張圣忠，田愛玄，李繼東

(長安大學 經(jīng)濟與管理學院，陜西 西安 710064)

生產(chǎn)技術(shù)革新的日益加快、市場競爭的不斷加劇和消費偏好多樣化的日趨明顯，均使得市場需求不確定性成為常態(tài)。特別是對于新上市或更新?lián)Q代速度較快的產(chǎn)品來說，短生命周期特性逐漸增強，零售商難以掌握其完全市場信息，存在庫存積壓及貨物短缺的風險。此外，隨著同質(zhì)產(chǎn)品的不斷沖擊，如何在需求不確定情形下制定價格及訂購決策具有重要的現(xiàn)實意義。

報童模型作為生產(chǎn)決策的經(jīng)典模型，被廣泛用來解決短生命周期產(chǎn)品的定價與訂購決策問題。然而，傳統(tǒng)的報童模型將銷售價格視為外生變量，忽視價格因素對產(chǎn)品需求的影響。事實上，零售商往往會通過調(diào)整產(chǎn)品價格來刺激或抑制需求，導致市場需求依賴銷售價格。WHITIN[1]首次將價格作為內(nèi)生變量引入報童模型，假設(shè)需求分布依賴銷售價格，得到最優(yōu)訂貨量關(guān)于銷售價格的函數(shù)表達式。POLATOGLU[2]考慮了市場需求擾動項分別服從均勻分布的加性需求模式和服從指數(shù)分布的乘性需求模式下報童模型定價與訂購策略。PETRUZZI等[3]對單周期隨機庫存問題進行了全面回顧及推廣，在兩種需求模式下求得最優(yōu)聯(lián)合定價與訂購決策。近年來，報童模型的聯(lián)合定價與訂購問題得到了更廣泛的拓展。文獻[4]和文獻[5]在加性需求模式和乘性需求模式下，分別討論了考慮缺貨懲罰、損失規(guī)避的零售商最優(yōu)定價訂貨聯(lián)合決策問題。在此基礎(chǔ)上，陳克貴等[6]將缺貨加急訂貨成本考慮在內(nèi)，對過度自信零售商的最優(yōu)定價及訂貨聯(lián)合決策進行了探討。GULER等[7]將產(chǎn)品參考價格引入加性隨機需求函數(shù)中，研究具有參考效應(yīng)的聯(lián)合庫存與定價策略。RAZA[8]研究了考慮缺貨成本和持有成本情形的報童模型聯(lián)合定價與訂購問題。總體而言，上述兩種需求模式下的聯(lián)合定價與訂購策略研究大多以已知市場需求的隨機分布為前提，而銷售環(huán)境的復雜和需求的多樣使得這一假設(shè)不再適應(yīng)現(xiàn)實場景。

因此，不少學者開始研究不完全需求信息下自由分布的報童模型。如SCARF[9]利用最小最大方法對僅有市場需求均值和方差信息的報童模型庫存問題進行研究。在此基礎(chǔ)上，GALLEGO等[10]將自由分布的報童模型推廣到訂購成本固定、二次訂購、多產(chǎn)品及隨機合格率4種情形中。MOON等[11-12]研究了當產(chǎn)品庫存降低到某一閾值時顧客購買遲疑的情形，分別給出期望利潤最大、考慮銷售損失懲罰的庫存決策。劉開軍等[13-14]以利潤最大化為目標,在需求信息未知情形下，分別討論了考慮連續(xù)型需求及離散型需求的最優(yōu)庫存策略。針對不完全需求信息下的聯(lián)合定價與訂購問題，張文思等[15]分別在需求分布未知的加性模式和乘性模式下，討論帶有資源約束和數(shù)量折扣的多產(chǎn)品報童模型的聯(lián)合定價與訂購策略，得出了最壞分布下的最優(yōu)期望利潤。ZHOU等[16]探討了具有部分需求信息的雙渠道報童模型最優(yōu)定價及最優(yōu)訂購量問題。

上述關(guān)于需求未知情形下的聯(lián)合定價與訂購問題的研究，仍可通過銷售數(shù)據(jù)或調(diào)研數(shù)據(jù)獲得部分市場需求信息，即以隨機市場需求為基礎(chǔ)并應(yīng)用概率論對市場需求頻率進行處理。然而現(xiàn)實中，由于環(huán)境的復雜多變，不乏有需求信息匱乏的情形，尤其對于初上市的新興產(chǎn)品來說，銷售數(shù)據(jù)和調(diào)研數(shù)據(jù)的缺乏導致市場需求的均值及方差均無法獲取，不能得出需求發(fā)生頻率及準確的分布函數(shù)，因此這類需求不再是隨機需求，而是不確定需求[17]。針對不確定需求，必須邀請領(lǐng)域?qū)＜襾碓u估市場需求發(fā)生的信度。調(diào)查顯示，人們對于不確定事件的估計范圍比實際情況要寬得多，即事件的估計概率分布和實際發(fā)生頻率間存在很大的差異[18]，在這種情況下，概率論具有一定的局限性，甚至可能導致反直覺的結(jié)果[19]。為處理不確定現(xiàn)象，度量和模擬人類信度的不確定性，不確定理論應(yīng)運而生，如LIU[20]提出了不確定變量的建模體系和數(shù)學處理規(guī)則。此外，作為經(jīng)典概率論的補充，雖然不確定理論中信度滿足規(guī)范性、對偶性、次可加性，但不確定理論下的乘積測度是各事件的不確定測度最小值，而概率論中的乘積測度為各個事件發(fā)生的概率測度乘積[21]。因此，不確定變量和隨機變量遵循不同的處理規(guī)則。目前，不確定理論被廣泛應(yīng)用于設(shè)施選址[22]、金融投資[23]、運輸調(diào)度規(guī)劃[24]等領(lǐng)域。文獻[17]首次應(yīng)用不確定理論解決報童模型最優(yōu)訂購量問題，證實了不確定理論在報童模型決策問題中的適用性。DING等[25]將不確定理論拓展到多產(chǎn)品報童問題和不確定隨機報童問題中。黃世華等[26]對經(jīng)典庫存問題進行推廣，定義風險函數(shù)并基于不確定理論研究了庫存控制最優(yōu)策略。HUANG等[27]探討了制造成本、銷售成本為不確定變量的替代品最優(yōu)定價問題。

從現(xiàn)有文獻來看，有關(guān)聯(lián)合定價訂購問題的研究多集中于對隨機市場需求的探討，而缺少對不確定需求的關(guān)注。此外，目前不確定理論在報童模型中的應(yīng)用主要集中于單一訂購或單一定價策略研究，較少文獻研究不確定理論在最優(yōu)定價與訂購聯(lián)合決策問題中的應(yīng)用。因此，針對此類不確定需求，筆者應(yīng)用不確定理論，以現(xiàn)有的加性需求模式和乘性需求模式為基礎(chǔ)，假設(shè)市場需求擾動為不確定變量而非隨機變量，對其進行不確定建模處理，探討零售商的最優(yōu)定價與訂購聯(lián)合決策問題，以得到最優(yōu)定價和庫存因子的解析表達式，證明其存在性和唯一性，揭示價格敏感因子和市場需求擾動項方差對最優(yōu)決策和期望利潤的影響。

1 理論基礎(chǔ)

不確定理論通過信度描述不確定變量，并給出信度的處理框架和規(guī)則,為主觀不確定現(xiàn)象建模提供了理論基礎(chǔ)和分析工具。

令Γ為非空集合，L為Γ上的σ-代數(shù),M為從L到[0, 1]上的集函數(shù),Λ∈L為一個事件，若M滿足：

(1)規(guī)范性公理：對于全集Γ，M{Γ}=1 。

(2)對偶性公理：對于任意Λ，M{Λ}+M{Λc}=1成立。

定義1記ξ為不確定變量，ξ為(Γ,L,M)到實數(shù)集上的可測函數(shù), 即對任意實數(shù)Borel集, 集合{ξ∈B}={γ∈Γ|ξ(γ)∈B}為一個事件；定義ξ的分布函數(shù)為Φ(x)=M{γ|ξ(γ)≤x},x∈R。

定義3對于所有的α∈(0,1)，當且僅當M{ξ≤Φ-1(α)}=α時，函數(shù)Φ-1為不確定變量ξ的逆不確定分布。

2 問題描述

基于不確定理論，考慮不確定需求依賴價格情形的報童模型最優(yōu)定價與訂購聯(lián)合決策問題。假定市場需求為不確定需求ξD，零售商以最大化期望利潤為目標，向制造商訂購數(shù)量為y、批發(fā)價格為q的產(chǎn)品，并以價格p向消費者售賣產(chǎn)品，銷售期結(jié)束后，零售商剩余產(chǎn)品的殘值為h，p>q>h，零售商利潤函數(shù)為：

3 模型分析

采用需求依賴價格情形下報童問題的兩種常用需求函數(shù)：加性需求模式和乘性需求模式，探究零售商最優(yōu)定價與訂購決策問題。其中，加法需求模式為ξD=D(p,ε)=d(p)+ε，d(p)=a-bp,a>0,b>0；乘法需求模式為ξD=D(p,ε)=d(p)ε，d(p)=ap-b,a>0,b>1。其中d(p)表示與價格相關(guān)的均值需求；a表示市場規(guī)模；b表示市場需求的價格敏感因子；p表示產(chǎn)品銷售價格；ε表示與價格無關(guān)的需求擾動項。

3.1 加性需求模式下最優(yōu)定價與訂購決策

加性需求模式下，不確定市場需求ξD=D(p,ε)=d(p)+ε，d(p)=a-bp,a>0,b>0，定義庫存因子z=y-d(p),則y=d(p)+z。由于ξD≥0、y≥0，可知z≥A。零售商利潤函數(shù)可轉(zhuǎn)化為：

f(z,p)=

(2)

因此，零售商最大期望利潤可表示為：

maxE[f(z,p)]

s.t.z≥A,p≥0

(3)

由于ε為不確定變量，ξD和f(z,p)為ε的函數(shù)，則ξD和f(z,p)均為不確定變量。因此，零售商最優(yōu)銷售價格和訂貨量(p*,y*)決策問題轉(zhuǎn)化為確定最優(yōu)銷售價格和庫存因子(p*，z*)問題。

(4)

3.2 乘性需求模式下最優(yōu)定價與訂購決策

乘性需求模式下，不確定市場需求ξD=D(p,ε)=d(p)ε，ε∈[A,B]，d(p)=ap-b,a>0,b>1。定義庫存因子z=y/d(p)，則y=d(p)z，由于ξD≥0、y≥0，可知z≥A。零售商利潤函數(shù)轉(zhuǎn)化為：

(5)

同理，零售商最優(yōu)銷售價格和最優(yōu)訂貨量(p*，y*)決策轉(zhuǎn)化為確定最優(yōu)銷售價格和最優(yōu)庫存因子(p*，z*)問題。

命題2乘性需求模式下，不確定市場需求ξD=D(p,ε)=ap-bε，且擾動項ε的不確定分布函數(shù)Φε(x)連續(xù)，對于任意的z(A≤ε≤B)，存在唯一最優(yōu)的銷售價格p*(見式(6))。若ε具有IFR，則庫存因子z*可由b(q-h)[Λ(z)-zΦε(z)]+(q-hΦε(z))(z-Λ(z))=0確定。

(6)

4 數(shù)值分析

4.1 價格敏感因子對零售商最優(yōu)決策和期望利潤的影響

(1)針對加性需求模式，假設(shè)ε服從正態(tài)不確定分布N(120,4)，保持參數(shù)a=100、q=11.5、h=7.6不變，令價格敏感因子b從1到7變化，探討價格敏感因子對零售商最優(yōu)決策和期望利潤的影響。其中，加性需求下b對最優(yōu)銷售價格p*的影響如圖1所示，可以看出加性需求模式下，最優(yōu)銷售價格p*隨價格敏感因子b的增大而減小，最終趨于穩(wěn)定。這是因為加性需求模式下，市場需求是價格敏感因子b的線性減函數(shù)，b增加導致市場需求減少，此時零售商會通過降低銷售價格來減小需求變異系數(shù)，而受成本限制，最優(yōu)銷售價格不會無限下降。

圖1 加性需求模式下b對最優(yōu)銷售價格p*的影響

加性需求模式下b對最優(yōu)訂貨量y*及均值需求d(p)的影響如圖2所示，可以看出最優(yōu)訂貨量y*及均值需求d(p)呈現(xiàn)相同的變化趨勢，均為價格敏感因子b的減函數(shù)。這是因為在面對不確定需求時，零售商傾向把握均值需求來降低風險，即降低訂購量來保證利潤空間。

圖2 加性需求模式下b對最優(yōu)訂貨量y*及均值需求d(p)的影響

而無論是最優(yōu)銷售價格的降低還是最優(yōu)訂購量的減少，均會造成零售商期望利潤的損失，加性需求模式下b對零售商期望利潤的影響如圖3所示，可以看出期望利潤隨價格敏感因子的增大呈現(xiàn)出下降趨勢。

圖3 加性需求模式下b對零售商期望利潤的影響

(2)針對乘性需求模式，假設(shè)ε服從正態(tài)不確定分布N(120,4)，保持參數(shù)a=10 000、q=11.5、h=7.6不變，令價格敏感因子b從1.1到1.8變化，探討價格敏感因子對零售商最優(yōu)決策和期望利潤的影響。其中，乘性需求模式下b對最優(yōu)銷售價格p*的影響如圖4所示，可以看出最優(yōu)銷售價格p*隨價格敏感因子b的增大而減小，最終趨于穩(wěn)定，但相較于加性需求模式，乘性需求模式下的最優(yōu)銷售價格對價格敏感因子的反應(yīng)更為靈敏。

圖4 乘性需求模式下b對最優(yōu)銷售價格p*的影響

乘性需求模式下b對最優(yōu)訂貨量y*及均值需求d(p)的影響如圖5所示，可以看出乘性需求模式下，最優(yōu)訂貨量y*、均值需求d(p)均隨價格敏感因子b的增大呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢，這說明價格敏感因子b較小(b<1.3)時，價格降低導致的均值需求增加量超過價格敏感因子增大導致的需求減少量。此時，零售商傾向增加訂貨量來彌補價格降低引起的期望利潤損失。而價格敏感因子b較大(b>1.3)時，價格受成本限制而逐漸穩(wěn)定，此時零售商無法通過降低銷售價格來減輕價格敏感因子增大帶來的市場需求量損失，最終導致均值需求下降，此時零售商訂貨量呈現(xiàn)下降趨勢。

圖5 乘性需求模式下b對最優(yōu)訂貨量y*及均值需求d(p)的影響

結(jié)合圖4和圖5可知，雖然最優(yōu)訂貨量y*隨價格敏感因子b先增大后減小，但提高訂貨量帶來的期望利潤增加小于降低銷售價格引起的期望利潤損失，因此零售商期望利潤整體隨價格敏感因子的增大而減小，如圖6所示。

圖6 乘性需求模式下b對零售商期望利潤的影響

4.2 市場需求擾動項方差對零售商最優(yōu)決策和期望利潤的影響

鑒于篇幅原因，筆者僅對加性需求模式下市場需求擾動項方差σ2對零售商最優(yōu)決策和期望利潤的影響進行分析。保持其他條件不變，令σ2在(4,64)內(nèi)變化，加性需求模式下σ2對最優(yōu)銷售價格p*的影響如圖7所示，可以看出當價格敏感因子保持不變時，市場需求擾動項方差σ2對最優(yōu)銷售價格p*沒有顯著影響，且價格敏感因子b越大，最優(yōu)銷售價格p*越小。

圖7 加性需求模式下σ2對最優(yōu)銷售價格p*的影響

圖8 加性需求模式下σ2對最優(yōu)訂貨量y*的影響

加性需求模式下σ2對最優(yōu)訂貨量y*的影響如圖8所示，可以看出不同的價格敏感因子下，隨著市場需求擾動項方差σ2的增大，最優(yōu)訂貨量y*呈現(xiàn)不同的變化趨勢。當價格敏感因子較小(b<3)時，最優(yōu)訂貨量y*隨著σ2的增大而增大。這是因為當價格敏感因子較小時，產(chǎn)品銷售價格受價格敏感因子的影響較弱，零售商會保持較高的銷售價格。隨著σ2的不斷增大，市場需求隨機波動性增強，但較高的銷售價格導致的零售商缺貨機會成本的提升，遠大于市場需求降低帶來的庫存積壓風險，即σ2的增大所帶來的正面效益高于負面影響，因此零售商傾向制定高訂貨量決策。而當價格敏感因子較大(b>5)時，最優(yōu)訂貨量y*隨著σ2的增大而減小。這是因為當價格敏感因子較大時，零售商的最優(yōu)銷售價格降低，零售商利潤空間被壓縮，此時隨著市場隨機波動性的不斷增強，零售商更傾向降低訂貨量來彌補期望利潤損失。

加性需求模式下σ2對零售商期望利潤的影響如圖9所示，可以看出雖然市場波動對價格的影響不大，但市場需求隨機波動性的增強會增加零售商運作成本和缺貨機會成本，導致零售商期望利潤的整體降低，即零售商期望利潤隨著σ2的增大呈現(xiàn)下降趨勢。

圖9 加性需求模式下σ2對零售商期望利潤的影響

5 結(jié)論

筆者針對不確定市場需求，運用不確定理論，分別在加性需求模式與乘性需求模式下，研究了零售商最優(yōu)定價與訂購聯(lián)合決策問題，驗證了市場需求為不確定變量時零售商最優(yōu)決策存在的充分條件和表達式，并通過數(shù)值分析探討價格敏感因子和市場需求擾動項方差對最優(yōu)決策和期望利潤的影響。

研究結(jié)果表明：①加性需求模式下，零售商最優(yōu)銷售價格、最優(yōu)訂貨量隨價格敏感因子的增大而減小，即價格敏感因子越大，零售商越傾向低銷售價格和低訂貨量的聯(lián)合決策，以降低不確定需求帶來的風險。②乘性需求模式下，最優(yōu)銷售價格隨價格敏感因子的增大而降低，而最優(yōu)訂貨量隨價格敏感因子的增大呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢，說明價格敏感因子較小(b<1.3)時，零售商傾向采取低銷售價格和高訂貨量的聯(lián)合決策；而價格敏感因子較大(b>1.3)時，零售商更傾向制定低銷售價格和低訂貨量的聯(lián)合決策。③市場需求擾動項方差對零售商最優(yōu)銷售價格的影響并不顯著，但當價格敏感因子較小(b<3)時，最優(yōu)訂貨量隨著市場需求擾動項方差的增大而增大，當價格敏感因子較大(b>5)時，最優(yōu)訂貨量隨著市場需求擾動項方差的增大而減小，且零售商期望利潤隨著市場需求波動性的增大呈現(xiàn)下降趨勢。因此對市場隨機波動性情況做出正確預(yù)測，調(diào)整最優(yōu)定價及訂購決策，對零售商降低企業(yè)風險和維持期望利潤具有戰(zhàn)略意義。

綜上，筆者應(yīng)用不確定理論，將不能得出準確發(fā)生頻率及分布函數(shù)的市場需求假設(shè)為不確定變量，而非隨機變量，并對其進行不確定建模處理，彌補了概率論建模的局限性，為零售商提供了聯(lián)合定價及訂購決策的理論依據(jù)。但筆者只討論了零售商面對不確定需求的定價與訂購聯(lián)合決策時的基本模型，未涉及不確定環(huán)境下供應(yīng)鏈其他成員的最優(yōu)決策，而隨著供應(yīng)鏈一體化的不斷發(fā)展，供應(yīng)鏈上下游任何企業(yè)的決策均會影響渠道整體效益，因此不確定需求下供應(yīng)鏈決策及協(xié)調(diào)機制將是今后的研究方向。