馬萍萍

[摘 ?要] 在中學(xué)數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)備考教學(xué)中需要兼顧知識強(qiáng)化與思想提升，引導(dǎo)學(xué)生從知識聯(lián)系點(diǎn)出發(fā)來構(gòu)建知識體系，同時(shí)掌握解題的思想方法，文章以二次函數(shù)內(nèi)容復(fù)習(xí)為例，探索復(fù)習(xí)教學(xué)的三重境.

[關(guān)鍵詞] 二次函數(shù);復(fù)習(xí);教學(xué);基礎(chǔ);綜合;思想

問題分析

二次函數(shù)一直都是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重難點(diǎn)，從中考試題來看，二次函數(shù)占有較大的分值，相比其他章節(jié)，問題分析和過程計(jì)算難度都更高，學(xué)生得分率較低;而從教學(xué)內(nèi)容來看，二次函數(shù)的性質(zhì)和圖像考查較為集中，題型變化多樣，學(xué)生在分析時(shí)很容易陷入誤區(qū). 因此在實(shí)際教學(xué)中需要教師結(jié)合二次函數(shù)的核心內(nèi)容來逐步引導(dǎo)，筆者認(rèn)為促進(jìn)學(xué)生知識與能力的雙重提升應(yīng)是二次函數(shù)復(fù)習(xí)教學(xué)的核心目標(biāo)，需要從三個(gè)層面來進(jìn)行復(fù)習(xí)指導(dǎo)，下面通過現(xiàn)實(shí)案例對其逐個(gè)探析.

境界之思

二次函數(shù)復(fù)習(xí)教學(xué)的核心目標(biāo)應(yīng)是課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的落腳點(diǎn)，在復(fù)習(xí)中需要分三個(gè)階段來進(jìn)行教學(xué)指導(dǎo). 首先要引導(dǎo)學(xué)生掌握二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識，掌握求解問題的基本方法;其次開展知識融合，構(gòu)建完整的知識體系，掌握綜合題的突破思路;最后上升到思想層面，深刻理解思想方法在解題突破中的重要意義. 上述就是二次函數(shù)復(fù)習(xí)教學(xué)的三重境：基礎(chǔ)入手，知識整合，思想滲透. 采用引導(dǎo)遞進(jìn)的教學(xué)方式，引領(lǐng)學(xué)生從“基礎(chǔ)鞏固”過渡到“靈活變通”，最后上升到“思想提升”.

境界第一層：基礎(chǔ)入手，掌握定義性質(zhì)

二次函數(shù)復(fù)習(xí)教學(xué)中依然需要從基本的概念定義、定理性質(zhì)入手來開展，鞏固學(xué)生的基礎(chǔ)知識，包括二次函數(shù)的概念、結(jié)構(gòu)特征，方程的求法、特征方程與函數(shù)圖像之間的對照關(guān)系、圖像平移與方程變化等.

例1 ?（2019年湖南益陽市中考卷）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖1所示，下列結(jié)論：①ac<0，②b-2a<0，③b2-4ac<0，④a-b+c<0，其中正確的是（ ? ? ?）

A. ①② ? ? ? ? ?B. ①④

C. ②③ ? ? ? ? ?D. ②④

解析 ?教材中對于二次函數(shù)的解析式與圖像進(jìn)行了深入講解，因此使學(xué)生充分掌握兩者的對照關(guān)系是復(fù)習(xí)教學(xué)的重點(diǎn). 結(jié)合圖像分析解析式參數(shù)的關(guān)系一般需要從三點(diǎn)入手：一是關(guān)注圖像的開口方向;二是判斷二次函數(shù)所對應(yīng)方程的判別式的符號;三是根據(jù)圖像的交點(diǎn)、對稱軸提煉關(guān)系.

本題目中圖像的開口向下，顯然a<0. 與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，Δ=b2-4ac<0. 圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，顯然c>0，對稱軸- <-1，且當(dāng)x=-1時(shí)y>0，則a-b+c>0.

綜上，a<0，c>0，則ac<0，①正確;由對稱軸關(guān)系可得b-2a<0，則b-2a<0，②正確;根據(jù)判別式符號可直接確定③錯(cuò)誤;根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)可知a-b+c>0，故④錯(cuò)誤. 所以選A.

說明：從問題分析過程來看，教學(xué)中需要提升學(xué)生提取圖像信息的能力以及二次函數(shù)解析式的解讀能力，這是在基礎(chǔ)鞏固階段最為重要的內(nèi)容. 考慮到解析式與圖像的對應(yīng)內(nèi)容較為豐富，在教學(xué)中可以采用草圖繪制的方式，即給出某一二次函數(shù)的解析式，讓學(xué)生在直角坐標(biāo)系中繪制圖像的大致形狀和大概位置，從而增強(qiáng)學(xué)生的識圖、解式能力.

例2 ?（2019年浙江溫州市中考卷）已知二次函數(shù)y=x2-4x+2，關(guān)于該函數(shù)在-1≤x≤3的取值范圍，下列說法正確的是（ ? ? ?）

A. 有最大值-1，有最小值-2

B. 有最大值0，有最小值-1

C. 有最大值7，有最小值-1

D. 有最大值7，有最小值-2

解析 ?教材在講解二次函數(shù)圖像時(shí)對其單調(diào)性時(shí)進(jìn)行了深入的論述，并從取值范圍角度進(jìn)行了探索. 在復(fù)習(xí)該內(nèi)容時(shí)需要引導(dǎo)學(xué)生多角度加以分析，例如不等式、最值等. 本題分析在特定區(qū)間上的取值情形，需要分兩步進(jìn)行：第一步明確二次函數(shù)的單調(diào)性，第二步代入?yún)^(qū)間，結(jié)合圖像頂點(diǎn)加以判斷.

對二次函數(shù)進(jìn)行變形，可得y=（x-2）2-2，則其單調(diào)性為：當(dāng)x≤2時(shí)，y隨x單調(diào)遞減，當(dāng)x≥2時(shí)，y隨x單調(diào)遞增;故當(dāng)x=2時(shí)，y取得最小值-2. 所以在-1≤x≤3內(nèi)，函數(shù)值y有最小值-2，當(dāng)x=-1時(shí)，有最大值7，選項(xiàng)D正確.

說明：本題目是對二次函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，學(xué)習(xí)難點(diǎn)是無法將單調(diào)性與最值聯(lián)系在一起，這并不是學(xué)生的基礎(chǔ)知識不夠扎實(shí)，而是沒有培養(yǎng)學(xué)生從多角度來看待該知識點(diǎn). 教學(xué)中不僅應(yīng)結(jié)合函數(shù)的圖像來回顧二次函數(shù)的單調(diào)性，還應(yīng)從取值角度來對其加以解讀.

境界第二層：知識整合，理解知識聯(lián)系

二次函數(shù)復(fù)習(xí)教學(xué)的第二層是對知識的整合，這里指的是引導(dǎo)學(xué)生從全局把控教材內(nèi)容，將二次函數(shù)與教材的核心知識進(jìn)行整合，包括其他函數(shù)曲線，同時(shí)涉及不等式、方程、幾何圖形等知識內(nèi)容. 學(xué)生對知識聯(lián)系點(diǎn)一般把握不到位，此時(shí)就需要教師采用章節(jié)規(guī)劃、專題講解、框圖繪制、典例講評的方式幫助學(xué)生融合.

例3 ?如圖2所示，拋物線的解析式為y=ax2+bx，其經(jīng)過點(diǎn)B（1，-3），對稱軸為x=2，且拋物線與x軸的正半軸相交于點(diǎn)A，試回答下列問題.

（1）求拋物線的解析式;

（2）根據(jù)圖像直接寫出不等式ax2+bx≤0的解;

（3）若在平面坐標(biāo)系的第二象限內(nèi)的拋物線上恰好有一點(diǎn)P，使得PA⊥AB，試求△PAB的面積.

解析 ?平面幾何、不等式、二次函數(shù)均是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，在復(fù)習(xí)教學(xué)中需要對其進(jìn)行知識整合，依托圖像串聯(lián)解析式與不等式、幾何圖形與二次函數(shù)知識，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖像來轉(zhuǎn)化問題，利用函數(shù)性質(zhì)、不等式性質(zhì)和幾何性質(zhì)來加以突破.

本題目給出了拋物線的圖像，結(jié)合點(diǎn)B坐標(biāo)和對稱軸很容易就可以確定拋物線的解析式：y=x2-4x. 則不等式就為x2-4x≤0，解該不等式可以直接利用不等式的運(yùn)算法則，但根據(jù)圖像也可以直接寫出解，實(shí)際上就是指拋物線位于直線y=0上及其下方的x的取值范圍，顯然就是0≤x≤4這一段，因此不等式ax2+bx≤0的解就為0≤x≤4.

對于第（3）問則是三角形與拋物線的綜合，根據(jù)拋物線的解析式可求得點(diǎn)A（4，0），已知點(diǎn)B（1，-3），則AB=3 . 分別過點(diǎn)B和點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，如圖3. 由于BE=AE=3，則∠EAB=∠EBA=45°，結(jié)合PA⊥AB可得PF=AF. 設(shè)P（x，x2-4x），則PF=x2-4x，AF=4-x，由此解得x=-1或x=4（舍去），所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，5）. 根據(jù)點(diǎn)P和點(diǎn)A的坐標(biāo)可求得AP=5 ，所以△PAB的面積為S= AB·AP=15.

說明：本題目是一道以拋物線為背景的綜合題，主要考查二次函數(shù)、不等式、平面幾何等知識的綜合. 第一個(gè)知識點(diǎn)是利用二次函數(shù)的圖像來求解不等式，第二個(gè)知識點(diǎn)是結(jié)合拋物線與三角形的位置關(guān)系及函數(shù)解析式來求解三角形的面積. 兩大知識聯(lián)系點(diǎn)是復(fù)習(xí)階段需要學(xué)生重點(diǎn)關(guān)注的，教學(xué)中需要教師結(jié)合圖像來直觀呈現(xiàn)解題思路，利用相應(yīng)的模型來轉(zhuǎn)化求解.

境界第三層：思想滲透，重視數(shù)形結(jié)合思想

二次函數(shù)問題中常涉及代數(shù)運(yùn)算與圖像分析，實(shí)際上是數(shù)形結(jié)合思想在解析中的應(yīng)用體現(xiàn). 學(xué)生在解綜合題時(shí)很容易失去解題方向，而結(jié)合圖像分析則可以挖掘問題中的隱含信息，采用合理的方法技巧來簡化運(yùn)算過程，優(yōu)化解題. 這是因?yàn)閿?shù)形結(jié)合法既具有量化分析的優(yōu)點(diǎn)，又具有直觀呈現(xiàn)問題的優(yōu)勢，因此在教學(xué)中需要合理滲透數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生的解題思維.

例4 ?已知拋物線y=x2-2x-3與x軸相交于點(diǎn)A和B，與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，連接BC，點(diǎn)P是直線BC上的一個(gè)動點(diǎn)，分析是否存在使△PAD為等腰三角形的情形，若存在請求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解析 ?本題目是關(guān)于二次函數(shù)的動點(diǎn)問題，使用數(shù)形結(jié)合策略 “化動為靜”最為簡便. 使用“兩圓一線”的方法來大致確定點(diǎn)P的位置及個(gè)數(shù)，直線BC與兩圓有五個(gè)交點(diǎn)，則應(yīng)有五個(gè)解. 下面采用數(shù)形結(jié)合確定坐標(biāo).

根據(jù)題干信息可得點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），D（1，-4），則直線BC：y=x-3. 設(shè)點(diǎn)P（x，x-3），可得AD2=20，分以下三種情形加以討論.

①PA=AD，則（x+1）2+（x-3）2=20，求解可確定點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1+ ， -2），（1- ，-2- ）;

②PD=AD，同理可推得點(diǎn)P坐標(biāo)（3，0），（-3，-6）;

③PA=PD，可推得點(diǎn)P坐標(biāo)（2，-1）.

綜上滿足條件的點(diǎn)P有五個(gè)，坐標(biāo)為（1+ ， -2），（1- ，-2- ），（3，0），（-3，-6），（2，-1）.

說明：本題中采用“兩圓一線”的方法確立點(diǎn)P的位置及個(gè)數(shù)，具體求解時(shí)聯(lián)系點(diǎn)坐標(biāo)來表示線段長，根據(jù)不同的情況進(jìn)行分類討論，建立相應(yīng)的方程，這個(gè)過程是典型的數(shù)形結(jié)合過程. 數(shù)形轉(zhuǎn)化的過程中實(shí)現(xiàn)了問題的簡化，確保了答案的準(zhǔn)確.

寫在最后

復(fù)習(xí)備考階段需強(qiáng)化學(xué)生對二次函數(shù)的理解，提升解決綜合問題的能力，上述三重境是從核心知識強(qiáng)化、數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)層面提煉的，有助于學(xué)生融合章節(jié)知識，提升解題思維. 當(dāng)然在教學(xué)中需要根據(jù)學(xué)情來靈活施教，循序漸進(jìn)逐步引導(dǎo). 考慮到教學(xué)效果還與學(xué)生的理解能力有關(guān)，在教學(xué)中可根據(jù)學(xué)生的吸收情況針對性地設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)，使學(xué)生經(jīng)歷知識探究的過程.