王 芳,楊秀良
(杭州師范大學(xué)理學(xué)院,浙江 杭州 311121)
眾所周知,每個(gè)有限逆半群都嵌入到某個(gè)有限對(duì)稱逆半群[1].設(shè)In是有限集Xn={1,2,…,n}上的對(duì)稱逆半群,它的逆子半群IOn={α∈In|?x,y∈dom(α),x≤y?xα≤yα}最近引起了人們極大的關(guān)注[2-7]. 特別地,Al-Kharousi等[7]研究了IOn的保序等距子半群
ODPn={α∈IOn|?x,y∈dom(α),|x-y|=|xα-yα|}∪{?}
的生成元集和秩,且它為逆半群.本文將ODPn拓展到更大的IOn的子半群,即保序擴(kuò)張和保序伸縮兩個(gè)子半群:
OEXn={α∈IOn|?x,y∈dom(α),|x-y| ≤|xα-yα|}∪{?},
OCOn={α∈IOn|?x,y∈dom(α),|x-y|≥|xα-yα|}∪{?}.
類A半群的定義見[8],設(shè)A為半群S的一個(gè)生成元集,如果對(duì)任意a∈A,A{a}不能生成S,則稱A為半群S的一個(gè)極小生成元集.一個(gè)有限半群S的秩[7]定義為
rank(S)=min{|A|∶A?S,〈A〉=S}.
本文的主要結(jié)果如下:
定理1半群OEXn是一個(gè)非正則類A半群,ODPn是OEXn的最大逆子半群.
定理2OEXn任一個(gè)極小生成元集為
其中,γX表示X中的元,
且rank(OEXn)=2n-1.
Green-關(guān)系的定義見[1].設(shè)α∈OEXn,dom(α)和im(α)依次表示α的定義域和值域.
引理1設(shè)α,β∈OEXn,則
現(xiàn)任取x,y∈A,于是|xα-yα|≤|(xα)δ1-(yα)δ1|=|xβ-yβ|,且 |xβ-yβ|≤|(xβ)γ1-(yβ)γ1|=|xα-yα|.故|xα-yα|=|xβ-yβ|.
又因α,β∈OEXn,于是任取x,y∈A有x≤y?xα≤yα,xβ≤yβ.因此xα-yα=xβ-yβ.
綜上,得dom(α)=dom(β)=A,且對(duì)任意x,y∈A,xα-yα=xβ-yβ.
“?”.設(shè)dom(α)=dom(β)=A,且對(duì)任意x,y∈A,xα-yα=xβ-yβ,可令
則ai-aj=bi-bj且xi≤xj?ai≤aj,bi≤bj(?i,j∈{1,2,…,k}),從而ai≤aj?bi≤bj,bi≤bj?ai≤aj(?i,j∈{1,2,…,k}).現(xiàn)令
現(xiàn)任取x,y∈B,于是由(xα-1)γ2β=x且(yα-1)γ2β=y得(xα-1)γ2=xβ-1且(yα-1)γ2=yβ-1.從而
|xα-1-yα-1|≤|(xα-1)γ2-(yα-1)γ2|=|xβ-1-yβ-1|.
又由(xβ-1)δ2α=x且(yβ-1)δ2α=y得(xβ-1)δ2=xα-1且(yβ-1)δ2=yα-1.從而
|xβ-1-yβ-1|≤|(xβ-1)δ2-(yβ-1)δ2|=|xα-1-yα-1|.
故|xα-1-yα-1|=|xβ-1-yβ-1|.
又因γ2∈OEXn,于是任取x,y∈B有xα-1≤yα-1?(xα-1)γ2≤(yα-1)γ2?xβ-1≤yβ-1.因此xα-1-yα-1=xβ-1-yβ-1.
綜上,得im(α)=im(β)=B,且對(duì)任意x,y∈B,xα-1-yα-1=xβ-1-yβ-1.
“?”.設(shè)im(α)=im(β)=B,且對(duì)任意x,y∈B,xα-1-yα-1=xβ-1-yβ-1,可令
則ai-aj=bi-bj且ai≤aj?yi≤yj,bi≤bj?yi≤yj(?i,j∈{1,2,…,k}),從而ai≤aj?bi≤bj,bi≤bj?ai≤aj(?i,j∈{1,2,…,k}).令
xi-xj=yi-yj,yiβ-yjβ=xiα-xjα(?i,j∈{1,2,…,k}).
故|dom(α)|=|dom(β)|=k,且設(shè)dom(α)={x1,x2,…,xk},存在排序dom(β)={y1,y2,…,yk}使
xi-xj=yi-yj,yiβ-yjβ=xiα-xjα(?i,j∈{1,2,…,k}).
“?”.設(shè)|dom(α)|=|dom(β)|=k,且dom(α)={x1,x2,…,xk},存在排序dom(β)={y1,y2,…,yk}使
xi-xj=yi-yj,yiβ-yjβ=xiα-xjα(?i,j∈{1,2,…,k}).
從而任取xi,xj∈dom(α),yi,yj∈dom(β)有yi≤yj?xi≤xj?xiα≤xjα且|yi-yj|=|xi-xj|≤|xiα-xjα|(?i,j∈{1,2,…,k}).
引理2設(shè)α,β∈OEXn,則
因此dom(α)=dom(β).
因此im(α)=im(β).
□
引理3設(shè)α,β∈OEXn,
從而由引理2得
|im(α)|=|im(δ1)|,im(δ1)=im(δ2),|im(δ2)|=|im(δ3)|,im(δ3)=im(β).
故|im(α)|=|im(β)|.
從而由引理2得
im(α)=im(γ1),|im(γ1)|=|im(γ2)|,im(γ2)=im(γ3),|im(γ3)|=|im(β)|.
故|im(α)|=|im(β)|.
□
其中|xi-xj|≤|ai-aj|,|yi-yj|≤|bi-bj|且xi≤xj?ai≤aj,yi≤yj?bi≤bj(?i,j∈{1,2,…,k}且i≤j).
其中|xi-xj|≤|ai-aj|,|yi-yj|≤|bi-bj|且xi≤xj?ai≤aj,yi≤yj?bi≤bj(?i,j∈{1,2,…,k}且i≤j).
□
引理5α∈OEXn為正則元當(dāng)且僅當(dāng)α∈ODPn.
證明“?”.若α∈ODPn,則α是逆元,從而α是正則元.又因ODPn?OEXn,故α是OEXn的正則元.
“?”.若α∈OEXn是正則元,則存在β∈OEXn使αβα=α.于是,任意x∈dom(α),有xαβ=(xαβα)α-1=xαα-1=x.現(xiàn)任意x,y∈dom(α),有
|x-y|≤|xα-yα|≤|(xα)β-(yα)β|=|x-y|.
從而|xα-yα|=|x-y|.又由α∈OEXn,則α∈IOn,故α∈ODPn.
□
定理1的證明先證半群OEXn是一個(gè)類A半群.
易知E(OEXn)是一個(gè)半格,于是有OEXn是一個(gè)適當(dāng)半群.
任取α∈OEXn,ε是OEXn的任意冪等元,則ε是恒等映射,現(xiàn)定義φε,α∈OEXn為
(x)φε,α=x(?x∈im(εα)),dom(φε,α)=im(εα).
接下來(lái)定義φα,ε∈OEXn為
(x)φα,ε=x(?x∈dom(αε)),dom(φα,ε)=dom(αε).
最后證ODPn是OEXn的最大逆子半群.從[7]知ODPn是OEXn的逆子半群.任取S是OEXn的一個(gè)逆子半群且滿足ODPn?S?OEXn.現(xiàn)任取α∈S,則α是可逆的,從而α是一個(gè)正則元,進(jìn)而由引理5可得α∈ODPn.故S?ODPn.因此S=ODPn,即ODPn是OEXn的最大逆子半群.
□
以下探討OEXn的任一個(gè)極小生成元集.
(4)n-1=12…n-112…n-1 12…n-123…n 23…n12…n-1 23…n23…n .
對(duì)i∈{2,3,…,n-1},令
(2)(n-1,i)=1…i-1ii+1…n-11…i-1i+1i+2…n 2…ii+1…n1…i-1i+1…n .
(1)(n-1,i)=1…i-1i+1…n1…i-1i+1…n .
(4)n-1=θσθσσθ .
結(jié)論成立.
□
(2)(n-1,i)=ασα .
(2)(n-1,i)=θαα .
綜上,結(jié)論成立.
□
證明當(dāng)k=0 時(shí),顯然結(jié)論成立.對(duì)k≤n-2,有n-k≥2.下對(duì)k≥1分情況討論.
情況2當(dāng)x 情形1 若y-x=1,則存在元a∈Xn使a 情況3當(dāng)x>y時(shí),可仿照情況2的證明過(guò)程,結(jié)論成立. 情況1若存在y∈Xn使xi 顯然β,γ∈OEXn且計(jì)算可得α=βγ. 情況2若xi+1-xi=1(i∈{1,2,…,k-1}),dom(α)分3種情形討論. 情形1 若xn=n,即dom(α)={n-k+1,n-k+2,…,n}.存在元b∈Xnim(α),不妨設(shè)ai 顯然β,γ∈OEXn且計(jì)算可得α=βγ. 情形2 若x1=1,即dom(α)={1,2,…,k}.存在元b∈Xnim(α),不妨設(shè)ai 顯然β,γ∈OEXn且計(jì)算可得α=βγ. 情形3 若x1≠1且xk≠n.證明同情形1或者情形2的證明過(guò)程. □ 引理9A是OEXn的任意生成元集,則 1)ε,θ,σ∈A; 證明1)由推論1知ε∈A,且易知任取a∈A都有aε=εa=a.下證θ,σ∈A. 2)在以下證明中出現(xiàn)的i,都表示為i∈{2,3,4,…,n-1}. □ 定理2的證明由引理6、7、8及推論1知 是OEXn的生成元集.由引理9得,任取α∈S,都有S{α}不是OEXn的生成元集,故S是OEXn的極小生成元集.又由引理9易知OEXn任一個(gè)極小生成元集為 且計(jì)算得rank(OEXn)=2n-1. □