楊占英，張杰，蔡明建

(中南民族大學 數(shù)學與統(tǒng)計學學院，武漢 430074)

眾所周知，分數(shù)階系統(tǒng)[1-4]因其廣泛的應用而備受關(guān)注.近年來，分數(shù)階系統(tǒng)的保成本控制研究，取得了一些進展，如THUAN和HUONG在文[3]中研究了帶時滯的分數(shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡的保成本控制問題；PHAT等在文[4]中給出了非線性分數(shù)階時滯系統(tǒng)的保成本控制的新準則.

奇異系統(tǒng)(又稱廣義系統(tǒng))由于能夠同時包含狀態(tài)變量之間的動態(tài)關(guān)系和代數(shù)關(guān)系，在描述更復雜的動力學模型方面有著重要應用.近幾年，關(guān)于奇異系統(tǒng)的研究取得了豐碩的成果[5,6].對于分數(shù)階奇異系統(tǒng)，也有一些文獻進行了研究，如LIU等在文[7]中研究了一類分數(shù)階非線性奇異系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題及其在復雜網(wǎng)絡同步中的應用.然而，對于分數(shù)階奇異系統(tǒng)的保成本控制問題，就作者所知，相關(guān)的研究目前尚未見報道.本文將研究一類分數(shù)階不確定奇異系統(tǒng)的保成本控制問題.利用Lyapunov函數(shù)的性質(zhì)和Schur互補引理，得到一種實現(xiàn)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的保成本控制方案.最后通過數(shù)值仿真驗證該方案的有效性.

以下使用到的符號：(X-1)T表示X-1的轉(zhuǎn)置；矩陣X>0表示正定矩陣；‖·‖表示歐幾里得范數(shù)，即:

1 準備知識

定義1[8]函數(shù)θ(t)的階數(shù)為q的分數(shù)階積分定義為：

其中q>0，Γ(·)是伽馬函數(shù)，即:

定義2[8]函數(shù)f(t)∈Cn([t0,+∞),n)的階數(shù)為q的Caputo型的分數(shù)階導數(shù)定義為：

其中t≥t0，q>0，且n為正整數(shù)，滿足n-1

命題2[10]設x(t)∈n是連續(xù)可導的函數(shù).那么，對任意的t≥t0，有下列不等式成立：

其中P是正定矩陣.

下面給出一些必要的引理.

對任意滿足F(t)FT(t)≤I的F(t)成立，當且僅當存在一個正常數(shù)ξ，使得：

引理2(Schurcomplementarylemma)[12]對于一個給定的實矩陣:

(i)S<0;

引理3[13]設A∈n×n為復矩陣，A是非奇異的當且僅當存在非奇異矩陣X∈n×n使得：

AX+XTAT<0.

2 主要結(jié)果

考慮如下的一類分數(shù)階不確定奇異系統(tǒng)：

(1)

其中α∈(0,1)，x(t)∈n是狀態(tài)向量，n∈,u(t)∈m是控制輸入，E,A∈n×n以及B∈n×m是給定的常數(shù)矩陣，且Rank(E)=r

設計如下反饋控制器：

(2)

其中K1和K2是待設計的具有合適維數(shù)的矩陣.

首先考慮系統(tǒng)(1)的規(guī)范化.

引理4[13]不確定分數(shù)階奇異系統(tǒng)(1)是可規(guī)范化的當且僅當：

Rank[E,B]=n.

定理1系統(tǒng)(1)是可規(guī)范化的當且僅當存在非奇異矩陣V和任意矩陣H，使得下列條件成立：

EV+VTET+BH+HTBT<0,

(3)

在此條件下，有K2=HV-1.

證明根據(jù)引理4，易知系統(tǒng)(1)是可規(guī)范化的當且僅當存在增益矩陣K2使得矩陣(E+BK2)是非奇異的，再由引理3可知，(E+BK2)是非奇異的當且僅當存在一個非奇異矩陣V使得：

(E+BK2)V+VT(E+BK2)T<0,

(4)

取H=K2V，此時(4)式與(3)式是等價的.證畢.

下面考慮系統(tǒng)(1)的漸近穩(wěn)定性問題.

根據(jù)定理1，系統(tǒng)(1)可改寫為如下規(guī)范化系統(tǒng)：

(5)

其中E1=(E+BK2)-1，A1=E1A,B1=E1B.同時，控制器可寫為：

u(t)=K1x(t).

(6)

對于系統(tǒng)(5)，其成本函數(shù)如下：

uT(s)Ru(s)]ds,?Tf>0,

(7)

其中Q和R是給定的正定矩陣.

定義3對于系統(tǒng)(5)，如果存在一個控制器和一個正常數(shù)J0，使得對所有的可容許不確定項，系統(tǒng)(5)是漸近穩(wěn)定的，且成本函數(shù)(7)滿足J≤J0，那么J0稱為成本函數(shù)的上界，控制器(6)稱為系統(tǒng)(5)的保成本控制.

定理2給定正定矩陣Q和R，如果存在矩陣P>0，具有合適維數(shù)的矩陣Y和正常數(shù)ε使得下列條件成立：

(8)

證明令：

V(t)=xT(t)P-1x(t).

顯然有：

λmin(P-1)‖x(t)‖2≤V(t)≤λmax(P-1)‖x(t)‖2,

(9)

對V(t)求導得：

xT(t)(A1+E1ΔA+B1K1)TP-1x(t)+

xT(t)p-1(A1+E1ΔA+B1K1)x(t)=

(10)

成立時，可以得到：

(11)

由引理1可知，存在一個正常數(shù)ε，使得(10)式等價于：

(12)

在(12)式兩端分別乘以PT和P，可以得到：

(13)

由引理2可知，(13)式成立當且僅當：

(14)

由不等式(11)可知，閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的.接下來討論成本函數(shù)的上界.由不等式(10)有：

(15)

在(15)式兩邊從0到Tf做積分，利用命題1，可以得到：

V(Tf)≤V(0)-J,?t≥0,

進一步有：

J≤V(0)≤λmax(P-1)‖x(0)‖2:=J*,?t≥0.

因此，成本函數(shù)滿足J<λmax(P-1)‖x(0)‖2，且J*=λmax(P-1)‖x(0)‖2.證畢.

3 數(shù)值仿真

考慮如下不確定奇異系統(tǒng)：

x(0)=(1.6,2.4)T.

利用Matlab LMI工具箱，易得到(3)式的解為：

H=107×(-7.0496,-2.374),

由計算可得：

K2=HV-1=(-0.0123,-0.4592),

因此可知系統(tǒng)(1)是可規(guī)范化的，進一步可以得到系統(tǒng)(5)的新的參數(shù)矩陣：

另一方面，(8)式的可行解為：

Y=(-2.335,1.0508),ε=3.4276,

于是得到如下增益矩陣：

K1=YP-1=(-2.926,0.6188),

根據(jù)定理2，系統(tǒng)(5)在保成本控制器u(t)=YP-1X(t)作用下是漸近穩(wěn)定的，且J*=3.6338.狀態(tài)變量的相關(guān)演化過程如圖1和圖2所示，它們反映出系統(tǒng)在保成本控制器作用下實現(xiàn)了漸近穩(wěn)定.

圖1 x1和x2的狀態(tài)軌跡

圖2 范數(shù)的狀態(tài)軌跡

4 結(jié)論

對于分數(shù)階奇異系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制問題，不少文獻已進行了深入研究.然而，分數(shù)階奇異系統(tǒng)的保成本控制問題還未得到解決.對于一類分數(shù)階不確定奇異系統(tǒng)，本文基于系統(tǒng)規(guī)范化、Schur互補引理和Lyapunov函數(shù)的性質(zhì)，設計了一種保成本控制器，得到了實現(xiàn)該系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件；最后，通過數(shù)值仿真驗證了該條件的正確性和有效性.