葉鋆純 王向東

【摘要】解決問題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心活動(dòng)，而解決數(shù)學(xué)問題需要有全景性的思維來支撐.當(dāng)前，由經(jīng)驗(yàn)性知識(shí)轉(zhuǎn)向?qū)嵶C性知識(shí)已成為國(guó)內(nèi)外研究數(shù)學(xué)問題解決的新趨勢(shì).[1]本文通過介紹全景思維的定義、特征及研究現(xiàn)狀，闡述了全景思維在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用范圍、應(yīng)用步驟及一些方法技巧，為拓展學(xué)生解題思維給出了相應(yīng)的探討.

【關(guān)鍵詞】全景思維;解題;應(yīng)用

一、全景思維的提出及其發(fā)展

全景思維是指在給定的數(shù)學(xué)問題情境下，能盡可能地認(rèn)識(shí)和再現(xiàn)問題的本質(zhì)和全貌，多層次全方位的獲取相關(guān)信息，與已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)充分聯(lián)結(jié)，最終尋得問題突破的一種思維方法.它能對(duì)已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行重組和改造，且能對(duì)解題過程中的行為活動(dòng)進(jìn)行自我監(jiān)控.全景思維具有個(gè)體性、系統(tǒng)性、發(fā)散性和創(chuàng)造性等特征.它對(duì)學(xué)習(xí)者已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)不斷進(jìn)行融會(huì)貫通，梳理修正，最終形成越來越完備的認(rèn)知結(jié)構(gòu)從而影響學(xué)習(xí)者今后的學(xué)習(xí).用波利亞的話說，學(xué)習(xí)從行動(dòng)和感受開始，再?gòu)倪@里上升到語(yǔ)言和概念，最終形成該有的心理習(xí)慣.[2]目前，已有不少學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)表征、知識(shí)體系和解題策略等方面進(jìn)行相當(dāng)多的研究，但較少有全面系統(tǒng)的解題思維的研究.

羅增儒在《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論》一書中對(duì)波利亞怎么解題的思維進(jìn)行研究[3]，其概括為四個(gè)層面：一是程序化的解題系統(tǒng);二是啟發(fā)式的過程分析;三是開放式的念頭誘發(fā);四是探索性的問題轉(zhuǎn)換.本文提出的全景思維具體表現(xiàn)同樣為四個(gè)層面：一是能在腦海中全景建立數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu);二是全面深刻剖析數(shù)學(xué)問題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì);三是能整體把握解題方向，且能對(duì)答題思維進(jìn)行自我監(jiān)控，及時(shí)糾錯(cuò);四是能跳出數(shù)學(xué)問題本身，培養(yǎng)學(xué)習(xí)者全面而深入的思維習(xí)慣.[4]這四個(gè)思維層面實(shí)際上與前者相當(dāng)吻合，或者可以說前者的四個(gè)層面包含于全景思維之內(nèi)，這時(shí)全景思維就顯現(xiàn)出其優(yōu)勢(shì).

二、全景思維的作用及其運(yùn)用步驟

全景思維主要應(yīng)用于數(shù)學(xué)解題當(dāng)中.由于數(shù)學(xué)知識(shí)的難度按層級(jí)結(jié)構(gòu)遞增，各層知識(shí)點(diǎn)間相互貫通，巧妙聯(lián)系，且各層間緊密聯(lián)結(jié).因此，學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題前，需要對(duì)已學(xué)知識(shí)有全景性的把控，當(dāng)其心中有“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”的底氣，才能全面細(xì)致地看待數(shù)學(xué)問題，從而迎刃而解.全景思維以大空間、系統(tǒng)性的思考模式去打開學(xué)生封閉的思維常態(tài)，恢復(fù)學(xué)生的個(gè)性思維和創(chuàng)造思維.在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，該思維首先指導(dǎo)我們以全景的方式洞察和聯(lián)想知識(shí)點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)之間的相關(guān)聯(lián)系，巧妙運(yùn)用多種化歸方法.當(dāng)我們遇到難題時(shí)，先有針對(duì)性地思考“這道題難在哪？”“為何化難為易？”進(jìn)而想方設(shè)法把未解決或難以解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決或容易解決的問題.在解題過程中，全景思維發(fā)揮其自我監(jiān)控性，督促我們及時(shí)檢驗(yàn)，以免“一步錯(cuò)，步步錯(cuò)”.在解題過后，我們應(yīng)總結(jié)每一道題或某一類題所用知識(shí)點(diǎn)，解題策略及出錯(cuò)的原因.對(duì)自己答題策略進(jìn)行反思，與他人答題策略進(jìn)行對(duì)比，進(jìn)而修正、豐富自己的思路和方法，使自身全景思維得到加強(qiáng).[4]以上是全景思維大致的應(yīng)用步驟，下面本文將從這四個(gè)方面分別闡述全景思維在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用.

（一）全景建立數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系

首先，它可以幫助學(xué)生持續(xù)激活已掌握的知識(shí)，形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，使學(xué)生有完備的依據(jù)對(duì)問題做出準(zhǔn)確而全面的指導(dǎo)性判斷.而且，它使學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)中更有邏輯地進(jìn)行思考和判斷，提高數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)能力和抽象概括能力.[5]俗話說，“磨刀不誤砍柴工”，要解決數(shù)學(xué)問題首先要深刻理解數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，明確每個(gè)定義和定理的內(nèi)涵與外延，有清晰全面的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系做武器才能去解題.

例如，（2015年高考全國(guó)2理科卷第19題）如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4.過點(diǎn)E，F(xiàn)的平面α與長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形.在圖中畫出這個(gè)正方形;求直線AF與平面α所成角的正弦值.

該題難度較小，但需要學(xué)生對(duì)正方形、勾股定理、線面角等定義有清楚的認(rèn)識(shí)，且積累下一定的作圖能力、空間想象能力與解決實(shí)際問題能力等數(shù)學(xué)素養(yǎng)做支撐，才能快速無誤地解答此題.

（二）精準(zhǔn)全面地分析和把控題意

全景思維能幫助解題者遇到數(shù)學(xué)問題時(shí)，全面收集信息，挖掘出題目隱含條件，透過問題看到其所反映的數(shù)學(xué)本質(zhì).它首先引領(lǐng)解題者抓住問題中圖形的幾何特征、文字所表述的數(shù)量關(guān)系、數(shù)學(xué)符號(hào)的形式化暗示，透過形式化語(yǔ)言分析出其所蘊(yùn)含的結(jié)構(gòu)特征和運(yùn)算法則;然后指導(dǎo)解題者確定問題轉(zhuǎn)化方向，解題方向有可能是不定且多維的，要視題目具體情況而定.在明確解題方向之后，解題者展開聯(lián)想，運(yùn)用全景思維從知識(shí)結(jié)構(gòu)體系中抽取所可能用到的知識(shí)，進(jìn)而找出題目所給的條件與問題的聯(lián)系.而從條件所涉及的知識(shí)點(diǎn)到所要求的問題點(diǎn)，中途可能要遍歷多個(gè)關(guān)聯(lián)點(diǎn)，這些關(guān)聯(lián)點(diǎn)連接起來就是解題的推理鏈，即該題的解題思路.

例如，上述第二小題是求線面角的正弦值，這種題目有兩個(gè)大方向的解法：向量法和幾何法.幾何法中首先要找出AF在面EFGH中的映射（記為AO），即證明AO⊥面EFGH.由觀察圖形的幾何特征和邊長(zhǎng)的數(shù)量關(guān)系，不難猜想O在EG上，進(jìn)而需要證得AO分別垂直于GH和EG，由題目所給的條件顯然問題得解.

（三）拓展思路的廣度和深度

實(shí)際上解決一個(gè)問題可行的推理鏈可能是多樣的，就如實(shí)際生活中你從出發(fā)地到目的地可采取多種多樣的出行方案.然而，我們通常希望找出那條換乘次數(shù)最少，花費(fèi)最少而且耗時(shí)最少的路線.同理，解題也需要在多種解題思路中找最簡(jiǎn)便直接的途徑，而當(dāng)發(fā)現(xiàn)思路紛雜或計(jì)算量太大時(shí)，則會(huì)才用特殊化法、數(shù)形結(jié)合法、反推法等方法以退為進(jìn)來求解問題，又或者先抓住問題隱藏的一般規(guī)律，再用該規(guī)律反解問題.探索出一般規(guī)律的新意義，創(chuàng)新典型題的解題方法，學(xué)會(huì)一題巧解和多解.比如，上述題目如果一時(shí)找不到映射AO，也可以采用模糊化的方法：等體積法來求解.設(shè)AO為錐A-EFG的高，利用V錐A-EFG=V錐F-AEG求得AO的高，也可以解出此題.此外，理科生還掌握著一條解空間幾何的救命稻草：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系用純向量的方法也一樣使問題得解.可見，全景思維能為我們拓展多種思路.

本題考查對(duì)函數(shù)、不等式的綜合應(yīng)用，要正面難度較大.通過觀察四個(gè)選項(xiàng)的特征不難發(fā)現(xiàn)，可用排除法求解.當(dāng)a=0時(shí)，f（x）的解集有無數(shù)個(gè)整數(shù)解，故排除A和B.而C和D選項(xiàng)排除關(guān)鍵在于a能否等于34.當(dāng)a=34時(shí)，f（x）=ex（2x-1）-34（x-1）<0，設(shè)g（x）=ex，h（x）=34（x-1）（2x-1），結(jié)合g（x）和h（x）的圖像可得f（x）<0的解集中有唯一的整數(shù)解x=0，故a=34適合題意，選D，題目得以巧解.

（四）答題思維縝密且能夠自我監(jiān)控

全景思維強(qiáng)的學(xué)生在解題時(shí)目標(biāo)明確，解答過程瞻前顧后，及時(shí)檢測(cè)自己所選的解題策略的效果，對(duì)自己所導(dǎo)致的失誤進(jìn)行反思和把控，能糾正錯(cuò)誤的思維定式.這屬于全景思維的元認(rèn)知層面.可見，全景思維可幫助學(xué)生按題目要求答題，清楚地表述答題步驟，得出合理的計(jì)算結(jié)果.例如，解決函數(shù)問題應(yīng)先考慮定義域，換元時(shí)應(yīng)注意所換字母范圍的變化，使用基本不等式時(shí)應(yīng)留心等號(hào)成立的條件等等，還包括解題過程的邏輯性和規(guī)范性，將計(jì)算結(jié)果用不同的方法進(jìn)行演算，這些都需要很好的全景思維來調(diào)控.

當(dāng)然，全景思維也存在其應(yīng)用的局限性，它依賴于學(xué)習(xí)者的經(jīng)驗(yàn)背景和學(xué)習(xí)自主性，若學(xué)習(xí)者自身的知識(shí)儲(chǔ)備量較少，是很難發(fā)揮全景思維的作用.而學(xué)生日常的學(xué)習(xí)過程中如果沒有自覺積累知識(shí)和解題策略，不愿意嘗試一題多解，其全景思維也難以很好地應(yīng)用在解題當(dāng)中.

三、全景思維的應(yīng)用案例

四、結(jié) 語(yǔ)

數(shù)學(xué)知識(shí)本身具有全景性，我國(guó)越來越注重多元與開放的數(shù)學(xué)解題教學(xué)，且越來越重視數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用和變式教學(xué)的理論探討.[6]良好的全景思維在數(shù)學(xué)解題時(shí)屢試不爽，我們沒有一種方法能解答所有數(shù)學(xué)問題，但全景思維給了我們一種解題的通用思維能力.只有經(jīng)常對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行多方向貫通聯(lián)結(jié)，對(duì)數(shù)學(xué)問題多維度思考，及時(shí)總結(jié)反思;在新的問題情境下靈活運(yùn)用有效的思維策略，才能在解題過程中收獲“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”的驚喜.

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉京莉，李佳.國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)問題解決研究熱點(diǎn)與趨勢(shì)探析[J].教育導(dǎo)刊，2018（5）：58-62.

[2]喬治·波利亞.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)——對(duì)解題的理解、研究的講授·第2卷[M].呼和浩特：內(nèi)蒙古人民出版社，1981.

[3]羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，2016：38-40.

[4]張宏偉.我與“全景式數(shù)學(xué)教育”[J].中國(guó)教師，2017（10）：47-51.

[5]邵玉麗.統(tǒng)籌知識(shí)“網(wǎng)”“點(diǎn)”提高學(xué)生素質(zhì)[J].商丘職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2004（4）：87-88.

[6]方均斌.“數(shù)學(xué)問題解決”研究的中國(guó)特色[J].課程·教材·教法，2015（3）：58-62.