周 圍，王 強，唐 俊，張 維

(1.重慶郵電大學 光電工程學院，重慶 400065 2.重慶郵電大學 移動通信技術重慶市重點實驗室，重慶 400065)

波達方向（Direction of Arrival，DOA）估計屬于陣列信號處理的范疇，主要應用于無線通信、聲納、雷達、醫(yī)療、電子對抗等領域。其主要目的在于估計出信號入射至天線的角度，進而完成測向和定位。自1979年Schmidt提出經(jīng)典的多重信號分類（Multiple Signal Classification，MUSIC）算法使得波達方向估計進入了超分辨時代以來，針對波達方向估計的研究層出不窮，極大地擴展了其深度和廣度。

多輸入多輸出（Multiple Input Multiple Output，MIMO）雷達［1］是2003年提出的新體制雷達，其特點在于發(fā)射陣列和接收陣列分別配置多根天線用于正交信號發(fā)射和遠場信號的回波接收，并依據(jù)收發(fā)陣列是否處于同一位置而分為收發(fā)共置單基地和收發(fā)單置雙基地兩種形式。MIMO雷達在空間分辨率、自由度以及參數(shù)的可識別性等方面均優(yōu)于傳統(tǒng)體制雷達，因而得到了學術界更多的關注。DOA估計以及離開角（Direction of Departure，DOD）、DOA聯(lián)合估計則是MIMO雷達的重要研究內(nèi)容，近年來已取得了一系列重要研究成果［2-7］。

互質(zhì)陣列是一種經(jīng)典的稀疏非均勻陣列，由于子陣陣元間距大于半波長，因而在陣元數(shù)目受到限制下可擁有更大的陣列孔徑。互質(zhì)陣列較于傳統(tǒng)均勻線陣具有以下的優(yōu)勢：（1）稀疏排布的陣元可實現(xiàn)對接收信號的欠采樣，進而突破了奈奎斯特采樣定理對天線陣列陣元間距的物理限制；（2）擴展的陣列孔徑可有效提高分辨率以及低信噪比情況下的性能；（3）可獲得遠超陣元數(shù)目的自由度，從而使得該陣列結(jié)構(gòu)下的估計算法具有識別更多信源的能力。文獻［8］對經(jīng)典的互質(zhì)線陣、互質(zhì)面陣以及該陣列結(jié)構(gòu)下的DOA估計方法的研究進展進行了詳盡介紹?；诨ベ|(zhì)陣列的DOA估計方法一般是通過兩個子陣得到各自的空間偽譜，譜峰重合的位置即為真實的DOA估計［9］，得益于更大的陣列孔徑，該陣列結(jié)構(gòu)下的DOA估計性能更佳，但是算法需要額外的解模糊操作，即找到重合的譜峰。此外亦有學者提出無需解模糊的互質(zhì)陣列DOA估計，如文獻［10］提出了非圓信號下降維MUSIC算法的互質(zhì)陣列DOA估計，直接使用全部陣列的接收數(shù)據(jù)構(gòu)造空間協(xié)方差矩陣，最后利用降維思想得到DOA估計。展開互質(zhì)陣列屬于互質(zhì)陣列的范疇，由文獻［11］首次提出，區(qū)別于傳統(tǒng)互質(zhì)陣列的地方在于兩個子陣是完全展開的狀態(tài)，因而陣列孔徑得到進一步的擴展，基于展開互質(zhì)陣列的DOA估計方法則使用全部陣列的接收數(shù)據(jù)構(gòu)造協(xié)方差矩陣，進而使用經(jīng)典DOA估計算法得到波達方向估計。文獻［12］利用展開互質(zhì)L陣列結(jié)構(gòu)對非圓信號進行DOA估計，利用信號的非圓性，可將自由度擴大至兩倍，并且獲得了更高的估計精度。文獻［13］利用展開互質(zhì)L型陣列進行二維DOA估計，可實現(xiàn)完全自由度，得益于擴展的陣列孔徑，得到了更加精確的DOA估計。

傳統(tǒng)互質(zhì)陣列MIMO雷達結(jié)構(gòu)則是將傳統(tǒng)互質(zhì)陣列分別作為收發(fā)陣列，由于更大的陣列孔徑以及MIMO雷達可獲得擴展的虛擬陣列，該陣列結(jié)構(gòu)下的DOA估計和DOD、DOA聯(lián)合估計性能均優(yōu)于均勻陣列MIMO雷達下的估計。文獻［14］在談及展開互質(zhì)陣列MIMO雷達的同時，給出了傳統(tǒng)互質(zhì)陣列MIMO雷達的具體結(jié)構(gòu)。文獻［15］則給出了展開互質(zhì)陣列MIMO雷達的結(jié)構(gòu)，并在該陣列下提出了combined-ESPRIT算法，直接求解閉式解得到DOD、DOA，避免了譜峰搜索使得運算量大大降低。文獻［16］在該陣列結(jié)構(gòu)下提出了單基地下基于MUSIC算法以及傳播算子算法的DOA估計算法，得到極為優(yōu)異的DOA估計性能。

本文則進一步地在文獻［16］的基礎上提出雙基地展開互質(zhì)陣列MIMO雷達DOD、DOA聯(lián)合降維估計算法。首先，由于MIMO雷達可虛擬出遠大于陣元數(shù)目的虛擬陣列，其次，將展開互質(zhì)陣列作為MIMO雷達的收發(fā)陣列，虛擬陣列的陣列孔徑得以極大地擴展?；诖?，算法獲得了顯著提升的分辨率，自由度提高至（M+N-1）2［16］以及低信噪比下更為優(yōu)異的估計性能。提出的算法首先將二維MUSIC算法中的搜索公式進行重構(gòu)，隨后基于降維思想，增加了消除無意義解的約束方程，并構(gòu)造了基于約束條件下的求解最優(yōu)值的數(shù)學描述，利用拉格朗日乘數(shù)法，構(gòu)造代價函數(shù)，先行解出DOA，然后將DOA回代解出DOD。算法獲得了優(yōu)異的性能，具體地，算法在信噪比低至-15 dB時仍能準確識別多個信源的DOD、DOA；在信源數(shù)目高達57個時仍能準確識別每個信源的DOD、DOA；在均方根誤差關于信噪比以及均方根誤差關于快拍數(shù)的性能比較上，算法顯著優(yōu)于傳統(tǒng)互質(zhì)陣列MIMO雷達下的降維DOD、DOA估計算法，以及展開互質(zhì)陣列MIMO雷達下的combined-ESPRIT算法，并且得益于降維思想無需二維窮盡搜索，因而計算量較于二維MUSIC算法大大降低。此外子陣數(shù)目的互質(zhì)消除了陣元間距大于半波長可能導致的相位模糊問題，本文亦給出了無相位模糊的數(shù)學證明。

1 系統(tǒng)模型

雙基地展開互質(zhì)陣列MIMO雷達包含異地放置的發(fā)射陣列和接收陣列，其幾何結(jié)構(gòu)如圖1所示。發(fā)射陣列與接收陣列各包含兩個稀疏均勻線陣的子陣1和子陣2，兩個子陣按照相反方向完全展開排列，子陣1的最后一個陣元與子陣2的第一個陣元相重合。設子陣1和2的陣元數(shù)目分別為M，N，且M，N互質(zhì)，不失一般性設M＜N。子陣1陣元間距為Nλ/2，子陣2陣元間距為Mλ/2，其中λ為波長，發(fā)射陣與接收陣各自的陣元數(shù)均為M+N-1。

發(fā)射陣列和接收陣列的陣元位置可表示為

其中，d0為半波長。

現(xiàn)各個發(fā)射陣元同時發(fā)射同頻正交的周期相位編碼信號，發(fā)射信號滿足條件

其中，si，sj分別是第i個和第j個發(fā)射陣元的信號，L為每個重復周期的相位編碼個數(shù)。

假設存在K個互不相關的遠場目標，且滿足K＜（M+N-1）2，發(fā)射角度分別為φ1，φ2，…，φK，目標的回波波達角度分別為θ1，θ2，…，θK，因此發(fā)射陣以及接收陣關于第k個目標的導向矢量可表示為

其中，at1（φk），at2（φk）分別是發(fā)射陣子陣1、子陣2的導向矢量，ar1（θk），ar2（θk）則分別是接收子陣1、子陣2的導向矢量，k=1，2，…，K。發(fā)射子陣與接收子陣的導向矢量表達式分別為

因此得到發(fā)射陣與接收陣的陣列流形At，Ar如下

進而得到展開互質(zhì)陣列MIMO雷達的虛擬陣列流形

其中

?表示Khatri-Rao積，?表示Kronecker積。由此可得接收陣元經(jīng)過匹配濾波之后的接收數(shù)據(jù)

其中，s（t）是回波信號矢量

其中，βk為第k個點目標的雷達截面系數(shù)（Radar Cross Section，RCS），fdk為第k個點目標的多普勒頻率，fs為發(fā)射波形的脈沖重復頻率，n（t）是均值為0、方差為σ2的加性高斯白噪聲矢量。

計算空間協(xié)方差矩陣Rxx

其中，Rss=E［s（t）sH（t）］=diag［σ21，σ22，…，σ2K］是信源的協(xié)方差矩陣，σ2k是第k個信源的功率，I是維度為（M+N-1）2×（M+N-1）2的單位矩陣。實際工程應用中，空間協(xié)方差矩陣可用L個采樣快拍進行估計，于是有

其中，t=1，2，…，L。

2 雙基地展開互質(zhì)陣列M IMO雷達DOD、DOA聯(lián)合估計

2.1 基于二維MUSIC算法的雙基地展開互質(zhì)陣列M IMO雷達DOD、DOA聯(lián)合估計算法

對空間協(xié)方差矩陣Rxx進行特征值分解

其中，Es是Rxx的K個主特征值所對應的特征向量，即信號子空間，En是［（M+N-1）2-K］個其他特征值所對應的特征向量，即噪聲子空間，Us和Un分別是K個主特征值以及［（M+N-1）2-K］個其他特征值所組成的對角矩陣。根據(jù)噪聲子空間與DOD、DOA對應的導向矢量的正交性，可構(gòu)造二維空間譜的計算表達式

其中，a（φ，θ）=ar（θ）?at（φ）。K個譜峰所對應的位置即為估計出的DOD、DOA。

2.2 雙基地展開互質(zhì)陣列M IMO 雷達DOD、DOA聯(lián)合降維估計算法

上述的基于二維MUSIC算法的雙基地展開互質(zhì)陣列MIMO雷達DOD、DOA聯(lián)合估計算法涉及二維的窮盡搜索，因而運算量極大，在實際的測向系統(tǒng)中應用并不現(xiàn)實。針對該問題，提出了該陣列結(jié)構(gòu)下基于降維MUSIC算法的DOD、DOA聯(lián)合估計算法。

首先定義V（φ，θ）

對式（18）重構(gòu)變形，表達為

為求得V（φ，θ）的極值點，首先增加約束條件eTat（φ）=1，其中e=［1，0，…，0］，以排除at（φ）為全0的無意義解。至此，問題轉(zhuǎn)化為約束條件下求解最優(yōu)解的數(shù)學問題，描述如下

按照拉格朗日乘數(shù)法求解最優(yōu)值的標準方法，首先定義代價函數(shù)

其中，λ為常數(shù)，對式（21）求關于at（φ）的偏導，并使其為0

算法的步驟描述如下：

1.按照式（15）對接收信號求解空間協(xié)方差矩陣Rxx，并對該矩陣進行特征值分解，得到噪聲子空間En。

2.按式（24）進行峰值搜索，K個極大值所對應的位置即為估計的DOA。

3.將步驟2中得到的DOA估計代入式（23），得到發(fā)射陣列下DOD所對應的導向矢量。

4.分別由式（26）、式（28）得到gk，ck，最后按照式（29）得到φ^k。

2.3 無相位模糊的證明

展開互質(zhì)陣列MIMO雷達的發(fā)射陣列以及接收陣列的陣元間距是半波長的倍數(shù)，但是由于收發(fā)陣列的各自子陣的數(shù)目互質(zhì)，可避免陣元間距大于半波長而可能導致的相位模糊問題。

由于M，N互質(zhì)，根據(jù)文獻［10］定理1可知，不存在這樣的θak，使得式（33）成立。同樣的，可證明不存在φak，進而無模糊問題得證。

2.4 復雜度分析

本文提出的算法的復雜度主要與收發(fā)陣列的數(shù)目、信源數(shù)目K、快拍數(shù)L以及搜索次數(shù)n強相關。本部分主要對比該陣列結(jié)構(gòu)下二維MUSIC算法、combined-ESPRIT［15］算法、本文的降維算法的復雜度。首先，按照式（15）計算空間協(xié)方差矩陣C（M+N-1）2×（M+N-1）2，設a=M+N-1，則復雜度為La4。對進行特征值分解的復雜度為O（a6）。本文算法在進行DOA估計時使用譜峰搜索的方式，譜峰搜索部分復雜度為n［（a3+a2）（a2-K）+a2］。此外，在求解DOD的過程中只涉及輕量級的計算，因而將該部分復雜度忽略。因此本文算法總的復雜度近似為O｛La4+a6+n［（a3+a2）（a2-K）+a2］｝。同樣，可分析得到二維MUSIC算法以及combined-ESPRIT算法的復雜度并將其列于表1。此外，為了更直觀地表示各算法復雜度的差異，表1還給出了在搜索步進為0.01°，M=4，N=3，快拍數(shù)L為1 000，信源數(shù)K為5時，各算法乘法次數(shù)的對比。由此可知，本文算法由于避免了二維的窮盡搜索，復雜度遠遠低于二維MUSIC算法。在上述仿真條件下，具體的乘法次數(shù)僅有二維MUSIC算法的千分之一量級。但是本文算法仍需一維的窮盡搜索，因而其復雜度相較無需窮盡搜索、以求解閉式解為特征的combined-ESPRIT算法依舊是巨大的，combined-ESPRIT算法的乘法次數(shù)僅有本文算法的百分之一。但是需指出本文算法與combined-ESPRIT算法的復雜度上的顯著差異應當歸因于譜峰搜索算法，與直接求解閉式解算法存在基本原理上的差別。

表1 各算法復雜度以及某條件下的乘法次數(shù)對比

3 仿真結(jié)果分析

針對所提算法在MATLAB R2016a軟件上進行了數(shù)值仿真，以驗證其性能。默認仿真條件為搜索步進為0.01°，展開互質(zhì)陣列以及傳統(tǒng)互質(zhì)陣列的子陣1、2的陣元數(shù)目均分別設為M=4、N=3，信源數(shù)目設為6，且6個信源的DOD、DOA角度對分別為［（-62°，-50°），（-55°，-35°），（-47°，-20°），（50°，48°），（65°，60°）］。

3.1 DOD、DOA聯(lián)合估計二維圖譜

信噪比SNR設置為-15 dB，快拍數(shù)L為500，其他仿真條件均為默認。分別得到展開互質(zhì)陣列MIMO雷達、傳統(tǒng)互質(zhì)陣列MIMO雷達以及均勻陣列MIMO雷達下的DOD、DOA聯(lián)合降維估計算法的二維圖譜，如圖2所示。該仿真條件下，展開互質(zhì)陣列MIMO雷達下算法可準確識別DOD和DOA，同時均勻陣列MIMO雷達下的估計已經(jīng)基本無法得到正確估計，而傳統(tǒng)互質(zhì)陣列MIMO雷達下的估計亦能夠識別DOD、DOA，但精確度不及展開互質(zhì)陣列MIMO雷達下的算法。

進行多信源數(shù)的空間譜圖的仿真，其他條件不變，子陣1、2的陣元數(shù)目分別設為M=7，N=5，信噪比設為0 dB，信源數(shù)設置為57，DOD以及DOA均設為在［-70°，70°］上以2.5°等間隔分布。得到空間二維圖譜如圖3所示，可見算法幾乎能夠準確識別每個信源的DOD、DOA。

3.2 均方根誤差仿真

本部分對比雙基地傳統(tǒng)互質(zhì)陣列MIMO雷達DOD、DOA聯(lián)合降維估計算法，雙基地展開互質(zhì)陣列MIMO雷達DOD、DOA聯(lián)合降維估計算法以及文獻［15］combined-ESPRIT算法的均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE）。均方根誤差的計算公式如下RMSE=其中，G是蒙特卡洛實驗次數(shù)，φ^k，i是第i次對φk的估計值，θ^k，i是第i次對θk的估計值。

3.2.1 均方根誤差隨SNR的變化關系

快拍數(shù)設為1 000，其他仿真條件均為默認。每個信噪比下進行100次蒙特卡洛實驗，得到RMSE關于SNR的變化關系如圖4所示。可見本文算法在信噪比較低時顯著優(yōu)于其他兩種算法，在SNR低至-14 dB時RMSE可達到小于0.2°，而combined-ESPRIT算法的RMSE幾乎達到了0.9°。在信噪比較高時，本文算法仍具備明顯優(yōu)勢。所以在RMSE關于信噪比變化中本文算法全面優(yōu)于其他兩種算法。

3.2.2 均方根誤差隨快拍數(shù)的變化關系

設置信噪比SNR為0 dB，其他條件為默認。同樣地，在每個快拍數(shù)下進行100次蒙特卡洛實驗，得到RMSE隨快拍數(shù)的變化關系，如圖5所示?？梢姳疚乃惴≧MSE在快拍數(shù)由100升至1 000的過程中均明顯優(yōu)于其他兩種算法。同樣可見本文算法的RMSE在快拍數(shù)大于300以后對快拍數(shù)的進一步提高已不再敏感。

4 結(jié)束語

本文針對雙基地展開互質(zhì)陣列MIMO雷達下的DOD、DOA聯(lián)合估計進行了深入的研究。首先，該陣列結(jié)構(gòu)將展開互質(zhì)陣列作為MIMO雷達的收發(fā)陣列，獲得了大幅擴展的陣列孔徑，其次MIMO雷達能夠獲得遠超實際陣元數(shù)目的虛擬陣列，這在提高算法估計精度的同時亦使得自由度大幅提高，達到（M+N-1）2。基于該陣列，提出了基于降維MUSIC算法的DOD、DOA估計方法。該算法下DOD、DOA自動配對，且子陣間距大于半波長可能導致的相位模糊問題可由子陣數(shù)目互質(zhì)得以消除。該算法獲得了顯著提升的分辨率、自由度以及低信噪比下更為優(yōu)異的估計性能。仿真結(jié)果表明算法在信噪比低至-15 dB時，對6個信源的估計仍有著優(yōu)異的估計性能，在識別信源數(shù)目高達57個的場景下亦優(yōu)勢明顯。在均方根誤差關于信噪比以及均方根誤差關于快拍數(shù)的性能比較上，算法亦顯著優(yōu)于傳統(tǒng)互質(zhì)陣列MIMO雷達下的降維DOD、DOA估計算法以及展開互質(zhì)陣列MIMO雷達下的combined-ESPRIT算法?；谏鲜龇抡鎸嶒灴傻贸鼋Y(jié)論，算法的估計性能全面優(yōu)于傳統(tǒng)互質(zhì)陣列MIMO雷達下的估計算法以及文獻［15］中的combined-ESPRIT算法。但是，值得說明的是本文算法優(yōu)于combined-ESPRIT算法是在復雜度呈指數(shù)級提升的前提下獲得的。