圖 雅, 滿 園, 高早春

(1. 沈陽師范大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 沈陽 110034; 2. 中國原子能科學(xué)研究院, 北京 102413)

由于原子核是一個量子多體體系,因此求解其波函數(shù)及能譜一般通過解體系的薛定諤方程。傳統(tǒng)殼模型[1]就是基于這種思想。但隨著研究逐步向重核推廣,其殼模型(shell model, SM)組態(tài)空間會急速增大,因此精確求解本征波函數(shù)的計(jì)算量急劇增大,計(jì)算將變得異常困難。為此,人們提出各種近似方法,如組態(tài)空間截斷法[2],量子蒙特卡洛方法[3-4],以及VAMPIR(Variation After Mean-field Projection In Realistic model spaces)方法[5-6]等,以期得到很好的殼模型近似結(jié)果。VAMPIR方法曾被認(rèn)為是最有前景的殼模型近似方法。但由于VAMPIR方法在計(jì)算上的復(fù)雜性,使其在實(shí)際計(jì)算中很難進(jìn)一步開展。本文中的投影后變分方法(Variation After Projection,VAP)方法[7-11]克服了VAMPIR方法計(jì)算復(fù)雜的問題。一是在VAMPIR方法中,考慮角動量+質(zhì)子數(shù)+中子數(shù)投影,需要5重積分,但我們的研究指出角動量投影是獲得好的殼模型近似的關(guān)鍵。因此,可將積分改為3重積分。二是VAMPIR方法中對激發(fā)態(tài)的求解是逐個態(tài)進(jìn)行的,而本文的方法是對要求的所有低激發(fā)態(tài)同時變分。這些改進(jìn)都提升了計(jì)算效率。截至目前,投影后變分方法的模型空間還僅限于一個主大殼,這使得該理論方法應(yīng)用范圍十分有限。要想實(shí)現(xiàn)殼模型理論向重核推進(jìn),必須將模型空間擴(kuò)展至多個主大殼。本文中將模型空間擴(kuò)展至多個主大殼,力爭實(shí)現(xiàn)全面描述原子核的各種低激發(fā)態(tài)。對于多主殼投影后變分方法,主要需要處理兩大類問題。一是波函數(shù)中宇稱發(fā)生混合,因此本文加入宇稱投影,二是對于質(zhì)心問題的處理,我們采用與標(biāo)準(zhǔn)殼模型一致的方法[12]。用改進(jìn)后的VAP方法在psd模型空間中計(jì)算了12C、16O的低激發(fā)態(tài)能量。

1 VAP理論框架

如果進(jìn)一步考慮將模型空間擴(kuò)展至多個主大殼,HF真空態(tài)的空間反射對稱性遭到破壞,宇稱不再是好量子數(shù)。因此,在已有的VAP方法的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步考慮宇稱投影。選取一組(n個)HF真空態(tài)進(jìn)行自旋和宇稱投影。將投影后得到的投影基進(jìn)行線性疊加,得到試探波函數(shù)為

其中,

事實(shí)上,fKi及能量EJ是通過求解如下Hill-Wheeler(HW)方程[14]

由于考慮多個主大殼,需要考慮質(zhì)心問題。對于質(zhì)心問題采用的方法是在原殼模型哈密頓量HSM上加一質(zhì)心諧振子項(xiàng)[12],即采用與標(biāo)準(zhǔn)殼模型完全一致的辦法。

2 計(jì)算結(jié)果與討論

以定義在psd殼的哈密頓量PSDMK[15]為例開展VAP計(jì)算。計(jì)算中均已經(jīng)考慮了質(zhì)心修正并取式(9)中β=10,對12C的J≤4正負(fù)宇稱態(tài)下的暈態(tài)能量(m=1)進(jìn)行了計(jì)算,對于暈態(tài)能量的計(jì)算,采用最簡單的情形即取n=1,計(jì)算結(jié)果如圖1?？梢钥闯鯲AP能量EVAP與殼模型能量ESM的值非常接近,但是仍然沒有達(dá)到近似要求。通過進(jìn)一步增加SD的個數(shù)來改變近似性,取n=5的結(jié)果如圖2,可以看出新的VAP方法能夠給出很好的殼模型近似解。

圖1 采用1個Slater行列式計(jì)算的12C暈態(tài)能量與相應(yīng)殼模型能量的對比。采用的相互作用為PSDM

圖2 采用5個Slater行列式計(jì)算的12C暈態(tài)能量與相應(yīng)殼模型能量的對比。采用的相互作用為PSDMK

對于非暈態(tài)能量的計(jì)算,以12C的J=0正宇稱態(tài)下的非暈態(tài)能量為例進(jìn)行了計(jì)算,取n=5,10以及m=5,計(jì)算結(jié)果如圖3。可以看出VAP能量EVAP與殼模型能量ESM的值非常接近,獲得殼模型近似結(jié)果很好。改進(jìn)后的VAP方法不但對暈態(tài)能量而且對非暈態(tài)能量的計(jì)算都是有效的。

還可以從圖中看出當(dāng)n=10時,計(jì)算的VAP能量比n=5時計(jì)算的能量值更加接近殼模型精確解。因此,這也進(jìn)一步說明了SD的取值越大,計(jì)算得到的解近似性越好。如果想要得到更加近似的殼模型精確解,可以通過進(jìn)一步增加SD的取值,以得到想要的結(jié)果。

圖3 采用5,10個Slater行列式計(jì)算的12C暈態(tài)和非暈態(tài)能量與相應(yīng)殼模型能量的對比采用的相互作用為PSDMK

圖4 采用n=5的16OVAP暈態(tài)能量與相應(yīng)殼模型能量的比較。采用的相互作用為PSDMK

為了驗(yàn)證改進(jìn)后的VAP方法運(yùn)用的普遍性,又對16O原子核的暈態(tài)能量進(jìn)行計(jì)算并與其相應(yīng)的殼模型能量進(jìn)行對比,J≤4的結(jié)果如圖4,可以看出,計(jì)算出的VAP能量與殼模型能量仍然非常接近。這也進(jìn)一步驗(yàn)證了改進(jìn)后的VAP方法在psd模型空間計(jì)算的有效性。

3 結(jié) 語

本文在前面工作的基礎(chǔ)上,將VAP方法進(jìn)一步改進(jìn),考慮宇稱投影,將模型空間進(jìn)一步擴(kuò)展至多個主大殼,實(shí)現(xiàn)了同一個核中正負(fù)宇稱態(tài)的完整描述,說明改進(jìn)后的VAP方法仍是有效的。基于此,將繼續(xù)深入地研究VAP方法。希望將該方法向更重的核區(qū)推廣,進(jìn)一步解釋更多的物理現(xiàn)象。如果能夠在重核區(qū)取得比現(xiàn)有理論方法更加優(yōu)化的原子核近似波函數(shù),這將進(jìn)一步改善核理論對重核區(qū)的微觀定量描述,將從根本上推動核理論研究的進(jìn)一步發(fā)展,同時也將有助于人們對原子核各種性質(zhì)的更準(zhǔn)確認(rèn)識。隨著研究的不斷深入,未來的VAP方法研究將會更加復(fù)雜。但是,VAP方法也將會有用于解釋更多有趣的物理現(xiàn)象,如質(zhì)子和中子的對關(guān)聯(lián),形狀共存等。