元學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的問題和學(xué)生學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的共性問題，布置階段性的單元作業(yè)，驅(qū)動(dòng)能對問題進(jìn)行較高水平探究和變換，能對問題進(jìn)行較高水平歸納和總結(jié)，驅(qū)動(dòng)學(xué)生自我反思，自我提高，進(jìn)一步提升課堂效益。

案例6：如在《必修5》二次不等式的教學(xué)過后一段時(shí)間里，可設(shè)計(jì)以下單元作業(yè)：

1. 解不等式：①2x2-x-1≥0;②-x2-2x+8>0;③（x2-2）lnx>0

2. 不等式組x2-4x+3<0x2-6x+8<0的解集是不等式2x2-9x+a-1<0的解集的子集，求a的取值范圍。

3. 如果關(guān)于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|xn}（m0。

4. 若不等式2x-1>m（x2-1）對滿足|m|≤2的所有m都成立，求x的范圍。

5. 解關(guān)于x的不等式x x-1<1-a。

6. 設(shè)函數(shù)f（x）=|x2-6x+5|。

①在區(qū)間[-2，6]上畫出函數(shù)f（x）的圖象;

②當(dāng)k>2時(shí)，證明在區(qū)間[-1，5]上，y=kx+3k的圖象位于函數(shù)f（x）圖象上方。

這種遞進(jìn)式題組呈現(xiàn)給學(xué)生，為學(xué)生進(jìn)行有目的、有方向的縱向探討或橫向思考創(chuàng)造機(jī)會(huì)。最終達(dá)到鞏固、提升單元教學(xué)要求的目的。

以問題為切入點(diǎn)來創(chuàng)設(shè)作業(yè)，以作業(yè)為載體，來激發(fā)學(xué)生的求知欲，旨在提高課堂效益，培養(yǎng)解決問題的實(shí)踐能力，驅(qū)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，切實(shí)解決高效課堂理念融入學(xué)科教與學(xué)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中獲得個(gè)性發(fā)展，全面發(fā)展。

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