亓興軍，趙 越，趙 奇

(1. 山東建筑大學(xué) 交通工程學(xué)院，山東 濟(jì)南 250101； 2. 山東建筑大學(xué) 山東省高校土木結(jié)構(gòu)防災(zāi)減災(zāi)協(xié)同創(chuàng)新中心，山東 濟(jì)南 250101)

0 引 言

橋梁是供鐵路、公路、渠道、管線等跨越河、山谷或其他障礙的具有承載能力的架空建筑物，是交通設(shè)施互聯(lián)互通的樞紐點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)[1]。隨著中國交通運(yùn)輸行業(yè)的不斷發(fā)展，公路運(yùn)輸量日益增長(zhǎng)，超速、超重車輛也不斷增加，給公路橋梁帶來巨大的壓力，再加上復(fù)雜的環(huán)境因素影響，嚴(yán)重影響了橋梁的使用性能和結(jié)構(gòu)安全，使得橋梁的承載能力和使用壽命迅速降低。因此，對(duì)于橋梁運(yùn)營(yíng)狀態(tài)進(jìn)行有效快速的評(píng)估具有重要的意義。

評(píng)估橋梁狀態(tài)的方法有經(jīng)驗(yàn)評(píng)定法、綜合評(píng)定法、荷載試驗(yàn)法和影響線法[1-6]。目前主要應(yīng)用荷載試驗(yàn)法對(duì)橋梁運(yùn)營(yíng)狀態(tài)進(jìn)行安全性評(píng)估。荷載試驗(yàn)按照加載方式不同可分為靜載試驗(yàn)和動(dòng)載試驗(yàn)。靜載試驗(yàn)的主要方法是選用等效于設(shè)計(jì)荷載的車輛荷載對(duì)橋梁進(jìn)行加載，測(cè)量橋梁的靜載應(yīng)變和靜載撓度，可以對(duì)橋梁承載力進(jìn)行較為直觀的評(píng)估。經(jīng)過多年的發(fā)展，橋梁靜載試驗(yàn)已形成了完整的理論和方法，相關(guān)部門已頒布了相應(yīng)的規(guī)范與標(biāo)準(zhǔn)，廣泛應(yīng)用于現(xiàn)役大中型橋梁承載力狀態(tài)評(píng)估。由于靜載試驗(yàn)流程復(fù)雜，加載時(shí)間長(zhǎng)，且需要中斷交通，耗費(fèi)大量的人力物力，所以難以廣泛應(yīng)用于小型橋梁承載力狀態(tài)評(píng)估[7-8]。然而橋梁模態(tài)撓度的測(cè)量較為簡(jiǎn)單，且不需要中斷交通在橋面加載試驗(yàn)車輛，只需要在橋面布置加速度傳感器，利用環(huán)境激勵(lì)或者交通激勵(lì)，獲得橋梁的動(dòng)力響應(yīng)數(shù)據(jù)，再對(duì)響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行模態(tài)分析，獲得橋梁各階的模態(tài)參數(shù)，進(jìn)而計(jì)算出橋梁的位移柔度矩陣[9-10]。利用位移柔度矩陣可以計(jì)算橋梁在靜載試驗(yàn)工況下各控制面模態(tài)撓度，代替靜載試驗(yàn)的實(shí)測(cè)撓度，從而評(píng)價(jià)橋梁承載力狀態(tài)?；谀B(tài)撓度評(píng)估橋梁承載力的方法具有成本低、時(shí)間短、操作方便等優(yōu)點(diǎn)，能彌補(bǔ)傳統(tǒng)靜載試驗(yàn)中必須長(zhǎng)時(shí)間中斷交通的缺點(diǎn)，具有廣闊的工程應(yīng)用前景。

本文以龍山橋?yàn)檠芯繉?duì)象，建立空間梁格有限元模型，探討基于模態(tài)撓度的靜載試驗(yàn)評(píng)估斜交橋梁承載力的可行性。

1 模態(tài)位移柔度計(jì)算方法

1.1 模態(tài)位移柔度定義

柔度表示的是結(jié)構(gòu)在單位力作用下的位移，與剛度互為倒數(shù)，可以表征結(jié)構(gòu)在線彈性狀態(tài)下的變形能力，對(duì)結(jié)構(gòu)的損傷定位、定量和性能評(píng)估具有明確意義[11]。按照測(cè)試方法不同可以將柔度分為靜力位移柔度和模態(tài)位移柔度，通過靜力試驗(yàn)和靜力分析方法得到的柔度稱為靜力位移柔度；通過模態(tài)試驗(yàn)及模態(tài)分析方法得到的柔度稱為模態(tài)位移柔度[12]。理論上，如果能有足夠多階的模態(tài)階數(shù)用于計(jì)算結(jié)構(gòu)的柔度，那么就可以得到精確的柔度數(shù)值。在忽略測(cè)量誤差的前提下，假設(shè)結(jié)構(gòu)處于線彈性狀態(tài)下，其模態(tài)位移柔度與靜力位移柔度在數(shù)值上是相同的[2]。利用位移柔度矩陣可以預(yù)測(cè)橋梁在已知荷載作用下的模態(tài)位移，從而代替靜力位移。如今，常用2種方法計(jì)算模態(tài)位移柔度：方法1，基于角頻率和附加質(zhì)量的質(zhì)量歸一化振型計(jì)算模態(tài)位移柔度；方法2，基于頻率響應(yīng)函數(shù)擬合提取模態(tài)位移柔度[11]。本文采用附加質(zhì)量方法計(jì)算結(jié)構(gòu)的模態(tài)柔度矩陣。

1.2 振型質(zhì)量歸一化計(jì)算方法

(1)

φmi=γiφi

(2)

1.3 模態(tài)位移柔度計(jì)算方法

由結(jié)構(gòu)振動(dòng)理論可知，位移頻響函數(shù)H(ωi)在力學(xué)概念中等同于單位動(dòng)荷載作用下各測(cè)量點(diǎn)的動(dòng)位移[13]。在實(shí)際工程中，橋梁的結(jié)構(gòu)阻尼較小，可設(shè)為比例阻尼。根據(jù)一般阻尼的復(fù)模態(tài)理論，取所有測(cè)點(diǎn)為參考點(diǎn)時(shí)，可以得到基于實(shí)模態(tài)理論位移頻率響應(yīng)函數(shù)H(ωi)的模態(tài)分解公式[13]，即

(3)

式中：ω為外部激勵(lì)角頻率；ξi為第i階模態(tài)的阻尼比。

觀察公式(3)可知，H(ωi)為外部激勵(lì)角頻率ω的函數(shù)矩陣。當(dāng)ω→0時(shí)，H(ωi)表示單位荷載作用下結(jié)構(gòu)某一點(diǎn)的位移，物理意義表示的是結(jié)構(gòu)的柔度矩陣Hd[12]，即

(4)

Hd的物理意義是結(jié)構(gòu)的柔度矩陣，因此Hd可由結(jié)構(gòu)的模態(tài)信息推導(dǎo)出來，稱之為結(jié)構(gòu)的模態(tài)柔度矩陣。由結(jié)構(gòu)的模態(tài)柔度矩陣Hd和靜荷載向量f，可計(jì)算得結(jié)構(gòu)的豎向撓度D

D=Hd·f

(5)

由公式(5)可以看出，柔度矩陣的計(jì)算公式是各階模態(tài)參數(shù)的疊加形式，與原結(jié)構(gòu)固有角頻率的平方成反比，隨著模態(tài)階次的升高，結(jié)構(gòu)的固有角頻率顯著增大，高階模態(tài)參數(shù)對(duì)位移柔度矩陣的貢獻(xiàn)將顯著減小。因此，一般結(jié)構(gòu)只需要前幾階模態(tài)參數(shù)計(jì)算位移柔度矩陣，其預(yù)測(cè)的模態(tài)位移會(huì)快速收斂于結(jié)構(gòu)的真實(shí)靜力位移，就能滿足工程精度要求[14-15]。

2 工程實(shí)例

2.1 龍山橋工程概況

龍山橋位于道路直線段內(nèi)，與龍山村西河道交角為70°，寬度為11.61 m，橋梁全長(zhǎng)56.04 m。橋梁設(shè)計(jì)采用3～13.0 m簡(jiǎn)支梁橋，上部結(jié)構(gòu)采用裝配式先張法預(yù)應(yīng)力混凝土簡(jiǎn)支空心板，共12塊。下部結(jié)構(gòu)為樁柱式橋墩和重力式橋臺(tái)擴(kuò)大基礎(chǔ)。橋梁現(xiàn)場(chǎng)照片如圖1所示。

2.2 龍山橋有限元模型

本橋?yàn)樾苯话鍢蚯覙蛎鏅M向?qū)挾容^大，橋梁在荷載作用下變形值的橫向分布采用單梁模型無法準(zhǔn)確模擬，因此本文用梁格模型進(jìn)行模擬，梁格模型采用MIDAS/Civil軟件建模[16]。主梁、橫隔板以及虛擬橫梁均采用梁?jiǎn)卧?，其中假設(shè)虛擬橫隔梁的剛度為無限大，縱梁基于腹板劃分，虛擬橫梁剛度根據(jù)剪力梁格理論計(jì)算。全橋模型共577個(gè)節(jié)點(diǎn)、962個(gè)單元。斜交板橋的簡(jiǎn)支邊界條件根據(jù)支座約束方向采用相應(yīng)的一般支承來模擬。

為了直觀模擬實(shí)際環(huán)境激勵(lì)下的橋梁隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)，橋梁有限元模型的所有節(jié)點(diǎn)施加時(shí)長(zhǎng)為60 s、零均值的高斯白噪聲激勵(lì)，利用有限元模型計(jì)算橋梁結(jié)構(gòu)在振型節(jié)點(diǎn)作用有高斯白噪聲的加速度響應(yīng)[15]。選取每單片簡(jiǎn)支板梁的13個(gè)有限元節(jié)點(diǎn)作為振型測(cè)點(diǎn)，在空心板底面共模擬布置156個(gè)加速度傳感器。橋梁有限元計(jì)算模型如圖2所示，高斯白噪聲時(shí)域如圖3所示。

3 位移柔度矩陣計(jì)算

3.1 橋梁結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)

基于橋梁模態(tài)參數(shù)識(shí)別的模態(tài)撓度法應(yīng)用于橋梁承載力評(píng)估時(shí)，由于位移柔度矩陣的快速收斂性，只需要利用低階豎向振型對(duì)應(yīng)的模態(tài)參數(shù)便可以計(jì)算得到較為精確的位移柔度矩陣[11]。在實(shí)際工程應(yīng)用中，只需要在橋面布置豎向加速度傳感器，測(cè)量橋梁在環(huán)境激勵(lì)下的豎向加速度，運(yùn)用模態(tài)分析法得到橋梁結(jié)構(gòu)前幾階豎向振型對(duì)應(yīng)的模態(tài)參數(shù)。在橋梁有限元結(jié)構(gòu)中施加高斯白噪聲激勵(lì)，模擬真實(shí)的環(huán)境激勵(lì)；空間斜交板橋結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，有限元計(jì)算得到的振型包括豎向、橫向和扭轉(zhuǎn)等形式。本文的目的是使用豎向振型計(jì)算位移柔度矩陣，根據(jù)各階模態(tài)振型質(zhì)量參與百分比可知：前5階振型均為豎向，且第5階振型累計(jì)豎向振型質(zhì)量參與系數(shù)為77.26%；從第6階開始，橋梁結(jié)構(gòu)振型表現(xiàn)為橫向和扭轉(zhuǎn)。同時(shí)考慮到位移柔度矩陣的快速收斂性，故選用前5階豎向振型計(jì)算位移柔度矩陣。橋梁未附加質(zhì)量時(shí)的前5階豎向頻率和振型如表1所示。

表1龍山橋環(huán)境激勵(lì)模態(tài)頻率和振型Tab.1Ambient Excitation Modal Frequency and Mode Shape of Longshan Bridge

表2附加質(zhì)量時(shí)龍山橋環(huán)境激勵(lì)模態(tài)頻率和振型Tab.2Ambient Excitation Modal Frequency and Mode Shape of Longshan Bridge with Additional Mass

3.2 龍山橋位移柔度矩陣

將環(huán)境激勵(lì)下龍山橋有限元模型的基本模態(tài)參數(shù)代入公式(1)和公式(2)，計(jì)算橋梁結(jié)構(gòu)的質(zhì)量歸一化系數(shù)γ和質(zhì)量歸一化振型φmi，前5階振型質(zhì)量歸一化系數(shù)γ分別為1.02，1.06，1.02，1.09，1.08。可以看出，每一階振型的質(zhì)量歸一化系數(shù)都不一樣，其數(shù)值的大小與振型的幅值以及附加質(zhì)量的大小和位置都有關(guān)系。再利用公式(4)計(jì)算柔度矩陣為156行156列的方陣，為直觀地觀測(cè)該矩陣，畫出如圖5所示的三維矩陣圖，由于156個(gè)傳感器測(cè)點(diǎn)在橫橋向大概沿著12根梁布置，所以位移柔度矩陣的三維曲面有144個(gè)明顯的峰值，最大峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)橋梁結(jié)構(gòu)的位置為邊梁跨中處。峰值點(diǎn)較為密集說明靜力荷載作用于橋梁?jiǎn)卧獣r(shí)，本單元節(jié)點(diǎn)的荷載會(huì)對(duì)其他單元的模態(tài)撓度有影響，這個(gè)結(jié)果與該梁格結(jié)構(gòu)的物理意義是一致的。

4 橋梁模態(tài)撓度計(jì)算

為了驗(yàn)證基于模態(tài)撓度法靜力荷載試驗(yàn)的方法所計(jì)算撓度的準(zhǔn)確性，將利用柔度矩陣所計(jì)算的模態(tài)撓度數(shù)值與有限元結(jié)果的理論值進(jìn)行比較。按照《公路橋梁承載能力檢測(cè)評(píng)定規(guī)程》(JTG/T J21—2011)中關(guān)于橋梁靜載試驗(yàn)加載方案的要求，采用3輛30 t的三軸車對(duì)龍山橋進(jìn)行加載，加載車輛示意如圖6所示。根據(jù)規(guī)程要求，利用橋梁的影響線及試驗(yàn)荷載效率，確定加載試驗(yàn)中最不利活荷載位置，設(shè)計(jì)中載和偏載2種工況進(jìn)行加載試驗(yàn)。中載工況車輛加載位置如圖7所示；偏載工況車輛加載位置如圖8所示。在橋梁有限元模型中，車輛荷載按照集中荷載形式進(jìn)行加載，集中荷載的形式如圖6所示。通過有限元軟件分別計(jì)算得到龍山橋2種工況下在的靜載撓度理論值。

在計(jì)算模態(tài)撓度時(shí)，需要對(duì)車輛荷載進(jìn)行節(jié)點(diǎn)等效荷載分配，按照等效荷載的原則將車輪力分配到柔度矩陣的計(jì)算節(jié)點(diǎn)上，然后利用節(jié)點(diǎn)等效荷載與柔度矩陣計(jì)算橋梁的模態(tài)撓度[17-19]。

4.1 中載工況撓度計(jì)算

中載工況為3輛加載車輛，進(jìn)行了實(shí)際中載下的撓度測(cè)量，結(jié)果如表3所示。利用有限元與位移柔度矩陣計(jì)算各控制截面的模態(tài)撓度，結(jié)果如表4所示，各測(cè)點(diǎn)的撓度曲線如圖9所示。

由表3中數(shù)據(jù)可知：在中載工況下，各測(cè)點(diǎn)撓度校驗(yàn)系數(shù)位于0.26～0.42之間，滿足規(guī)程要求；相對(duì)殘余位移介于0%～14.81%之間，滿足評(píng)定規(guī)程和試驗(yàn)規(guī)程中不大于20%的規(guī)定，說明中載工況設(shè)計(jì)合理。選取每根梁撓度最大的截面為控制截面，模態(tài)撓度值與實(shí)測(cè)值相比，各控制截面變化規(guī)律相同。利用環(huán)境激勵(lì)下的前5階模態(tài)參數(shù)計(jì)算得到的橋梁模態(tài)撓度數(shù)值與有限元分析的理論撓度值相比，各節(jié)點(diǎn)相對(duì)誤差均小于5%，其中邊梁的控制截面模態(tài)撓度計(jì)算的相對(duì)誤差最大，最大相對(duì)誤差為3.55%，滿足工程精度要求。

4.2 偏載工況撓度計(jì)算

偏載工況下，每根梁撓度最大點(diǎn)的數(shù)值和相對(duì)誤差如表5所示，各測(cè)點(diǎn)撓度的曲線如圖10所示。

表3中載撓度實(shí)測(cè)結(jié)果Tab.3Measured Results of Deflection Under Medium Load

表4中載撓度最大值相對(duì)誤差Tab.4Relative Error for Maximum Deflection Under Medium Load

對(duì)于龍山橋而言，在偏載工況下，利用環(huán)境激勵(lì)下的前5階模態(tài)參數(shù)計(jì)算得到的橋梁模態(tài)撓度數(shù)值與有限元分析的理論值相比，各控制截面相對(duì)誤差均在8%以內(nèi)，控制截面最大相對(duì)誤差為7.58%，基本上可以滿足工程精度要求。

5 結(jié) 語

(1)利用模態(tài)撓度法，通過結(jié)構(gòu)的前5階模態(tài)參數(shù)計(jì)算橋梁結(jié)構(gòu)在靜載試驗(yàn)荷載作用下的模態(tài)撓度，與靜載理論撓度相比較，中載相對(duì)誤差均小于6%，偏載相對(duì)誤差小于8%，滿足工程精度的要求，說明模態(tài)撓度法能夠有效替代靜載試驗(yàn)撓度，可以應(yīng)用于橋梁的承載力評(píng)估。

表5偏載撓度最大值相對(duì)誤差Tab.5Relative Error for Maximum Deflection Under Partial Load

(2)在中載和偏載2種工況下，中載工況計(jì)算的誤差小，偏載工況計(jì)算的誤差大。說明在通過柔度矩陣預(yù)測(cè)橋梁的模態(tài)撓度時(shí)，中載工況的加載位置更接近于計(jì)算柔度矩陣的峰值點(diǎn)，計(jì)算結(jié)果更準(zhǔn)確。

(3)通過柔度矩陣計(jì)算的橋梁模態(tài)撓度和有限元計(jì)算結(jié)果相比，仍然存在誤差。原因在于計(jì)算柔度矩陣時(shí)加速度采集的測(cè)點(diǎn)數(shù)目不足，導(dǎo)致柔度矩陣計(jì)算的維數(shù)不夠；或者是節(jié)點(diǎn)荷載分配不夠精確，計(jì)算橋梁模態(tài)撓度時(shí)會(huì)存在誤差。

(4)基于模態(tài)撓度的靜載試驗(yàn)法結(jié)合了模態(tài)分析與靜載試驗(yàn)的優(yōu)點(diǎn)，在實(shí)際工程中，可以在不中斷交通的情況下，只需利用環(huán)境激勵(lì)或者是交通激勵(lì)，便可以方便快捷地測(cè)量得到相關(guān)的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)。因此基于模態(tài)撓度的靜載試驗(yàn)方法具有廣泛的應(yīng)用前景。