朱思宇 李永樂 向天宇

摘要：在分析結(jié)構(gòu)的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)時(shí)，響應(yīng)面法（Response Surface Method）可有效地降低隨機(jī)仿真的計(jì)算代價(jià)。然而，當(dāng)隨機(jī)變量存在大變異系數(shù)時(shí)，傳統(tǒng)的響應(yīng)面法無法滿足所要求的精度。分片響應(yīng)面基于對(duì)隨機(jī)變量變異系數(shù)進(jìn)行合理分塊的原則，縮小響應(yīng)面的近似范圍，并對(duì)分割后的響應(yīng)面進(jìn)行獨(dú)立分析，從而提高了響應(yīng)面在該空間的近似精度。首先采用分塊響應(yīng)面法結(jié)合蒙特卡洛MC抽樣技術(shù)，以單質(zhì)點(diǎn)振子模型的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)為算例，對(duì)分塊響應(yīng)面法的正確性進(jìn)行驗(yàn)證。計(jì)算結(jié)果表明，在隨機(jī)變量的變異系數(shù)不大時(shí)，分片響應(yīng)面法的計(jì)算精度不低于傳統(tǒng)響應(yīng)面法，而當(dāng)隨機(jī)變量具有大變異系數(shù)時(shí)，分片響應(yīng)面法的近似精度遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)響應(yīng)面法。此外，以隨機(jī)地震動(dòng)作用下的橋墩隨機(jī)振動(dòng)為背景，將該方法進(jìn)行了進(jìn)一步地推廣及應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：隨機(jī)振動(dòng);響應(yīng)面法;蒙特卡洛方法;分片響應(yīng)面法;變異系數(shù)

中圖分類號(hào)：0324;P315.9 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1004-4523（2020）01-0105-06

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.01.012

引言

對(duì)于經(jīng)典隨機(jī)振動(dòng)分析理論來說，往往采用結(jié)構(gòu)響應(yīng)的方差值作為響應(yīng)結(jié)果統(tǒng)計(jì)量的目標(biāo)值進(jìn)行求解。然而，當(dāng)不確定性參數(shù)參與隨機(jī)振動(dòng)計(jì)算中時(shí)，經(jīng)典的隨機(jī)振動(dòng)理論將不再適用于求解工作，僅僅得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)的方差結(jié)果也不再能夠滿足計(jì)算要求。針對(duì)大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的隨機(jī)振動(dòng)問題，蒙特卡洛（Mc）方法存在著計(jì)算耗能過大的缺點(diǎn)，無法適用于求解工作。

響應(yīng)面法是一種常用的近似技術(shù)，它通過對(duì)函數(shù)的一系列已知點(diǎn)進(jìn)行擬合從而推測(cè)函數(shù)的變化趨勢(shì)。Faravelli以最小二乘法來估算響應(yīng)面的系數(shù)建立了以實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)為基礎(chǔ)的響應(yīng)面法;Das等對(duì)響應(yīng)面含交叉二次項(xiàng)的二次多項(xiàng)式展開討論，通過保留對(duì)可靠度計(jì)算影響較大的交叉項(xiàng)改進(jìn)的響應(yīng)面法，與不含交叉項(xiàng)的二次多項(xiàng)式進(jìn)行相比，其計(jì)算精度有所提高;Gupta等提出改進(jìn)的響應(yīng)面函數(shù)，當(dāng)某些變量貢獻(xiàn)比較小時(shí)用一常數(shù)代替變量值，進(jìn)行模型轉(zhuǎn)換。Der Kiureghian等提出了基于概率配點(diǎn)法的隨機(jī)響應(yīng)面方法，并首次運(yùn)用于環(huán)境和生物系統(tǒng)的不確定性分析。在國(guó)外，響應(yīng)面法已在結(jié)構(gòu)可靠度分析領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。

近年來，響應(yīng)面的改進(jìn)方法取得了長(zhǎng)足的進(jìn)步，均能夠有效地提高其計(jì)算的精度和效率。但是，隨機(jī)變量存在大變異系數(shù)情況下，響應(yīng)面模擬精度問題的相關(guān)研究較少。本文對(duì)傳統(tǒng)響應(yīng)面法進(jìn)行改進(jìn)，并提出了分片響應(yīng)面法，旨在解決大變異系數(shù)隨機(jī)變量的模擬精度問題，并提供一定的數(shù)據(jù)支持。運(yùn)用所提出方法，以單質(zhì)點(diǎn)振子在高斯白噪聲激勵(lì)作用下的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)為例，與直接MC抽樣結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了分片響應(yīng)面法的正確性。此外，將分片響應(yīng)面法結(jié)合MC抽樣技術(shù)運(yùn)用于隨機(jī)地震激勵(lì)作用下的橋墩結(jié)構(gòu)的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)分析。

1理論方法

1.1不確定性虛擬激勵(lì)算法

響應(yīng)面擬合過程中的樣本分析采用了不確定性虛擬激勵(lì)法，該方法以虛擬激勵(lì)算法的核心思想為基礎(chǔ)，將所模擬的虛擬激勵(lì)轉(zhuǎn)變?yōu)榫哂须S機(jī)特性的輸入激勵(lì)（稱之為不確定性虛擬激勵(lì)），有別于確定性結(jié)構(gòu)的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)分析過程。本文以多自由

2單質(zhì)點(diǎn)振子隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)分析

本文首先采用平穩(wěn)白噪聲激勵(lì)下的單自由度振子隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行驗(yàn)證。其線性振子運(yùn)動(dòng)方程可表示為

分析結(jié)構(gòu)的隨機(jī)振動(dòng)時(shí)，考慮功率譜密度函數(shù)的對(duì)稱性，按單邊譜計(jì)算。由于圓頻率隨機(jī)性對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)方差影響相對(duì)于阻尼比隨機(jī)性來說較小，本文選取圓頻率均值1.0，圓頻率變異系數(shù)0.05，阻尼比均值0.03，阻尼比變異系數(shù)0.2-0.8進(jìn)行響應(yīng)面擬合。根據(jù)阻尼比變異系數(shù)，繪制得到了相應(yīng)的概率密度曲線，并對(duì)其進(jìn)行分片處理，如表1所示?；谒鶆澐值母怕拭芏群瘮?shù)子區(qū)問，帶人式（15）進(jìn)行求解后并整合得到最終結(jié)果。不同阻尼比變異系數(shù)下的直接響應(yīng)面法和分片響應(yīng)面法計(jì)算的結(jié)構(gòu)響應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差與直接MC抽樣計(jì)算結(jié)果比較如表2所示，概率密度曲線擬合如圖1所示。

從表2分析得出，當(dāng)阻尼比變異系數(shù)小于0.4的時(shí)候，采用直接響應(yīng)面法求解所得結(jié)果滿足工程精度要求，但當(dāng)阻尼比逐漸增大，直接響應(yīng)面法所得結(jié)果與MC抽樣結(jié)果的匹配度不斷降低，無法滿足工程精度要求。但是，無論阻尼比變異系數(shù)如何變化，分片響應(yīng)面法運(yùn)算結(jié)果均能滿足精度要求。

從圖1可以看出，當(dāng)阻尼比變異系數(shù)較小時(shí)，直接響應(yīng)面法計(jì)算的概率密度曲線結(jié)果與直接MC抽樣可以較好地吻合，當(dāng)阻尼比變異系數(shù)取0.4時(shí)已經(jīng)出現(xiàn)吻合偏差，隨著阻尼比變異系數(shù)逐漸增大，直接利用響應(yīng)面擬合結(jié)構(gòu)的響應(yīng)誤差也越來越大。當(dāng)阻尼比變異系數(shù)取0.6-0.8時(shí)，已經(jīng)明顯不滿足工程精度。本文提出對(duì)阻尼比大的變異系數(shù)取值進(jìn)行區(qū)問劃分重新擬合響應(yīng)面的方法可以較好地解決該問題。經(jīng)過對(duì)阻尼比進(jìn)行區(qū)問劃分（本文劃分成5個(gè)區(qū)問）之后，再進(jìn)行響應(yīng)面擬合，可以較好地與直接MC抽樣吻合。

3橋墩結(jié)構(gòu)在地震作用下隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)分析

3.1橋墩工程背景介紹

計(jì)算所用的橋墩是某鐵路特大橋梁的混凝土橋墩，該橋墩高度為60m，橋墩采用變截面，頂端5m采用實(shí)心截面;底端5m采用實(shí)心截面，截面面積（9×6.5）m²;中問采用空心截面，壁厚從0.5m變化到1.2m。該橋墩采用C30混凝土材料，場(chǎng)地類型按Ⅱ類場(chǎng)地計(jì)算，地震強(qiáng)度So=0.01m²/s，具體結(jié)構(gòu)參數(shù)如表3所示。

3.2不同阻尼比變異系數(shù)對(duì)橋墩在地震隨機(jī)振動(dòng)下響應(yīng)的影響

對(duì)該橋墩的阻尼比變異系數(shù)取0.2-0.8進(jìn)行研究，其他參數(shù)選取如表4所示。地震的加速度功率譜采用日本學(xué)者Kanai和Tajimi建議的過濾白噪聲模型，即

分片響應(yīng)面的區(qū)問劃分規(guī)律依然采用表2劃分的結(jié)果，將阻尼比劃分子區(qū)問與其余隨機(jī)變量相結(jié)合，帶人橋墩模型中進(jìn)行隨機(jī)地震動(dòng)分析，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差如表4所示，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的概率密度曲線比較如圖3所示。

從表4分析得知，在地震隨機(jī)振動(dòng)的激勵(lì)下，隨著結(jié)構(gòu)阻尼比變異系數(shù)的增大，結(jié)構(gòu)響應(yīng)方差也明顯呈增大趨勢(shì)。而阻尼比的大變異性導(dǎo)致了響應(yīng)面的極度不光滑，以致采用直接響應(yīng)面法擬合響應(yīng)方差呈現(xiàn)明顯偏差;采用分片響應(yīng)面法時(shí)，根據(jù)阻尼比變異系數(shù)劃分響應(yīng)面，盡可能精確模擬結(jié)構(gòu)響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差，從結(jié)果看，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差也是平滑增大。

從圖3可以看出，在地震隨機(jī)振動(dòng)的激勵(lì)下，當(dāng)阻尼比變異系數(shù)較小時(shí)，采用直接響應(yīng)面法與分片響應(yīng)面法擬合吻合較好，隨著阻尼比的變異系數(shù)增大，兩種方法吻合偏差逐漸增大，尤其當(dāng)阻尼比變異系數(shù)達(dá)到0.8的時(shí)候，吻合偏差無法滿足工程精度要求，因此分片響應(yīng)面法在具體工程中具有實(shí)際工程意義。

4結(jié)論

（1）結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機(jī)性對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)影響較大，例如阻尼比變異系數(shù)取0.8時(shí)，考慮結(jié)構(gòu)隨機(jī)性進(jìn)行結(jié)構(gòu)響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差分析，比不考慮結(jié)構(gòu)隨機(jī)性分析增大28.66%。而實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù)由于多種因素必然存在隨機(jī)性，因此研究結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機(jī)性對(duì)結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)的影響具有一定的工程實(shí)際意義。

（2）提出了一種分片響應(yīng)面方法，該方法旨在對(duì)變異系數(shù)較大的隨機(jī)變量進(jìn)行區(qū)問劃分，并根據(jù)該參數(shù)取值大小在計(jì)算所得的子區(qū)問響應(yīng)面上進(jìn)行近似插值。該方法不但具有響應(yīng)面法的連續(xù)性，而且能夠在較大范圍內(nèi)對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)進(jìn)行近似模擬，并且計(jì)算簡(jiǎn)單、準(zhǔn)確。計(jì)算結(jié)果表明，分片響應(yīng)面法能夠滿足工程精度的要求。

（3）阻尼比變異系數(shù)對(duì)橋墩結(jié)構(gòu)在地震隨機(jī)激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)影響較大，采用分片響應(yīng)面法可以很好地解決大阻尼比變異系數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)的影響。