劉 劍，魯炳林，趙 博，徐衍亮

(1. 山東理工大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，山東 淄博 255049；2. 山東大學(xué) 電氣工程學(xué)院，濟南 250061)

0 引 言

混合式步進電機綜合了磁阻式和永磁式步進電機的優(yōu)點，轉(zhuǎn)矩密度大、定位精度高、開環(huán)控制方式簡單，已成為目前工業(yè)自動化領(lǐng)域應(yīng)用最為廣泛的步進電機類型[1]。由于混合式步進電機氣隙往往較小，主磁路飽和嚴(yán)重，且在相同的勵磁條件下，在不同轉(zhuǎn)子位置時主磁路的飽和度也不盡相同，因此是高度變非線性度的磁系統(tǒng)[2]。此外，混合式步進電機的轉(zhuǎn)子永磁體沿軸向充磁，使得永磁磁場呈三維分布，并且鐵心疊片間絕緣層磁阻較大，導(dǎo)致永磁磁場沿軸向呈非線性非均勻分布，磁路非常復(fù)雜[3-5]。因此，混合式步進電機的精確計算，以及非線性參數(shù)的精確測定，都存在很多困難，往往要做很多簡化和假定。近年來，混合式步進電機系統(tǒng)的運行頻域、響應(yīng)速度、運行平穩(wěn)性等一系列性能指標(biāo)的需求不斷提高，對混合式步進電機的設(shè)計分析精度也提出了更高的要求。

目前，步進電機的分析方法主要包括解析法、場路耦合法和有限元法[6-10]。解析法難以考慮鐵心飽和等影響，計算精度不高。齒層比磁導(dǎo)法是最常用的場路耦合分析方法[11-12]，只對電機中磁場變化最為劇烈的氣隙及齒層區(qū)域磁場進行二維有限元求解，其他部分則采用磁路的方法求解，計算精度相對較高。然而，該方法所建立的非線性磁網(wǎng)絡(luò)模型難以考慮電機軸向磁路磁阻對氣隙磁場分布的影響，因此更適合于磁阻式步進電機，而對混合式步進電機仍然存在較大的誤差，工程應(yīng)用時也需憑經(jīng)驗加以修正。由于混合式步進電機存在徑向和軸向磁路，且在兩個方向上均存在磁路局部飽和的現(xiàn)象，因此通常需要采用三維有限元法來計算，計算耗時較大，且受網(wǎng)格剖分密度所限，計算精度也不是很高，在產(chǎn)品開發(fā)中并不具有實用性。

針對齒層比磁導(dǎo)法存在的不足，文獻[13]在考慮到永磁磁場沿軸向非均勻分布的基礎(chǔ)上，采用電機軸向分段方法建立了更為精確的分布非線性磁網(wǎng)絡(luò)模型，提高了計算精度，但模型的建立和求解均比較復(fù)雜。為簡化三維有限元分析計算過程、節(jié)省計算時間，文獻[14]提出了一種基于模型變換的混合式步進電機靜態(tài)特性分析方法，通過將電機三維模型進行結(jié)構(gòu)變換來獲得二維等效模型，并將二維有限元計算結(jié)果進行后處理(即模型反變換)，實現(xiàn)原電機的性能仿真，該分析方法相比于齒層比磁導(dǎo)法具有更高的計算精度，但只能用于分析電機的靜態(tài)特性，并且未能考慮永磁磁場沿軸向非均勻分布的特性，計算結(jié)果仍存在一定誤差。

本文提出一種基于定子永磁拓?fù)涞幕旌鲜讲竭M電機二維等效模型構(gòu)建方法，基于該模型可采用二維有限元法對混合式步進電機進行靜態(tài)及瞬態(tài)分析，有效縮短了仿真計算時間、降低了分析難度，并且能夠考慮到磁場沿軸向非均勻分布的特性，具有較高的計算精度。

1 定子永磁二維等效模型建立方法

1.1 混合式步進電機結(jié)構(gòu)及工作原理

最常用的2相8極50齒混合式步進電機結(jié)構(gòu)如圖1所示。定子有8個磁極，每個磁極上開有相同的定子小齒且分別繞有相同匝數(shù)的集中繞組，繞組A與-A、B與-B所在的磁極定轉(zhuǎn)子相對位置互差1/2轉(zhuǎn)子齒距。轉(zhuǎn)子包含兩段相同的轉(zhuǎn)子鐵心及中間夾放的環(huán)形永磁體，每段轉(zhuǎn)子鐵心上有50個轉(zhuǎn)子小齒，并且兩段轉(zhuǎn)子鐵心相互錯開1/2轉(zhuǎn)子齒距(即磁極1的定子小齒與轉(zhuǎn)子鐵心1處于“齒對齒”位置時，與轉(zhuǎn)子鐵心2處于“齒對槽”位置)。永磁體沿軸向充磁，兩段轉(zhuǎn)子鐵心極性相反(以S、N極轉(zhuǎn)子進行區(qū)分)，定子各磁極呈現(xiàn)與轉(zhuǎn)子相反的極性。永磁磁通穿過軸向和徑向磁路閉合，故為軸-徑向混合磁路系統(tǒng)。由于電機結(jié)構(gòu)沿圓周方向呈周期對稱，可沿圖1(b)、圖1(c)中的斜45°虛線將電機等分為兩部分，即I=II，III=IV。

圖1 2相8極50齒混合式步進電機結(jié)構(gòu)圖

開環(huán)控制運行及電流細(xì)分驅(qū)動條件下[15]，混合式步進電機單相永磁磁鏈和電流的理論波形如圖2所示，且有

(1)

i=Imcos(θ+δ)

(2)

式中，Im為電流幅值；θ為轉(zhuǎn)子位置角，δ為轉(zhuǎn)矩角，均為電角度。

圖2 混合式步進電機單相永磁磁鏈和電流理論波形

采用磁共能法，可求得電機總轉(zhuǎn)矩為[5]

(3)

式中，Tpm為永磁轉(zhuǎn)矩；Tr為磁阻轉(zhuǎn)矩；Tcog為齒槽(定位)轉(zhuǎn)矩；Zr為轉(zhuǎn)子齒數(shù)。根據(jù)式(1)～式(3)，當(dāng)m相繞組通入對稱正弦電流時，可求得

(4)

1.2 結(jié)構(gòu)等效變換

為簡化電機分析模型、降低求解計算難度和計算耗時，同時保證較高的計算精度，可將電機三維模型等效變換為二維模型，具體過程如下：

(1)將圖1(c)中的轉(zhuǎn)子鐵心2轉(zhuǎn)動1/2轉(zhuǎn)子齒距，同時將其每個磁極上的定子繞組全部反向繞制，可得到圖3(a)，圖3(a)同樣可等分為兩部分V=VI，由于圖3(a)和圖1(c)相同定子繞組所在磁極的定轉(zhuǎn)子齒相對位置相同、磁極極性相同，因此兩者電機結(jié)構(gòu)完全等效，則有III=IV=V=VI。

(2)由于圖3(a)與圖1(c)電機轉(zhuǎn)子位置相同，可將兩者的各1/2部分(如I+VI)組合成新的電機模型，如圖3(b)所示，由以上等效變換過程可知，該組合電機模型的結(jié)構(gòu)與原電機三維模型相互等效，兩者工作原理完全相同。

(3)圖3(b)模型中的定、轉(zhuǎn)子極性可由兩塊切向充磁且對稱放置于定子軛部的永磁體等效產(chǎn)生，如圖4所示，該模型的定轉(zhuǎn)子鐵心長度與原電機三維模型轉(zhuǎn)子鐵心總長度設(shè)置為相等。

圖3 混合式步進電機結(jié)構(gòu)等效變換

圖4 混合式步進電機定子永磁二維等效模型

通過上述結(jié)構(gòu)等效變換得到的新型電機模型結(jié)構(gòu)與原電機三維模型相互等效，工作原理與原電機完全相同，并且永磁體全部放置于定子軛部，因此稱作混合式步進電機的定子永磁二維等效模型。該模型中的永磁體沿切向充磁，使得電機內(nèi)磁場全部分布在徑向-圓周平面，因此可采用二維有限元法進行分析計算。

上述變換忽略了鐵心疊片間絕緣層磁阻對永磁磁場軸向非均勻分布特性的影響，由此帶來一定計算誤差，為提高分析計算精度，需建立考慮該影響的更為準(zhǔn)確的定子永磁二維等效模型。

1.3 定子永磁二維等效模型建立方法

為考慮鐵心疊片間絕緣層磁阻對永磁磁場軸向分布的影響，可將實際混合式步進電機沿軸向分段，并分別建立每段電機對應(yīng)的二維定子永磁等效磁路模型。具體方法如下：

圖5 混合式步進電機軸向分段意圖

首先將混合式步進電機的轉(zhuǎn)子永磁體以及永磁體所在軸向范圍的定子鐵心段去除，進而將電機剩余部分沿軸向等分為n段，如圖5所示。第i(i=1…n)段電機由第N_i段定轉(zhuǎn)子鐵心和第S_i段定轉(zhuǎn)子鐵心組成，近似認(rèn)為其永磁磁場沿軸向均勻分布，并且永磁磁通總量與原電機三維模型在該段電機處的永磁磁通總量相同。

其次采用1.2節(jié)結(jié)構(gòu)等效變換的方法建立n段電機的定子永磁二維等效模型，各段二維等效模型的定子永磁體矯頑力及充磁方向厚度與原電機轉(zhuǎn)子永磁體參數(shù)相同，并且可通過調(diào)整各段二維等效模型的定子永磁體剩磁密度，使得其永磁磁通總量與相應(yīng)段電機三維模型的永磁磁通總量相同。

最后將n段電機的定子永磁二維等效模型尺寸全部設(shè)置為相同，并且設(shè)置永磁體徑向長度與定子軛部寬度相同，將n段二維模型線性疊加，即可獲得考慮鐵心疊片間絕緣層磁阻影響的整體混合式步進電機定子永磁二維等效模型。

基于所建立的定子永磁二維等效模型，可采用較為簡便的二維有限元法對混合式步進電機進行靜態(tài)及瞬態(tài)分析，極大縮短了三維有限元分析時間、降低了分析難度。同時，由于二維有限元網(wǎng)格剖分密度較高，并且能夠有效考慮定轉(zhuǎn)子齒部及軛部鐵心局部飽和、定子極間漏磁、鐵心疊片絕緣層磁阻等對電機磁場分布及運行性能的影響，因此具有較高的計算精度。

2 定子永磁二維等效模型參數(shù)確定

定子永磁二維等效模型的齒層區(qū)域尺寸、定子槽尺寸、繞組匝數(shù)及線徑、永磁體矯頑力及充磁方向厚度等參數(shù)與原電機三維模型完全一致，可通過結(jié)構(gòu)等效變換直接確定，而定子軛部寬度(與永磁體徑向長度相同)和永磁體剩磁密度兩個參數(shù)可由如下方法確定。

2.1 定子軛部寬度確定方法

由于齒層區(qū)域磁場變化對電機性能的影響遠(yuǎn)大于其他區(qū)域磁場變化的影響，因此分析時可假設(shè)三維模型中軸向永磁磁通沿定子沖片橫截面均勻分布，二維等效模型中周向永磁磁通沿定子軛部均勻分布。若三維模型定子沖片橫截面積為Sz、轉(zhuǎn)子鐵心有效總長度為le，二維等效模型定子軛部寬度wys，則根據(jù)等效前后全部永磁磁通所穿過的定子磁路有效截面積一致原則可得[14]

Sz=2wysle

(5)

2.2 定子永磁體剩磁密度確定方法

考慮鐵心疊片間絕緣層磁阻對永磁磁場分布的影響時，混合式步進電機三維模型中永磁氣隙磁密沿電機軸向呈非線性非均勻分布，靠近永磁體的電機段永磁氣隙磁密較大，反之較小。在飽和及非線性影響下，解析法計算精度較差，需采用數(shù)值法確定二維等效模型的剩磁密度，具體步驟如下：

首先，對電機三維模型進行一次三維有限元空載靜態(tài)計算，獲得永磁氣隙磁密沿軸向分布特性曲線。其次，建立單位鐵心長度的定子永磁二維等效模型，在不同剩磁密度下進行二維有限元空載靜態(tài)計算，獲得永磁氣隙磁密隨剩磁密度變化的關(guān)系曲線。最終，分別計算n段電機三維模型的永磁氣隙磁密平均值，通過曲線插值即可確定各段定子永磁二維等效模型的剩磁密度。

3 定子永磁二維等效模型準(zhǔn)確性分析

以一臺57BYG型混合式步進電機為研究對象，電機主要參數(shù)如表1所示。根據(jù)表1數(shù)據(jù)計算得到Sz=1050mm2，wys= 21.9mm。

對電機三維模型進行一次有限元空載靜態(tài)計算，得到永磁氣隙磁密在單段轉(zhuǎn)子鐵心長度范圍內(nèi)的軸向分布如圖6所示，最大值與最小值的差值達到0.92T，表明鐵心疊片間絕緣層磁阻對永磁磁場軸向分布的影響較大，若將其忽略會導(dǎo)致較大計算誤差。對單位鐵心長度的二維等效模型進行有限元空載靜態(tài)計算，得到永磁氣隙磁密隨剩磁密度變化的曲線如圖7所示。

表1 電機主要設(shè)計參數(shù)

圖6 三維模型永磁氣隙磁密軸向分布

圖7 二維等效模型永磁氣隙磁密隨剩磁密度變化曲線

將電機三維模型等分為n段時，各段二維等效模型中的永磁體剩磁密度可由圖3、圖4確定，結(jié)果如表2所示。

表2 二維定子永磁等效磁路模型剩磁密度

根據(jù)表2可建立分段數(shù)n=1～7的二維定子永磁等效磁路模型，將二維和三維有限元計算所得額定保持轉(zhuǎn)矩Ten、1.5倍過載保持轉(zhuǎn)矩Te1.5、2倍過載保持轉(zhuǎn)矩Te2進行比較，結(jié)果如表3所示。

表3 保持轉(zhuǎn)矩計算結(jié)果比較

可以看出，當(dāng)n=1時，額定負(fù)載、1.5倍過載、2倍過載計算誤差分別達到14%、10%、7%，計算精度較差；當(dāng)n≥3時，二維有限元計算結(jié)果基本不隨n變化，額定負(fù)載、1.5倍過載、2倍過載計算誤差降為5%、4%、2%，計算精度顯著提高。保持轉(zhuǎn)矩隨相電流變化的曲線如圖8所示。

圖8 保持轉(zhuǎn)矩隨相電流變化曲線

采用二維有限元法計算對應(yīng)不同分段數(shù)n的額定平均輸出轉(zhuǎn)矩Tavg、轉(zhuǎn)矩脈動Trip、齒槽(定位)轉(zhuǎn)矩Tcog，結(jié)果如表4所示。可以看出，當(dāng)n≥3時，三者的計算數(shù)值基本趨于恒定，即為二維有限元準(zhǔn)確計算結(jié)果。

表4 Tavg、Trip、Tcog二維有限元計算結(jié)果

當(dāng)n=3時，二維有限元計算所得各段電機的額定負(fù)載轉(zhuǎn)矩特性如圖9、圖10所示，鐵心各部分磁密最大值如表5所示。其中，n-1、n-3分別表示靠近、遠(yuǎn)離永磁體的電機段。

圖9 n=3時二維有限元計算所得輸出轉(zhuǎn)矩

圖10 n=3時二維有限元計算所得齒槽轉(zhuǎn)矩

表5 二維有限元計算所得鐵心各部分最高磁密

轉(zhuǎn)子小齒定子小齒定子極身定子軛部n-1段/T1.781.801.460.86n-2段/T1.321.351.080.52n-3段/T0.900.920.750.33

可以看出，由于n-1段電機齒層區(qū)域鐵心飽和比較嚴(yán)重，導(dǎo)致輸出轉(zhuǎn)矩平均值降低，與n-2段電機輸出轉(zhuǎn)矩平均值近似相等。此外，由于二維等效模型的永磁體放置于定子軛部，導(dǎo)致各定子磁極的永磁磁路不對稱[5]，這在鐵心飽和程度較高時尤為嚴(yán)重。因此，n-1段電機的齒槽轉(zhuǎn)矩在一個齒距周期內(nèi)的波形對稱性較差，導(dǎo)致齒槽轉(zhuǎn)矩脈動值進一步增大。

4 結(jié) 論

提出一種基于定子永磁拓?fù)涞幕旌鲜讲竭M電機二維等效模型構(gòu)建方法，基于該模型可采用二維有限元法對電機進行分析計算，相比齒層比磁導(dǎo)法具有更高的計算精度，相比三維有限元法計算更簡便、耗時更少，通過理論分析、三維有限元仿真驗證，可得出以下結(jié)論：

(1)混合式步進電機本身具有的三個特點，即極性相反的兩段轉(zhuǎn)子鐵心互錯1/2轉(zhuǎn)子齒距、同一相繞組中繞制方向相反的兩個線圈(如A、-A)所在磁極定轉(zhuǎn)子相對位置互差1/2轉(zhuǎn)子齒距、電機結(jié)構(gòu)沿圓周方向具有周期對稱性，是實現(xiàn)三維模型到二維模型結(jié)構(gòu)等效變換的必要前提條件，等效變換前后的兩種模型工作原理完全相同。

(2)采用電機軸向分段方法建立的定子永磁二維等效模型，能夠有效考慮鐵心疊片間絕緣層磁阻對永磁磁場軸向非均勻分布的影響，通常情況下選取分段數(shù)n≥3即可獲得較高的計算精度，n越小則模型越簡單、分析越簡便、計算耗時越短。

(3)采用定子永磁二維等效模型計算電機保持轉(zhuǎn)矩時，在各種負(fù)載工況下均具有較高的計算精度，額定負(fù)載及過載時計算誤差可達到5%以內(nèi)，但由于該模型定子永磁磁路不對稱，導(dǎo)致計算所得齒槽轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)矩脈動略高于原電機三維模型，這一計算誤差可以滿足工程計算精度要求。