魯文超，易 青，周 皓，吳 丹,，楊俊義，顧濟(jì)華

（1.蘇州大學(xué) 光電科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215006；2.蘇州大學(xué) 文正學(xué)院，江蘇 蘇州 215104）

引言

全息技術(shù)是目前三維顯示中最受關(guān)注的技術(shù)之一。計(jì)算全息技術(shù)能對軟件構(gòu)成的虛擬三維物體進(jìn)行顯示，具有便于存儲、不限光波段等優(yōu)點(diǎn)，在三維顯示研究領(lǐng)域受到越來越多的關(guān)注。一般的計(jì)算全息通過計(jì)算三維物體的平面全息圖，僅能獲得單個(gè)視角再現(xiàn)像[1-6]。若要實(shí)現(xiàn)多視角觀察，需要生成不同角度的計(jì)算全息圖，增加了計(jì)算復(fù)雜度。為了消除水平方向的視角限制，有學(xué)者提出采用圓柱型計(jì)算全息實(shí)現(xiàn) 360?顯示。該方法將物面與全息面視為同心圓柱面，通過計(jì)算物面到達(dá)全息面的衍射光場，并引入虛擬參考光以獲得干涉圖樣。

許多學(xué)者們對計(jì)算圓柱全息技術(shù)進(jìn)行研究，得到了一系列極具參考價(jià)值的實(shí)驗(yàn)結(jié)果：2005年，Sando 等人通過定義物體和全息圖為同心圓柱面來滿足位移不變性，在空域中通過卷積方法計(jì)算圓柱全息圖，模擬過程用了3 次快速傅里葉變換（fast fourier transform,FFT），比直接計(jì)算方法快10 000倍[7]；2013年，Sando 課題組又提出了基于三維傅里葉頻譜的圓柱全息圖快速計(jì)算方法，通過三維物體與它在三維傅里葉空間衍射波前的關(guān)系來計(jì)算圓柱面的衍射光波進(jìn)而生成圓柱全息圖，過程中使用一維卷積運(yùn)算和一維反傅里葉變換實(shí)現(xiàn)快速計(jì)算[8]；2007年，Sakamoto 等人提出平面層析方法將三維物體分成若干切面，得到平面物光波，并利用平面與圓柱面旋轉(zhuǎn)平移不變性生成圓柱全息圖，能再現(xiàn)三維物體120°視角內(nèi)的信息，但無法再現(xiàn)深度信息，且實(shí)驗(yàn)生成13 mm×13 mm×13 mm大小物體的全息圖需要2.76 小時(shí)[9]；2010年，Jackin等人定義物體和全息圖為同心圓柱面，將Hankel變換應(yīng)用到計(jì)算圓柱全息圖生成過程中，只用了2 次FFT 計(jì)算[10]；2013年，Jackin 等人利用球諧函數(shù)生成了球面物體的球面全息圖并進(jìn)行再現(xiàn)[11]；2015年，Zhao Yu 等人在三維物體與圓柱全息面之間加入波前記錄面，利用FFT 計(jì)算波前記錄面進(jìn)而生成圓柱全息圖，提高了運(yùn)算速度[12]；圓柱全息技術(shù)中一般都采用由內(nèi)向外傳播的模型，2017年，Wang Jun 等人提出了由外向內(nèi)傳播模型，推導(dǎo)了對應(yīng)的衍射方程，并再現(xiàn)圓柱面物體證實(shí)了方法的有效性[13]；2019年，Anton Goncharsky 等人提出了在圓柱表面計(jì)算和合成衍射光學(xué)元件（diffractive optical element,DOE）的方法，獲取的計(jì)算全息圖以相位反射DOE 形式保存下來，當(dāng)白光照射時(shí)就可以 360?顯示三維圖像[14]；2019年，Chang Chenliang等人將彩色物體圓柱面的R、G和B 三色分量分為3 個(gè)不同的圓柱面進(jìn)行計(jì)算，疊加后得到彩色物體的圓柱全息圖，實(shí)現(xiàn)了彩色物體的顯示[15]。但是，上述的計(jì)算圓柱全息方法采用的是單層圓柱面物體，并沒有研究擁有不同景深三維物體的360?顯示，因此有必要對一般性三維物體的計(jì)算圓柱全息生成與再現(xiàn)進(jìn)行研究。

文中研究了一種可對任意三維物體進(jìn)行360°觀察的圓柱型層析計(jì)算全息技術(shù)：將三維物體分成若干個(gè)圓柱面，每層圓柱面均包含物體部分信息，分別計(jì)算所有圓柱截面在全息面上的衍射光場，疊加后與參考光干涉獲得三維物體的計(jì)算圓柱全息圖，對所得全息圖再現(xiàn)即可實(shí)現(xiàn)三維物體的360°不同深度的觀察。在確定圓柱全息圖半徑和高度的情況下，研究了物體圓柱截面半徑和波長變化引起空間頻率和傳遞函數(shù)的變化，并結(jié)合實(shí)驗(yàn)分析再現(xiàn)圖像質(zhì)量。采用對應(yīng)三維地球模型作為原始物光波開展實(shí)驗(yàn)，計(jì)算圓柱全息圖并進(jìn)行再現(xiàn)以驗(yàn)證方法有效性。

1 原理

1.1 圓柱型層析計(jì)算全息

一般的計(jì)算全息得到的平面全息圖只能從某一個(gè)視角來觀察再現(xiàn)物體。為了能夠?qū)ξ矬w進(jìn)行360°觀察，設(shè)定全息面為圓柱型，物面為全息面的同心圓柱面，這樣可以保證系統(tǒng)的位移不變性，以便利用FFT 進(jìn)行快速計(jì)算。將三維物體分成多層圓柱面，物體所在的每層圓柱面與全息面位置關(guān)系如圖1（a）所示，其頂視圖如圖1（b）所示。

圖1 物面和全息面位置關(guān)系Fig.1 Relations between object surfaces and holographic surfaces

假設(shè)三維物體第n層圓柱截面的光波分布表示為Oobjn(θobjn,zobjn)，全息面的光場分布表示為Oholo(θholo,zholo)。 半徑為rn的物面上每一點(diǎn)光波傳播到半徑為R的全息面上，兩點(diǎn)之間傳播距離為：

點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)可表示為

若三維物體總共分為N層圓柱面，則全息面的光場分布可表示為

式中：k為波數(shù)，，λ 為波長，?表示卷積運(yùn)算。由（2）、（3）式可知：不同半徑物體圓柱截面對應(yīng)不同的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)，物光波與點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)卷積之后疊加得到物體傳播到全息面的光場。

全息面光場與參考光干涉得到三維物體的計(jì)算圓柱全息圖H：

式中：?為參考光；conj表示共軛。

1.2 空間頻率與采樣間隔

為了更好地重建圖像，必須使圓柱方位角 θ和高度z方向上同時(shí)滿足采樣定理的條件。本文先通過點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)獲得函數(shù)的極值點(diǎn)，然后分析2 個(gè)方向上的空間頻率獲得采樣間隔需滿足的條件。

在 θ方向?qū)c(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)p(θ,z)求二階偏導(dǎo)數(shù)并令其等于0 得到：

圖2 PSF 二階偏導(dǎo)數(shù)與θ的關(guān)系Fig.2 Relations between second partial derivative of PSF and θ

θ方向的空間頻率表示為

一階偏導(dǎo)數(shù)在 [-π,-π/2)內(nèi) 遞增，在(-π/2,π/2)內(nèi)遞減，在 (π/2,π]內(nèi) 遞減。所以在 sinθ=1或sinθ=-1時(shí) 取得最值點(diǎn)。然后計(jì)算出 θ方向的采樣間隔應(yīng)滿足取模之后得到

在圓柱高度z方 向?qū)c(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)p(θ,z)求二階偏導(dǎo)數(shù)并令其等于0 得到：

計(jì)算得到 -12π2z4=0，解得z=0 ，由于z≠0時(shí)，所以一階偏導(dǎo)數(shù)遞減。圓柱高度z方向的空間頻率表示為

2 實(shí)驗(yàn)

2.1 再現(xiàn)像質(zhì)量分析

為了評價(jià)圓柱型層析計(jì)算全息系統(tǒng)的成像能力，依據(jù)（6）式和（9）式，空間頻率由點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)求得，對點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)做傅里葉變換便得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)。通過分析物體圓柱面和波長的變化對點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)和傳遞函數(shù)的影響來分析再現(xiàn)像質(zhì)量，并通過仿真實(shí)驗(yàn)來進(jìn)行驗(yàn)證。物面和全息面高度為10 cm，圓柱全息面半徑為10 cm，波長為300 μm，r取值范圍為0～0.2 m，sinθ=1 時(shí)，PSF 在 θ方向一階偏導(dǎo)數(shù)極值點(diǎn)變化情況如圖3（a）和圖3（b）所示；物面和全息面高度和圓柱全息面半徑條件不變，r= 0.01 m 時(shí)，λ取值范圍為300 μm～1 100 μm，z=h/2時(shí)，PSF 在z方向一階偏導(dǎo)數(shù)極值點(diǎn)變化情況如圖3（c）和圖3（d）所示。

圖3 PSF 在θ方向和 z方向一階偏導(dǎo)數(shù)變化情況Fig.3 Changes of first partial derivative of PSF in θand zdirections

對點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)，圖4（a）～圖4（c）分別是波長為300 μm，物圓柱面半徑為10 mm、5 mm 和2 mm 時(shí)的傳遞函數(shù)。圖4（d）～圖4（f）分別是物圓柱面半徑為10 mm，波長為400 μm、500 μm 和600 μm 時(shí)的傳遞函數(shù)。

通過以上對點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)和傳遞函數(shù)的分析可知，當(dāng)全息面半徑、物面和全息面高度確定，在滿足采樣定理?xiàng)l件下，物體圓柱面半徑越趨近于全息面半徑，或者波長越小時(shí)，空間頻率越大，傳遞函數(shù)分布范圍越大，成像質(zhì)量也就越好。

本文采用一張512×512 像素大小的圓柱面物體開展實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證以上分析，物面如圖5所示。

圖4 不同條件下的傳遞函數(shù)Fig.4 Transfer functions under different conditions

圖5 物體圓柱面Fig.5 Cylindrical surface of object

設(shè)定物面和全息面高度為10 cm，全息面半徑為10 cm，波長為300 μm 時(shí)，物圓柱面半徑分別為2 mm、4 mm、6 mm、8 mm 和10 mm 時(shí)再現(xiàn)情況如圖6所示，表1為再現(xiàn)像與原圖像的峰值信噪比和均方誤差。

對波長改變的情況進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，設(shè)定物面和全息面高度為10 cm，全息面半徑為10 cm，物體圓柱面半徑設(shè)為1 cm，波長分別為300 μm、350 μm、400 μm、450 μm 和500 μm時(shí)再現(xiàn)情況如圖7所示。表2為再現(xiàn)像與原圖像的峰值信噪比和均方誤差。

圖6 （a）～（e）分別為物圓柱面半徑2 mm、4 mm、6 mm、8 mm和10 mm 時(shí)的再現(xiàn)圖Fig.6 Reconstructed images while radii of cylindrical cross sections are 2 mm、4 mm、6 mm、8 mm and 10 mm

表1 物圓柱面半徑2 mm、4 mm、6 mm、8 mm 和10 mm 時(shí)再現(xiàn)像與原圖的PSNR 和MSETable1 PSNR and MSE while radii of cylindrical cross sections are 2 mm、4 mm、6 mm、8 mm and 10 mm

圖7 （a）～（e）分別為波長300 μm、350 μm、400 μm、450 μm和500 μm 時(shí)的再現(xiàn)圖Fig.7 Reconstructed images while wavelengths are 300 μm、350 μm、400 μm、450 μm and 500 μm

表2 波長300 μm、350 μm、400 μm、450 μm 和500 μm 時(shí)再現(xiàn)像與原圖的PSNR 和MSETable2 PSNR and MSE while wavelengths are 300 μm、350 μm、400 μm、450 μm and 500 μm

由上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析可知：在滿足采樣定理，確定波長、物面和全息面高度與全息面半徑的情況下，隨著物體圓柱面半徑變大，峰值信噪比也變大，均方誤差變小，再現(xiàn)像質(zhì)量越來越好；在確定物面和全息面高度以及物面與全息面半徑的情況下，隨著波長變大，峰值信噪比變小，均方誤差變大，再現(xiàn)像質(zhì)量越來越差，驗(yàn)證了本文的再現(xiàn)像質(zhì)量分析是正確的。在計(jì)算三維物體圓柱全息圖時(shí)，在滿足采樣定理?xiàng)l件下，選取較大的物面半徑和較小的波長有利于得到更清晰的再現(xiàn)像。

2.2 圓柱型層析計(jì)算全息實(shí)驗(yàn)

文中采用三維地球模型開展圓柱型層析計(jì)算全息實(shí)驗(yàn)，三維地球模型如圖8所示。物體圓柱面與全息面高度均為10 cm，全息面半徑設(shè)定為10 cm，參考光波長200 μm，分層后的物體圓柱面大小為512×1 024，最大半徑為1 cm。采用1.1 節(jié)方法計(jì)算圓柱全息圖，并再現(xiàn)不同角度和深度的信息。

圖8 三維地球模型Fig.8 Three-dimensional earth model

2.3 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

按上述實(shí)驗(yàn)過程計(jì)算得到了地球模型在半徑為10 cm 的圓柱全息面上的全息圖，大約用時(shí)2.5 s，如圖9（a）所示。之后采用圓柱面再現(xiàn)和平面再現(xiàn)兩種方法對再現(xiàn)結(jié)果來進(jìn)行觀測，圓柱面再現(xiàn)方法如下：

式中oc表示第n層的圓柱面再現(xiàn)像。再現(xiàn)柱面半徑為1 cm 時(shí)圓柱面再現(xiàn)圖如圖9（b）所示。此時(shí)虛線框中的區(qū)域聚焦，其他區(qū)域均處于離焦?fàn)顟B(tài)。

圖9 計(jì)算圓柱全息圖和圓柱面再現(xiàn)圖Fig.9 Computer generated cylindrical hologram and cylindrical surface reconstructed image

平面再現(xiàn)方法如圖10 所示。再現(xiàn)平面高度為10 cm，寬度為2 cm。因?yàn)樵佻F(xiàn)平面和全息面不是同心圓柱面，不滿足位移不變性，所以通過直接積分計(jì)算再現(xiàn)像：

式中：op表示平面再現(xiàn)方法的再現(xiàn)像；U×V為物體圓柱面像素大??；ruv表示全息面上與再現(xiàn)平面上對應(yīng)的點(diǎn)的距離。

圖10 計(jì)算圓柱全息圖平面再現(xiàn)示意圖Fig.10 Schematic diagram of planar reconstruction for computer generated cylindrical hologram

再現(xiàn)結(jié)果如圖11 所示，圖11（a）與圖11（b）選取的再現(xiàn)角度范圍相同，均為[-5π/18,13π/18]，但是再現(xiàn)平面深度不同。圖11（a）中再現(xiàn)平面位于r= 10 mm 處，正好等于三維地球模型的半徑，所以在中心處虛線框內(nèi)的“uth”清晰，其他區(qū)域離焦；圖11（b）中再現(xiàn)平面位于r=9.6 mm處，小于地球模型半徑，虛線框中聚焦位置也隨之改變，距離中心不遠(yuǎn)處的 “S”和“ca”清晰；圖11（c）選取的再現(xiàn)角度范圍為[-π/2,π/2]，再現(xiàn)平面位于為r=10 mm處，在中心處虛線框內(nèi)的“an”清晰，其他區(qū)域離焦；圖11（d）選取的再現(xiàn)角度范圍為[0,π]，再現(xiàn)平面位于r=9.4 mm處。虛線框中聚焦位置相比（b）離中心更遠(yuǎn)，“Afr”清晰。

圖11 （a）～（d）平面再現(xiàn)圖Fig.11 Planar reconstructed images

本實(shí)驗(yàn)采用圓柱面再現(xiàn)以及平面再現(xiàn)方法2 種方法，對三維地球模型的不同角度和深度的信息進(jìn)行了再現(xiàn)觀測，結(jié)果驗(yàn)證了文中方法實(shí)現(xiàn)了三維物體圓柱全息圖的生成以及不同角度和深度的再現(xiàn)。

3 結(jié)論

文中研究了一種圓柱型層析計(jì)算全息技術(shù)：將三維物體各分層圓柱截面光波與對應(yīng)的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)卷積后疊加得到全息面物光波分布，與參考光干涉后生成計(jì)算圓柱全息圖。分析了物體圓柱面半徑、波長變化對空間頻率和系統(tǒng)傳遞函數(shù)的影響，采用峰值信噪比和均方誤差對再現(xiàn)圖像質(zhì)量進(jìn)行評價(jià)。在此理論基礎(chǔ)上確定實(shí)驗(yàn)參數(shù)，有利于獲得更加清晰的三維物體不同角度和深度的再現(xiàn)像。以三維地球模型作為實(shí)驗(yàn)對象生成圓柱全息圖并進(jìn)行再現(xiàn)，得到了較好的三維物體的不同角度與深度的再現(xiàn)結(jié)果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文的方法對三維物體的 360?全視場顯示具有較高的應(yīng)用價(jià)值。