張國東, 龍常青

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院, 武漢 430074)

1987年, BABCOCK[1]首次把電感引入到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中, 構(gòu)造出了一種二階慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型；并分析了該二階微分方程的混沌、分岔等動(dòng)力學(xué)行為.由于其在聯(lián)想記憶、圖像處理、信號(hào)處理、優(yōu)化等領(lǐng)域有著十分廣泛的實(shí)際應(yīng)用, 近幾十年受到了許多學(xué)者們的關(guān)注和研究, 并取得了許多豐碩的成果, 見文獻(xiàn)[2]到文獻(xiàn)[7].

另外, 由于網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的信號(hào)傳送不是瞬時(shí)的, 并且網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)具有分布式的空間結(jié)構(gòu), 這通常會(huì)導(dǎo)致時(shí)滯和分布時(shí)滯的存在, 因此把時(shí)滯和分布時(shí)滯考慮到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中來是合理的.反同步控制, 即要求兩個(gè)系統(tǒng)達(dá)到同步時(shí), 它們的狀態(tài)絕對(duì)值相同符號(hào)相反[8].在實(shí)際中, 如在通信系統(tǒng)中通過應(yīng)用反同步控制在同步和反同步之間變換傳輸數(shù)字信號(hào), 實(shí)現(xiàn)同步與反同步之間連續(xù)地傳送數(shù)字信號(hào), 加強(qiáng)安全和保密[9],截止目前, 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的反同步控制問題已有一些研究, 如文獻(xiàn)[8]基于Lyapunov函數(shù)和線性矩陣不等式研究了混合時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的反同步.文獻(xiàn)[9]基于集值映射和微分包含理論獲得全局指數(shù)反同步的充分條件, 但對(duì)于帶有混合時(shí)滯慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反同步的研究很少涉及到.因此, 本文的結(jié)果將進(jìn)一步補(bǔ)充該方面的相關(guān)研究.

1 系統(tǒng)模型及準(zhǔn)備工作

令N={1,2,…,n},n,分別表示n-維歐式向量空間和實(shí)數(shù)集,([-ρ,0],n)表示在Banach空間中的所有連續(xù)函數(shù)組成的集合, 其中,ρ=max{τ,ω},?μ=(μ1,μ2,…，μn)∈n, 定義范數(shù)([-ρ，0],n)其范數(shù)定義為：

在文獻(xiàn)[2]的基礎(chǔ)上, 我們考慮如下一類帶有混合時(shí)滯慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型：

(1)

假設(shè)1 設(shè)模型(1)中的激勵(lì)函數(shù)fj(·),j∈N, 是有界的奇函數(shù), 并且滿足Lipschitz條件:

|fj(s1)-fj(s2)|≤Lj|s1-s2|.

其中,s1,s2∈,Lj≥0.

(2)

現(xiàn)將系統(tǒng)(2)作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng), 其對(duì)應(yīng)的控制響應(yīng)系統(tǒng)如下：

(3)

和初值為vi(s)=φi(s),yi(s)=ηi(s),s∈[-ρ,0],φi(s),ηi(s)∈是狀態(tài)反饋控制器, 設(shè)計(jì)如下：

(4)

其中,πi≥0,?i≥0是控制器增益常數(shù).

現(xiàn)設(shè)e1i=ui(t)+vi(t),e2i=xi(t)+yi(t),i∈N結(jié)合(2)-(4)式, 則得到如下的閉環(huán)誤差系統(tǒng)：

(5)

定義1驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(2)和響應(yīng)系統(tǒng)(3)稱為全局指數(shù)反同步, 如果?M≥1,0<ε<1滿足：

這里i∈N,ε表示指數(shù)收斂率.

2 主要結(jié)果

1-βi+ξi-πi<0,

(6)

和

(7)

則在狀態(tài)反饋控制器(4)下, 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(2)和響應(yīng)系統(tǒng)(3)實(shí)現(xiàn)全局指數(shù)反同步.

證明構(gòu)建如下的兩個(gè)連續(xù)單調(diào)增函數(shù)

pi(ε1)=ε1+1-βi+ξi-πi,

和

qi(ε2)=ε2-ξi-?i+|γi|+

這里,ε1和ε2是兩個(gè)變量.從(6)和(7)易知pi(0)<0,qi(0)<0,i∈N, 又因?yàn)楹瘮?shù)pi(ε1),qi(ε2)單調(diào)遞增, 所以存在ε*使pi(ε*)=0和qi(ε*)=0.即?ε∈(0,ε*), 使得下面兩個(gè)不等式成立

ε+1-βi+ξi-πi<0,

(8)

和

ε-ξi-?i+|γi|+

(9)

現(xiàn)在, 考慮如下的Lyapunov泛函:

(10)

計(jì)算函數(shù)V(t)沿著系統(tǒng)(5)解的右上Dini導(dǎo)數(shù)，則有

(11)

t≥0.

(12)

由(10)和(12), 可得：

|e2i(s)|]e-εt+

M(‖e1(s)‖+‖e2(s)‖)e-εt,

(13)

即證.

推論1假設(shè)1成立, 且τj(t)=τj>0,ωj(t)=ωj>0,j∈N, 若存在非負(fù)數(shù)ξi,πi和?i,i∈N, 滿足(6)式及下面不等式

則在狀態(tài)反饋控制器(4)下, 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(2)和響應(yīng)系統(tǒng)(3)實(shí)現(xiàn)全局指數(shù)反同步.

則在狀態(tài)反饋控制器(4)下, 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(2)和響應(yīng)系統(tǒng)(3)實(shí)現(xiàn)全局指數(shù)反同步.

3 數(shù)值仿真例子

現(xiàn)借助MATLAB工具, 本部分給出數(shù)值仿真來驗(yàn)證上述結(jié)果的有效性.

例1考慮一個(gè)二維慣性項(xiàng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)如下：

(14)

其可以改寫為

(15)

通過簡(jiǎn)單的計(jì)算易知,τ=ω=1,τ0=ω0=1/4,f1,f2滿足假設(shè)1, 且L1=L2=1.將系統(tǒng)(15)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng), 其對(duì)應(yīng)的受控響應(yīng)系統(tǒng)是(3)式所定義.控制器(4)的增益常數(shù)取值為π1=4,π2=3,?1=13,?2=8.參數(shù)ξ1=ξ2=1, 則有

故定理1的全部條件成立, 則知驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(15)和其響應(yīng)系統(tǒng)(3)在控制器(4)下全局指數(shù)反同步.

取初值為u1(s)=0.5,x1(s)=0.6,u2(s)=0.68,x2(s)=0.6,v1(s)=0.4,y1(s)=0.8,v2(s)=0.68,y2(s)=0.6,s∈[-1,0).在控制器(4)下, 反同步誤差系統(tǒng)狀態(tài)變量趨向于零平衡點(diǎn)的軌道走勢(shì)如圖2所示.驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(15)和響應(yīng)系統(tǒng)(3)的變量u1(t),v1(t),x1(t),y1(t),u2(t),v2(t),x2(t),y2(t)曲線圖分別如圖3-6所示.

圖1 無控制器下, 系統(tǒng)(14)狀態(tài)變量u1(t)和u2(t)走勢(shì)圖

圖2 在反饋控制(4)下, 反同步誤差系統(tǒng)狀態(tài)變量e11(t),e12(t),e21(t),e22(t)的走勢(shì)圖

圖3 在控制器(4)下, 反同步誤差系統(tǒng)狀態(tài)變量u1(t),v1(t)的曲線圖

圖4 在控制器(4)下, 反同步誤差系統(tǒng)狀態(tài)變量x1(t),y1(t)的曲線圖

圖5 在控制器(4)下, 反同步誤差系統(tǒng)狀態(tài)變量u2(t),v2(t)的曲線圖

圖6 在控制器(4)下, 反同步誤差系統(tǒng)狀態(tài)變量x2(t),y2(t)的曲線圖

4 結(jié)論

在本文中, 利用降階的方式和一些不等式技巧, 通過設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器并恰當(dāng)選擇控制器增益使得具有混合時(shí)滯的二階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了全局指數(shù)反同步控制, 并得到了確保誤差系統(tǒng)全局指數(shù)反同步的充分條件和幾個(gè)推論.所得的結(jié)果由系統(tǒng)本身的參數(shù)給出, 容易驗(yàn)證和計(jì)算.最后, 給出了數(shù)值仿真例子驗(yàn)證所得結(jié)果的可行性.本文所得結(jié)果豐富了文獻(xiàn)[2]的成果.