陳兆緒

[摘 ?要] 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出：“要讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動，發(fā)展合情推理和初步演繹推理能力. ”其中，“類比法”是培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力的一種重要數(shù)學(xué)思想方法. 在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在運(yùn)用類比法的過程中學(xué)會發(fā)現(xiàn)、學(xué)會遷移、學(xué)會歸納，掌握解題技巧與方法，從而讓學(xué)生在類比中獲得新知識，在應(yīng)用類比中提升解題能力.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);類比思想;解題教學(xué);能力培養(yǎng)

所謂“類比法”，是指在學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識時(shí)，通過聯(lián)想與其性質(zhì)、特征相似的已有數(shù)學(xué)知識，利用新舊知識的相同點(diǎn)，利用處理已有知識的數(shù)學(xué)方法來獲得新知的一種特殊的處理方法. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，新概念、新定理、新性質(zhì)、新運(yùn)算規(guī)則等增加如潮，往往學(xué)生雖然做了大量的習(xí)題訓(xùn)練，但遇到新題型或題型變式，就會變得無從下手，因此，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比推理的方法來解決數(shù)學(xué)問題，無疑能讓復(fù)雜的問題簡單化、未知的問題已知化，學(xué)生的解題效率能得到極大程度的提升，有效促進(jìn)學(xué)生解題能力的發(fā)展.

指導(dǎo)學(xué)生在類比中歸納

“從特殊到一般”與“由一般到特殊”是人類認(rèn)識客觀世界的一個(gè)普遍規(guī)律. 人類對于知識的認(rèn)識并非是一蹴而就的，而是需要經(jīng)歷從具體到抽象、從特殊到一般、從感性認(rèn)識到理性認(rèn)知的螺旋式發(fā)展過程. 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)研究中常用的“類比法”集中體現(xiàn)了“從特殊到一般”的認(rèn)知規(guī)律. 歐拉說過：“類比是偉大的引路人. ”他的許多定理都是通過在類比中不斷地歸納總結(jié)而形成的. 在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，類比法是學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題思路的重要手段，甚至是發(fā)現(xiàn)新知識、新規(guī)律的重要手段. 事實(shí)上，對于一些比較復(fù)雜的、陌生的數(shù)學(xué)問題，往往要經(jīng)過多次類比、猜想、論證的過程，對于數(shù)學(xué)能力比較薄弱的初中生而言，要讓其靈活運(yùn)用類比法，還需要教師在解題教學(xué)過程中有意識地啟發(fā)與引導(dǎo)學(xué)生通過類比去思考、去學(xué)習(xí)、去歸納與總結(jié)，從而幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)解題規(guī)律.

例如，“折疊問題”是學(xué)生學(xué)習(xí)中的重難點(diǎn)，尤其是對于部分空間想象能力比較薄弱的學(xué)生而言，難以想象出折疊后圖形的形狀，從而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤或失敗. 因此，筆者采用了問題串的形式，讓學(xué)生通過對題型和問題的類比分析，掌握折疊問題的解題規(guī)律.

例1 如圖1所示，ABCD為長方形，E為CD邊上一點(diǎn)，連接AE，將長方形ABCD沿著直線AE折疊，其頂點(diǎn)D正好落在BC邊上的F點(diǎn). 已知AB=8，CE=3，求S .

例2 如圖2所示，在長方形ABCD中，已知CD=1，BC=，現(xiàn)將長方形ABDC沿著其對角線BD進(jìn)行折疊，其頂點(diǎn)C落在C′處，求S .

教學(xué)時(shí)，在學(xué)生尋找到解題方法后，引導(dǎo)學(xué)生比較例1和例2：

（1）在兩道例題求解過程中都用到了哪些知識點(diǎn)？

（2）通過比較例1和例2，你能得出什么規(guī)律？

（3）你能在上述認(rèn)知的基礎(chǔ)上解決例3嗎？

例3 如圖3所示，在矩形ABCD中，已知AB=6，BC=8，現(xiàn)將矩形ABCD沿著直線CE進(jìn)行折疊，恰好使得矩形頂點(diǎn)D落在對角線AC上的點(diǎn)F處.

（1）求EF的長度;

（2）求梯形ABCE的面積大小.

通過類比與歸納發(fā)現(xiàn)，在例1和例2的求解過程中，運(yùn)用了軸對稱、全等三角形、勾股定理、相似三角形、方程等相關(guān)知識. 在解決這類問題時(shí)，主要運(yùn)用三角形相似和直角三角形的勾股定理來構(gòu)造方程，綜合運(yùn)用了方程思想、轉(zhuǎn)化思想. 學(xué)生在掌握矩形折疊問題的常用方法及步驟技巧后，再運(yùn)用類比法來求解例3就會變得容易很多. 可見，運(yùn)用類比，可以讓學(xué)生在比較中發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律與方法，并能運(yùn)用這種方法來解決新的問題，有利于強(qiáng)化學(xué)生的解題能力.

指導(dǎo)學(xué)生在類比中遷移

所謂“類比遷移”是指學(xué)生運(yùn)用熟悉問題的解決方法去解決新問題的一種解題策略. 類比遷移主要包括類比源的選取和關(guān)系匹配兩個(gè)環(huán)節(jié)，其中任何一個(gè)環(huán)節(jié)出錯(cuò)，都會導(dǎo)致類比遷移出錯(cuò)，形成類比負(fù)遷移. 在類比遷移過程中，包括數(shù)學(xué)思想方法和解題方法的遷移. 為避免出現(xiàn)類比負(fù)遷移，教師應(yīng)采用靈活的方式方法，讓學(xué)生把握問題的本質(zhì)和數(shù)學(xué)的真諦，力爭讓學(xué)生在解題過程中少走彎路，提高解題效率，促進(jìn)學(xué)生解題能力的培養(yǎng).

例如，在有關(guān)“相似三角形”的解題教學(xué)中有這樣一道例題：

例4 如圖4所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=3，BC=7，∠ABC=60°，取BC上一點(diǎn)P，連接PA，取DC上點(diǎn)M，連接PM，使得∠APM=∠ABC.

（1）求AB的長度.

（2）在BC邊上是否存在一點(diǎn)P，使得=，若存在，求出BP的長度;若不存在，請說明理由.

學(xué)生在求解這道題目時(shí)，由于P點(diǎn)和M點(diǎn)都未知，很多學(xué)生感覺束手無策，不知道從何下手，這時(shí)筆者并未直接告訴學(xué)生解題思路，而是繼續(xù)給出了例5：

例5 如圖5所示，在等邊三角形ABC中，已知：∠APM=60°，BP=1，CM=，求三角形ABC的邊長.

對于例5筆者進(jìn)行了解題指導(dǎo)：

師：通過讀題，除了題目中給出的，你們還可以發(fā)現(xiàn)哪些條件？

生：AB=BC=AC，∠B=∠BAC=∠C=60°.

師：結(jié)合已知條件和圖形，你們覺得△ABP和△PCM有什么關(guān)系？

生：兩個(gè)三角形相似.

師：請說明你的理由.

生：因?yàn)椤螦PC=∠APM+∠MPC=60°+∠MPC，又∠APC=∠ABP+∠BAP=60°+∠BAP，所以∠MPC=∠BAP，又∠B=∠C=60°，所以，△ABP和△PCM相似.

師：非常不錯(cuò). 接下來怎么做呢？

生：根據(jù)相似三角形對應(yīng)線段成比例就能求出AB的長度.

師：非常好！那么，我們現(xiàn)在再來看看例4，你們是否有思路了呢？

生：例4就是將例5中的三角形改成了四邊形，以此類推，同樣可以得到△ABP和△PCM相似. 再根據(jù)相似三角形對應(yīng)線段成比例，也能求出AB的長度.

可見，在例4和例5的解題過程中都利用了相似三角形的判定和性質(zhì)，學(xué)生通過對例5中解題思路的分析，明確了這類題目的核心本質(zhì)，此時(shí)，再讓他們求解例4，學(xué)生運(yùn)用類比遷移的方法自然就會使得問題解決變得容易許多，大大提高了解題效率，為培養(yǎng)學(xué)生解題能力奠定了有利基礎(chǔ).

指導(dǎo)學(xué)生在類比中發(fā)現(xiàn)

所謂“類比發(fā)現(xiàn)”是指在解決數(shù)學(xué)問題過程中的思維表現(xiàn)在探求中發(fā)現(xiàn)問題，并按照相關(guān)問題的解決策略進(jìn)行求解的一種思維方法. 相比于類比歸納，類比發(fā)現(xiàn)的表現(xiàn)方向存在顯著差異. 類比發(fā)現(xiàn)是在原有數(shù)學(xué)問題基礎(chǔ)上通過尋找合理的類比對象，然后與其他數(shù)學(xué)思維方法進(jìn)行有效結(jié)合來解決問題的一種策略. 對于初中數(shù)學(xué)來說，各個(gè)知識點(diǎn)之間存在一定的關(guān)聯(lián)性，同樣的，各個(gè)題目之間也存在一定的關(guān)聯(lián)性，因此，為了幫助學(xué)生更好地發(fā)現(xiàn)其關(guān)聯(lián)性，降低解題的難度，在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師要指導(dǎo)學(xué)生在類比中發(fā)現(xiàn)各項(xiàng)數(shù)學(xué)理論知識之間的關(guān)聯(lián)性，這樣能為縮短學(xué)生解題時(shí)間做好鋪墊，同時(shí)也對培養(yǎng)與提高學(xué)生分析與解決問題的能力具有十分重要的意義.

例如，在“幾何圖形面積表示”的解題教學(xué)中有這樣一道例題：

例6 如圖6所示，某些代數(shù)恒等式可以利用幾何圖形的分割來表示. 如甲圖中，可以用圖形面積表示（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2. 還有很多恒等式可以采用幾何圖形來驗(yàn)證.

（1）寫出圖乙中所表示的代數(shù)恒等式;

（2）已知代數(shù)恒等式：（a+2b）2=a2+4ab+b2，請?jiān)趫D丙中利用圖形面積來驗(yàn)證等式的正確性.

為了幫助學(xué)生更好地理解乘法公式的幾何圖形表示方法，筆者給出了以下例題幫助學(xué)生回顧相關(guān)知識.

例7 如圖7所示. 在一個(gè)邊長為a的正方形中，現(xiàn)挖掉一個(gè)邊長為b的正方形，如圖甲所示，然后將剩余的部分拼成一個(gè)長方形，如圖乙所示. 根據(jù)甲和乙中兩個(gè)圖形陰影部分的面積關(guān)系，可以得到的乘法公式是：_________.

通過對例7的求解過程進(jìn)行分析，引導(dǎo)學(xué)生回顧乘法公式的幾何表示方法. 這時(shí)我們再來看例6，第（1）小問如何解決呢？是否可以采用例7中類似的方法呢？第（2）小問又如何解決呢？通過類比可以發(fā)現(xiàn)這兩道例題之間的聯(lián)系與區(qū)別，其聯(lián)系在于都運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想方法，其區(qū)別在于例7和例6中第（1）小問，都考查形到數(shù)的變化，而例6中的第（2）小問，關(guān)注的則是從數(shù)到形的變化，是對學(xué)生逆向思維和數(shù)形結(jié)合思想方法的綜合考查.

可見，通過上述問題的類比分析，一方面可以幫助學(xué)生回憶舊知識，另一方面能提高學(xué)生將問題從陌生向熟悉、從一般向特殊轉(zhuǎn)化的能力，有效鍛煉了學(xué)生的解題思維.

結(jié)束語

著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾說過：“甚至在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納與類比. ”可見類比對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的類比思維，讓學(xué)生從已有知識體系中提取相關(guān)知識與技能，幫助學(xué)生掌握新知識，不僅有利于學(xué)生對知識的深刻理解，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，而且能進(jìn)一步促使學(xué)生認(rèn)知思維本質(zhì)與結(jié)構(gòu)的形成，培養(yǎng)學(xué)生自主探索知識與創(chuàng)造知識的能力，有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率.