劉戰(zhàn)果 龐學霞 常晗碩 李常偉 趙志崗 段超予

(河北大學物理科學與技術(shù)學院 河北 保定 071002)

1 引言

黏性是流體的固有物理屬性.流體流動時會在相鄰流體層之間產(chǎn)生內(nèi)摩擦力，此即流體的黏滯(性)力，亦稱黏滯阻力.流體的黏度(又稱黏滯系數(shù))是描述流體內(nèi)摩擦力性質(zhì)的重要物理量，能夠表征流體反抗形變的能力.流體分子間的引力和分子熱運動是形成黏性的原因.

流體黏度的測量方法有落球(針)法、毛細管法、轉(zhuǎn)筒法等，其中毛細管法適用于測量黏度較小的液體，例如水、酒精或者血液.毛細管法測量流體黏度是基于流體力學領(lǐng)域的泊肅葉公式，實際上，基于這種理論測量流體黏度進行了不同程度的近似[1～6].本工作針對毛細管法測量流體黏度的一種簡易裝置，分析了基于不同理論的誤差，其結(jié)果可以為任課教師講授實驗理論提供參考素材，也可以為學生在實驗的過程中應用已學知識分析問題、解決問題提供參考.

2 黏度的定義及毛細管法測量黏度的簡單裝置

流體中兩個移動邊界之間的摩擦導致了流體剪切，描述這種層流剪切行為強度的物理量叫做流體的黏度或剪切黏度.黏滯力是流體受到剪切應力變形或拉伸應力時所產(chǎn)生的阻力.在一般的平行流動(即層流狀態(tài))中，剪切應力τ正比于速度u在垂直于流動方向的y′軸的梯度[1]，即

(1)

毛細管法是依據(jù)該黏度定義且能最容易實現(xiàn)測量流體(只適用于低黏度流體)黏度的方法之一，圖1給出了一種毛細管法最簡單的實驗裝置設(shè)計.

圖1 毛細管法測量流體黏度實驗裝置示意圖

如圖1所示，圓柱形蓄水桶內(nèi)直徑為2R，蓄水桶靠近底端處是一個長度為L、直徑為2a的毛細管，整套裝置處于大氣壓p0下.蓄水桶中盛有低黏度液體，液面到毛細管中心線的距離大約為y，毛細管另一端裝有磁堵.當調(diào)節(jié)蓄水桶豎直，且蓄水桶中無氣泡后，打開毛細管一端的磁堵，讓蓄水桶的液面下降足夠慢(準靜態(tài)過程)，使毛細管中的流動保持層流狀態(tài)，此時從毛細管一端射出的液體應呈拋物線狀且平穩(wěn)，通過測量液面在不同時刻的高度，即可實現(xiàn)流體黏度測量.

圖1顯示的實驗裝置的設(shè)計思路簡潔，操作簡單、測量誤差較小，是很多高?；A(chǔ)物理實驗的首選.依據(jù)流體力學理論，液體在圓管內(nèi)處于層流狀態(tài)，如果圓管兩端的壓強差為Δp，則在圓管內(nèi)達到定常流動之后的流量Q是

(2)

其中，v是圓管內(nèi)的速度分布函數(shù)，r是以圓管中心為起點的徑向坐標.由式(2)可以看出，要想測量流體的黏度首先要知道圓管兩端的壓強差Δp.如圖1所示，圓形毛細管與蓄水桶連接的一端的壓強未知，可以用p表示；而另一端因與大氣相連其壓強應為大氣壓強p0，因此毛細管兩端的壓強差為Δp=p-p0.求解毛細管兩端的壓強差Δp(或p)可以從兩種理論出發(fā)，即經(jīng)典的牛頓力學理論和流體力學理論，得到的結(jié)果略有不同，下面就基于這兩種理論，對毛細管兩端的壓強差Δp=p-p0進行分析.

3 基于牛頓力學理論分析毛細管兩端壓強差

對于連續(xù)的不可壓縮、運動形式比較簡單的流體，可近似看成質(zhì)點組，如蓄水桶中的液體.當毛細管磁堵打開后，如果蓄水桶的內(nèi)壁光滑且桶中的液面緩慢下降，對于低黏度液體的運動可以近似看成是落體運動(如圖1所示)，蓄水桶液面以上是大氣壓強p0，假設(shè)液體中的壓強是各向同性的，與毛細管位置等高的液面壓強為p，則依據(jù)牛頓運動定律可以給出變質(zhì)量問題的力學公式

(3)

dm1=-ρv1A1dt

亦即

因此式(3)變?yōu)?/p>

(4)

(5)

依據(jù)流量的定義，還可知道

Q=A1v1=A2v2

(6)

其中，A2(πa2)是毛細管截面積，v2是毛細管中流體的平均流速.

為了求解未知量y或v1，聯(lián)合式(5)和式(6)，可以得到

(7)

(8)

求解式(8)可以得到

(9)

其中，y0為初始時刻蓄水桶液面的凈高度.測量一組不同時刻t對應的蓄水桶液面凈高度y值，即可通過作圖法擬合出待測流體的黏度η.

對毛細管兩端壓強差Δp做近似是毛細管法測量流體黏度常用的處理方式[1～6].為保證上述近似的可靠性，我們試比較式(4)中3種原因產(chǎn)生的壓強大小.考慮到實驗儀器設(shè)計的實用性，選取毛細管長L=150.0 mm，毛細管內(nèi)徑約a=0.5 mm，蓄水桶內(nèi)徑R=37.00 mm，內(nèi)置液體為純凈水.如果初始時刻(t=0)蓄水桶液面的凈高度y0=40.00 cm，可查在20 ℃時，水的密度

ρ=0.998 2×103kg·m-3

水的黏度

η=1.005×10-3Pa·s

選取北京地區(qū)的重力加速度g=9.802 m·s-2.我們計算了實驗進行到不同的時刻，3種壓強差的大小以及將被忽略的小量壓強差占大量壓強差的比重，計算結(jié)果如表1所示.

表1 式(4)中的3項壓強差在不同實驗時刻的大小及比例

①按照上述儀器設(shè)計參數(shù)，如果液面每下降約1.0 cm標記一次時間，測量約20組數(shù)據(jù)需要約1 741 s，為了計算簡便取整為1 800 s.

隨著實驗時間的增加，這3種壓強差都在減小，被忽略的小量占大量的比重越來越小.因此，在20 ℃時且在上述儀器設(shè)計參量情況下，忽略蓄水桶中液體的運動變化產(chǎn)生的壓強差和蓄水桶中液體質(zhì)量流失帶來的壓強差不會給實驗帶來太大誤差，即使在其他溫度下測量流體黏度也是如此.

4 基于流體力學理論分析毛細管兩端壓強差

簡單的層流運動是流體力學描述的主要對象，基于流體力學同樣可以推導毛細管兩端的壓強差.

蓄水桶和毛細管中的流體運動簡化成層流狀態(tài)，那就意味著也是無旋狀態(tài)，則對于理想、正壓、有勢質(zhì)量力、無旋且不可壓縮重流體情形的流體運動，其運動方程適用于拉格朗日積分方程

(10)

其中，φ是速度勢，f(t)是時間t的任意函數(shù)，由邊界條件決定，對于某一固定時刻而言，f(t)在整個流場中取同一常數(shù)值.式(10)具有能量守恒的形式，是從能量的角度來描述流體的運動.

從蓄水桶的自由面A到毛細管入口B處，再到毛細管出口C，畫出一條流線ABC，在流線AB段，因為蓄水桶截面相等，所以大部分v近似相同，則速度勢

(11)

其中，x為從自由面A到流線上任一點的距離.因此，流線AB在兩個標記點處有

(12)

其中，s是流線AB段的長度.AB段流線特定的長度很難計算，但可推知其取值范圍在(y，y+2R).由式(12)可得

(13)

式(13)得到的靜壓強差Δp(等于上節(jié)用牛頓力學理論分析得到的壓強差)也包含了3部分.第一部分是流線AB兩端的凈剩重力勢能Δp′1=ρgy，該項是靜壓強差的主要貢獻部分.第二部分是流線兩端動能密度的變化量

參照上一節(jié)實驗儀器的設(shè)計參量及實驗環(huán)境，我們比較一下流線AB兩端動能密度的變化量、流線速度勢的增量與流線AB兩端的凈剩重力勢能之間的大小，計算得到的不同實驗時刻的大小及比例如表2所示.

表2 式(13)中的3項在不同實驗時刻的大小及比例

5 結(jié)束語

本文依據(jù)流體黏度的定義，對一種毛細管法測量流體黏度的簡單裝置，基于不同理論基礎(chǔ)進行了理論誤差分析.發(fā)現(xiàn)牛頓力學在分析低速且速度梯度比較小的流體運動時，引入的理論誤差比流體力學理論小.無論從哪種理論出發(fā)，都可以得到相同的測量流體黏度的理論公式，并且都表明實驗過程中不能以打開磁堵的時刻為實驗開始的計時點，應該等待從毛細管一端射出的水流呈拋物線狀且平穩(wěn)之后再開始計時，以最大限度地減小誤差.

簡化后的理論公式容易理解，能夠很容易地得出方程的解析解，實現(xiàn)了多領(lǐng)域知識融合和綜合運用，本文的分析過程和結(jié)果為學生融合多領(lǐng)域知識，養(yǎng)成分析和解決問題的習慣提供了參照.