黃文文,宋 璐,史敬灼
(河南科技大學(xué) 電氣工程學(xué)院,河南 洛陽(yáng) 471023)
迭代學(xué)習(xí)控制(Iterative Learning Control,ILC)在重復(fù)的運(yùn)行過(guò)程中,基于過(guò)往記憶,采用迭代方法不斷修正其控制行為,使系統(tǒng)控制性能趨近期望。簡(jiǎn)潔而有效的在線學(xué)習(xí)能力,使ILC能夠適應(yīng)不斷變化的被控對(duì)象[1]。文獻(xiàn)[2-3]嘗試將迭代學(xué)習(xí)控制策略應(yīng)用于超聲波電機(jī),表明迭代學(xué)習(xí)控制策略適用于超聲波電機(jī)運(yùn)動(dòng)控制,但如何設(shè)計(jì)與超聲波電機(jī)運(yùn)行特點(diǎn)相匹配的ILC控制策略,仍有待深入研究。
傳統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制,本質(zhì)上是一種沿迭代軸的閉環(huán)學(xué)習(xí)控制與沿時(shí)間軸的開環(huán)前饋控制相結(jié)合的控制策略,具有二維(2D)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的典型特征,應(yīng)采用2D系統(tǒng)理論進(jìn)行分析與設(shè)計(jì)。另一方面,如何使ILC在沿迭代軸快速收斂的同時(shí),兼顧沿時(shí)間軸的控制穩(wěn)定性,并得到良好的電機(jī)控制性能,是ILC控制策略設(shè)計(jì)中需要解決的關(guān)鍵問題。將沿時(shí)間軸的反饋控制方法和沿迭代軸的迭代學(xué)習(xí)控制相結(jié)合,是解決上述問題的一種可行思路。作為一種沿時(shí)間軸的反饋控制策略,多步預(yù)測(cè)自校正控制以自回歸滑動(dòng)平均模型為基礎(chǔ),采用多步預(yù)測(cè)、滾動(dòng)優(yōu)化方法[4],使其具有較好的控制性能。
本文基于2D系統(tǒng)理論,針對(duì)超聲波電機(jī)運(yùn)動(dòng)控制需要,研究多步預(yù)測(cè)自校正控制與迭代學(xué)習(xí)控制相結(jié)合的具體方法。通過(guò)引入包含控制量差分項(xiàng)的迭代學(xué)習(xí)控制器形式,設(shè)計(jì)包含前次控制過(guò)程信息的2D優(yōu)化目標(biāo)函數(shù),嘗試將迭代學(xué)習(xí)融入多步預(yù)測(cè)控制?;?D多步預(yù)測(cè)模型,對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,推導(dǎo)出多步預(yù)測(cè)迭代學(xué)習(xí)控制律。仿真和實(shí)驗(yàn)表明,所提控制策略及其設(shè)計(jì)方法有效,超聲波電機(jī)轉(zhuǎn)速控制表現(xiàn)出漸進(jìn)的學(xué)習(xí)控制過(guò)程,控制效果良好。
考慮由如下受控自回歸積分滑動(dòng)平均模型(CARIMA)描述的重復(fù)過(guò)程
(1)
(2)
針對(duì)模型式(1)描述的重復(fù)過(guò)程,給出如下形式的迭代學(xué)習(xí)控制律
uk(i)=uk-1(i)+uk(i-1)-uk-1(i-1)+rk(i),u0(i)=0,i=-1,0,1,…,T
(3)
式中,rk(i)為迭代更新律,u0(i)為控制量初始值。
該控制律基于i時(shí)刻的前次控制量和i-1時(shí)刻的控制量變化量,得到第k次迭代控制過(guò)程中i時(shí)刻的控制量。
式(3)亦可寫為如下形式:
Δt(uk(i))=Δt(uk-1(i))+rk(i)
(4)
或
Δk(uk(i))=Δk(uk(i-1))+rk(i)
(5)
其中,Δk(f(k,i))=f(k,i)-f(k-1,i)??梢?,該控制律同時(shí)包含沿時(shí)間軸和沿迭代軸的控制進(jìn)程。
將式(4)代入式(1),得2D輸入輸出模型
(6)
將式中rk(i),yk(i)和Δk(wk(i))分別看作輸入、輸出和擾動(dòng),則上述2D模型的輸出取決于時(shí)間軸和迭代軸的輸入輸出信息。
下面采用多步預(yù)測(cè)自校正控制方法來(lái)設(shè)計(jì)更新律rk(i)?;谀P褪?6),設(shè)計(jì)如下控制目標(biāo)函數(shù)
J(i,k,n1,n2)=
γ(l)(Δk(uk(i+l)))2)
(7)
需指出的是,與多步預(yù)測(cè)自校正控制策略通常采用的目標(biāo)函數(shù)不同,式(8)所示目標(biāo)函數(shù)不僅增加了rk(i)項(xiàng)以限制其變化量,并且包含了Δk(uk(i))項(xiàng),有利于保證沿迭代軸的收斂穩(wěn)定性。而包含Δt(uk(i))項(xiàng),不僅使得沿時(shí)間軸的控制性能可調(diào)節(jié),而且在必要時(shí),還可用來(lái)抑制uk(i)沿時(shí)間軸的變化量以防止不穩(wěn)定逆動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的沿時(shí)間軸控制發(fā)散問題。
為得到良好的電機(jī)控制性能,需設(shè)計(jì)合適的β(l)、γ(l)值,使控制量沿迭代軸和時(shí)間軸均有合理的變化,兼顧2D控制性能。若β(l)較小,控制量沿時(shí)間軸的變化量較大,可獲得較快的響應(yīng)速度,但對(duì)模型失配等擾動(dòng)的魯棒性會(huì)變差,對(duì)噪聲更敏感。若γ(l)較小,則控制量沿迭代軸的變化量較大,沿迭代軸的學(xué)習(xí)收斂較快,但對(duì)非重復(fù)性擾動(dòng)的魯棒性差。
由模型式(6),在任意時(shí)刻i,系統(tǒng)的輸入輸出信息可分為已知和未知兩部分
(8)
其中,
可見,A2為非奇異矩陣。由式(8)可得
(9)
(10)
其中,
(11)
(12)
(13)
模型(10)適用于n1=n2的情況。當(dāng)n1>n2時(shí),有rk(i+j)=0,j=n2,…,n1-1,則矩陣G的最后n1-n2行將不存在,2D預(yù)測(cè)模型可寫為
(14)
目標(biāo)函數(shù)(7)可寫為如下矩陣形式
(15)
為使目標(biāo)函數(shù)式(15)最小化,給出如下關(guān)系式
(16)
(17)
其中,
結(jié)合式(15)、式(16)和式(17),可得如下廣義2D預(yù)測(cè)模型
(18)
其中,
根據(jù)上述預(yù)測(cè)模型,可得
(19)
取目標(biāo)函數(shù)對(duì)rk(i)的偏微分,并令其為0,即
(20)
可得使目標(biāo)函數(shù)式(15)取極小值的控制律為
(21)
即
(22)
令K1和K2分別表示下列矩陣的第一行元素
(R+GTQG+S+VTTV)-1GTQ-(R+GTQG+S+VTTV)-1S
令K3為矩陣-(R+GTQG+S+VTTV)-1VTTV的第一個(gè)元素,則可得控制更新律
(23)
采用文獻(xiàn)[5]所建超聲波電機(jī)系統(tǒng)Hammerstein模型進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)與仿真分析。超聲波電機(jī)系統(tǒng)Hammerstein模型線性動(dòng)態(tài)環(huán)節(jié)為
(24)
將上述模型轉(zhuǎn)化為CARIMA模型,可得
(25)
考慮式(2),可知n=5、m=2。取預(yù)測(cè)步數(shù)n1=4、控制步數(shù)n2=1。嘗試不同的取值,根據(jù)所得轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)仿真結(jié)果確定合適的Q、S、T和R值。仿真過(guò)程表明,減小Q可使響應(yīng)減慢,減小T值可加快學(xué)習(xí)收斂,減小S可使時(shí)域響應(yīng)加快,而增大R可限制控制量的變化。通過(guò)不斷調(diào)整這些參數(shù)值,確定Q=diag{1.3,1.3,1.3,1.3}、S=7、T=8、R=10。據(jù)此進(jìn)行控制器設(shè)計(jì),得控制參數(shù)值分別為K1=[0.0367,0.0403,0.0414,0.0405]、K2=-0.2403、K3=-0.2746,對(duì)應(yīng)的階躍響應(yīng)仿真曲線如圖1和2所示??梢娹D(zhuǎn)速階躍響應(yīng)無(wú)超調(diào),且隨著迭代學(xué)習(xí)的進(jìn)行,調(diào)節(jié)時(shí)間持續(xù)較小,符合期望。
圖1 轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線(30r/min)
圖2 轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線(90r/min)
編寫DSP程序?qū)崿F(xiàn)上述多步預(yù)測(cè)迭代學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)速控制器,對(duì)超聲波電機(jī)轉(zhuǎn)速控制性能進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究。實(shí)驗(yàn)用電機(jī)為Shinsei USR60型兩相行波超聲波電機(jī),額定轉(zhuǎn)速范圍0~120 r/min。電機(jī)同軸剛性連接光電編碼器,以測(cè)量電機(jī)轉(zhuǎn)速構(gòu)成轉(zhuǎn)速閉環(huán)控制。
采用前述設(shè)計(jì)所得控制參數(shù)值進(jìn)行轉(zhuǎn)速控制實(shí)驗(yàn),得到轉(zhuǎn)速階躍給定值為30 r/min情況下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。
圖3 轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線(實(shí)測(cè), 30 r/min)
實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果接近。由圖3可知,轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線逐漸趨于給定值,無(wú)超調(diào)。隨著迭代學(xué)習(xí)的進(jìn)行,調(diào)節(jié)時(shí)間持續(xù)較小,從起始的0.3930 s減為第六次迭代時(shí)的0.0917 s,減小幅度為76.67%,表明所述迭代學(xué)習(xí)控制策略有效。
圖4給出了轉(zhuǎn)速階躍給定值90 r/min的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,所用控制參數(shù)的數(shù)值不變。
圖4 轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線(實(shí)測(cè), 90 r/min)
表1給出了對(duì)應(yīng)的控制性能指標(biāo)數(shù)據(jù)??梢钥闯?,轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線仍然平穩(wěn)趨近給定值,無(wú)超調(diào),且隨著迭代的進(jìn)行,調(diào)節(jié)時(shí)間不斷減小,表明所述多步預(yù)測(cè)迭代學(xué)習(xí)控制策略適用于不同轉(zhuǎn)速。
表1 多步預(yù)測(cè)迭代學(xué)習(xí)控制性能指標(biāo)(90 r/min)
針對(duì)超聲波電機(jī)的運(yùn)行特點(diǎn),將迭代學(xué)習(xí)控制與多步預(yù)測(cè)自校正控制相結(jié)合,給出一種超聲波電機(jī)多步預(yù)測(cè)迭代學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)速控制策略。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,通過(guò)在控制目標(biāo)函數(shù)中引入迭代控制項(xiàng),并設(shè)計(jì)與多步預(yù)測(cè)模型相符的迭代學(xué)習(xí)控制律形式,可以將迭代學(xué)習(xí)控制與多步預(yù)測(cè)、滾動(dòng)優(yōu)化思想有機(jī)融合,構(gòu)造多步預(yù)測(cè)迭代學(xué)習(xí)控制律,從而兼顧時(shí)間軸、迭代軸的二維系統(tǒng)性能,得到良好的電機(jī)轉(zhuǎn)速控制性能。