朱樹金

【摘 要】 對中美高中數(shù)學教材中“圓錐曲線”內(nèi)容從內(nèi)容呈現(xiàn)特征、內(nèi)容呈現(xiàn)結構、例題與習題四方面進行比較研究.內(nèi)容呈現(xiàn)特征方面，中國教材信息技術使用數(shù)量少但方式均衡，注重數(shù)學史的融入，美國教材色彩艷麗，形象直觀，信息技術運用數(shù)量多但主要應用于解題;內(nèi)容呈現(xiàn)結構方面，中國教材具有連續(xù)性好、系統(tǒng)性強的優(yōu)點，美國教材知識完整性好，兩國教材概念引入方式、知識點的廣度略有差別;例題方面，兩國教材的例題數(shù)量和類型無較大差別，且都注重數(shù)學圖和旁白的插入，但美國教材例題表現(xiàn)形式更加豐富，求解過程更加詳細;習題方面，美國教材習題比中國教材數(shù)量大、類型多，且重視重復性的練習，重視探究開放題.并據(jù)此提出了我國教材編寫的思考與建議.

【關鍵詞】 圓錐曲線;中美;教材比較

1 問題提出

教材是根據(jù)課程標準編寫的教學規(guī)范用書，是老師上課的主要參考材料.英國劍橋大學Ken Ruthven在2014年數(shù)學教材研究與發(fā)展國際會議中指出：當今數(shù)學教材的形式及其在數(shù)學教學中的地位發(fā)生了很大變化，對教材的研究分析應該受到人們更多的重視[1].

作為代數(shù)與幾何交界處的內(nèi)容，一方面，“圓錐曲線”是高中數(shù)學中十分重要的內(nèi)容，同時也是高考中占比大、難度高的部分，蘊含著數(shù)形結合、函數(shù)與方程、轉化與化歸等豐富的數(shù)學思想;另一方面，“圓錐曲線”與科研、生產(chǎn)以及人類的生活具有十分密切的聯(lián)系[2].然而，通過文獻分析發(fā)現(xiàn)很多研究是從宏觀層面分析一本教材或者幾何與代數(shù)等的某一模塊內(nèi)容，很少有研究者去研究一個特定數(shù)學內(nèi)容概念化、結構化的呈現(xiàn)方式[3]，而關于“圓錐曲線”部分的研究就更少之又少了.通過對中美教材“圓錐曲線”部分進行比較研究，改進課程與教學，可以幫助學生掌握數(shù)學的思想方法，提高學生的學習成績，使學生認識到圓錐曲線與其他科學的聯(lián)系并將其應用到實際生活.

本研究選取中國和美國數(shù)學教材“圓錐曲線”內(nèi)容作為研究對象，從內(nèi)容呈現(xiàn)特征、內(nèi)容呈現(xiàn)結構、例題與習題四方面進行比較，分析兩個國家數(shù)學教材的特色與差異，總結教材中關于圓錐曲線部分的設計與編排啟示.

2 研究設計

2.1 研究樣本

國內(nèi)選取使用范圍最廣的人民教育出版社2008年出版的數(shù)學A版教材《數(shù)學必修2》和《數(shù)學選修2-1》（以下簡稱人教版）;美國沒有全國性的教材評審機構，聯(lián)邦政府教育部沒有對中小學教材進行審定的責任與義務，教材的評估與選定根據(jù)各州的實際情況而定，因此選取美國使用范圍很廣的全球知名出版公司Pearson教育集團2008年出版的《Algebra2》（以下簡稱PR版）

.2.2 研究方法

定性描述與定量刻畫相結合的方法.

3 研究結果

3.1 內(nèi)容呈現(xiàn)特征

3.1.1 宏觀比較

內(nèi)容呈現(xiàn)結構的宏觀方面將從內(nèi)容所占頁數(shù)、直觀特點和欄目設置三個方面進行比較分析.

人教版“圓錐曲線”內(nèi)容所占頁數(shù)多于PR版，分別為為77頁和59頁，且兩個版本教材每頁所承載的內(nèi)容量大體相同.

直觀特點方面，PR版教材比人教版更加色彩艷麗、形象直觀.PR版教材視覺效果華麗，將概念、定理等用不同色彩的底色襯托或者用方框標出，實物圖、彩色照片的數(shù)量豐富，內(nèi)容更加直觀形象;人教版教材概念、定理等的標注沒有PR版醒目直觀，彩色圖片等偏少.PR版教材視覺感受更加舒適，更加具有趣味性和感知性，但是圖片繁多有可能分散學生對具體數(shù)學知識的注意力，對于抽象思維能力較高的高中生是否還要進行這樣的處理需要教育學、心理學等相關研究者進行更加深入的分析研究.

人教版和PR版“圓錐曲線”內(nèi)容的欄目設置如表1.

人教版和PR版“圓錐曲線”內(nèi)容欄目設置都十分豐富，各有特色.人教版閱讀思考等為其特色欄目，提供一些數(shù)學史故事、數(shù)學問題供學生閱讀;PR版節(jié)目標、專題為其特色欄目.

PR版教材可讀性更強，有利于學生自學.PR版教材在一節(jié)內(nèi)容開始之前列出該節(jié)學習目標，學生通過學習目標獲得本節(jié)主要學習內(nèi)容、重點內(nèi)容等，從而更好地進行接下來的學習.當前高中生的抽象能力已經(jīng)隨年齡增長大大增強，及時引導學生進行自學有利于學生在不斷解決數(shù)學問題、克服數(shù)學苦難的過程中逐漸增強學習信心，提高學生學習數(shù)學的興趣，有利于教師有針對性地進行教學，增強學習效率[4].

PR版教材部分章節(jié)后面會有節(jié)后專題，主要介紹一種與前節(jié)知識相關的數(shù)學思想方法或技能，如在第一節(jié)“圓錐曲線探索”之后有“用圖形計算器畫圓錐曲線”的專題.這樣的設計安排一方面可以幫助學生鞏固所學知識，另一方面，學生使用計算軟件的能力在專題訓練中得到加強.

3.1.2 微觀比較

內(nèi)容呈現(xiàn)特征的微觀方面從信息技術運用和數(shù)學史融入兩個方面進行比較.

根據(jù)兩版本教材信息技術使用的特點將信息技術使用方式分為解題、驗證、探究、引入新知四類.解題為要求使用信息技術進行解題;驗證為使用信息技術驗證所得答案的正確性;探究為使用信息技術進行探究性的活動;引入新知為使用信息技術分析問題從而引入新的知識.人教版和PR版“圓錐曲線”內(nèi)容信息技術使用的數(shù)量及方式如表2.

首先，PR版“圓錐曲線”內(nèi)容信息技術運用數(shù)量遠大于人教版;其次，人教版信息技術被均勻用于解題、探究和引入新知，而PR版主要用于解題;另外，人教版注重幾何畫板的使用，PR版注重圖形計算器的使用;特別的，PR版會有信息技術的專題，如在第一節(jié)后的專題“用圖形計算器畫圓錐曲線圖象”培養(yǎng)學生使用圖形計算器的能力.

汪曉勤按照數(shù)學史與數(shù)學知識的關聯(lián)程度，將數(shù)學教材運用數(shù)學史的方式分為五類：點綴式、附加式、復制式、順應式、重構式[5].人教版“圓錐曲線”內(nèi)容有兩處數(shù)學史的融入，分別在章引言和閱讀與思考部分，在章引言部分介紹了笛卡爾坐標系，在閱讀與思考部分介紹了坐標法與機器證明的發(fā)展過程，融入數(shù)學史的方式均為附加式;PR版教材中無數(shù)學史的引用.3.2 內(nèi)容呈現(xiàn)結構3.2.1 宏觀比較

內(nèi)容呈現(xiàn)結構的宏觀方面將從內(nèi)容所在章、前后章及本章各節(jié)安排三個方面進行比較分析.

人教版和PR版“圓錐曲線”內(nèi)容所在章、前后章如表3.

首先，人教版和PR版“圓錐曲線”內(nèi)容所在章的設計安排存在不同.人教版圓錐曲線內(nèi)容分布于《數(shù)學必修2》的第4章“圓與方程”和《數(shù)學選修2-1》的第2章“圓錐曲線與方程”，由于各地區(qū)學校的教學計劃不同兩本教材的學習時間也有所差異，一般分別在高一下學期和高二上學期進行學習;PR版教材圓錐曲線內(nèi)容在《Alegbra2》的第10章“Quadratic Relations and Conic Sections（圓錐曲線）”.人教版“圓錐曲線”內(nèi)容采用螺旋上升式的安排方式，分別在兩本教材中完成圓錐曲線整個知識模塊的學習，這樣可以減輕學生的學習負擔，但是明顯增加了學生后續(xù)學習相關知識復習和回憶的壓力，可能還造成部分學生因不能及時復習知識而增加學習新知的難度;PR版一次性學完“圓錐曲線”內(nèi)容，短期內(nèi)對學生形成相對完整的刺激，有利于整體知識模塊的理解和記憶.

其次，人教版和PR版“圓錐曲線”內(nèi)容與前后章節(jié)的聯(lián)系也存在差異.人教版版在學習完“直線的方程”后學習“圓的方程”，在滲透了用代數(shù)解決幾何問題的思想之后學習圓錐曲線;PR版圓錐曲線所在章上一章為“數(shù)列和級數(shù)”，下一章為“統(tǒng)計與概率”，與圓錐曲線均無直接關聯(lián)，而“直線的方程”知識點安排在PR版的第2章“函數(shù)、方程和圖象”中.人教版在進行知識模塊的安排時更加注重知識間的聯(lián)系，連續(xù)性更好，系統(tǒng)性更強，PR版更加注重知識的整體性，與前后知識模塊的聯(lián)系與人教版相比較弱.

人教版和PR版“圓錐曲線”內(nèi)容各節(jié)安排如表4.

首先，人教版和PR版“圓錐曲線”內(nèi)容主體部分相同但又各有特色.人教版“圓錐曲線”內(nèi)容共包括7節(jié)，PR版共包括6節(jié)，兩者主要包括圓、橢圓、雙曲線、拋物線4節(jié)，人教版特有節(jié)為“直線、圓的位置關系”“空間直角坐標系”“曲線與方程”，PR版特有節(jié)為“圓錐曲線探索”和“圓錐曲線的變換”，其他節(jié)內(nèi)容相對應.人教版更加注重圖形間的位置關系，曲線與方程;PR版更加注重圓錐曲線的概念，圓錐曲線的圖形變換.

其次，人教版“圓錐曲線”部分按圓、橢圓、雙曲線、拋物線的順序進行教材編寫;而PR版按拋物線、圓、橢圓、雙曲線的順序進行教材編寫.

另外，人教版“圓的方程”一章用到平面直角坐標系來解決與圓有關的一些平面幾何問題，因此在此章的第三節(jié)學習空間直角坐標系，要求學生會用空間直角坐標系表示空間中的點，但無更多的應用，因此其位置設計安排有待人們進行更多的思考研究.3.1.2 微觀比較

內(nèi)容呈現(xiàn)結構的微觀方面將從概念引入方式、知識點的廣度、相同知識點的差異三個方面進行比較.

人教版和PR版“圓錐曲線”部分各概念的引入方式大體上“不謀而合”，且人教版引入方式相對更加豐富.兩個版本教材都由平面截圓錐引入圓錐曲線的定義，都直接給出圓的定義;人教版先介紹了生活中的橢圓，然后通過用線和筆畫橢圓引入橢圓的定義，PR版直接通過用線和筆畫橢圓引入;人教版先類比橢圓然后通過用拉鏈和筆畫雙曲線引入雙曲線的定義，PR版直接給出;人教版先舉例再通過幾何畫板作圖引入拋物線的定義，PR版給出拋物線圖像后引入.

知識點指的是教材中單元標題、單元的下一級標題、教材中加粗或其他顏色標出的定義定理等.人教版和PR版“圓錐曲線”內(nèi)容知識點如表5.

基于上述概念界定發(fā)現(xiàn)人教版版和PR版“圓錐曲線”部分知識點數(shù)量相差不大（38比36）.由表可知兩個教材的核心知識點基本相同，均由圓、橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程與性質構成，人教版另外給出了圓的一般方程、離心率等的概念，討論了圓與直線的位置關系、圓與圓的位置關系;PR版另外注重圓錐曲線圖像的移動，焦點不在坐標軸上的橢圓、雙曲線、拋物線的一般方程.

中美兩國高中數(shù)學教材中絕大多數(shù)知識點的表示方法都相同，但是由于基礎教育階段國際交流較少，所以中美兩國高中數(shù)學中部分概念、性質、定理的表述和表達方式存在差異.如兩個版本教材拋物線的標準方程定義不同，關于焦點在x軸正半軸上拋物線的標準方程人教版為y2=2px（焦點坐標為（p2，0）），PR版為 x=14cy2（焦點坐標為（c，0））.

3.3 例題

例題的宏觀方面從數(shù)量和類型兩個方面進行比較，例題的微觀方面從例題的呈現(xiàn)形式和例題的求解特征兩個方面進行比較.

按陳月蘭等人[6]的例題分類方式，將例題分為純數(shù)學例題和背景性例題，純數(shù)學例題以數(shù)字、符號的方式呈現(xiàn)，不涉及任何現(xiàn)實問題情境，背景性例題以現(xiàn)實世界為背景;例題的表現(xiàn)形式包括數(shù)學圖、非數(shù)學圖、表、信息技術、旁白.人教版和PR版圓錐曲線內(nèi)容例題的數(shù)量、類型和呈現(xiàn)形式如表6.

首先，人教版和PR版“圓錐曲線”內(nèi)容例題數(shù)量和各類型占比無較大差別，例題數(shù)量人教版略大于PR版，分別為34和26，人教版純數(shù)學例題的比例略高于PR版.

其次，人教版和PR版“圓錐曲線”內(nèi)容例題的表現(xiàn)形式都十分豐富，都在例題中插入了大量的圖片與旁白;PR版在例題中插入了更多的非數(shù)學圖和表，這和PR版數(shù)學教材直觀形象的特點相吻合;PR版在例題中同樣注重使用信息技術解決或者驗證數(shù)學問題，而人教版未涉及使用信息技術求解例題.

例題的求解特征方面，人教版通過簡單分析后求解或者直接求解的方式求解例題，形式化、抽象化程度高;PR版會有更全面直觀的分析過程，更詳細的求解過程，這也和PR版更適合學生自學的特點相符合.

3.4 習題

3.4.1 宏觀比較

習題宏觀方面從習題的數(shù)量和類型進行比較.此處習題指教材中除例題以外的所有問題.人教版和PR版習題數(shù)量和類型如表7.