張 斌 李云召 吳宏春

1（中國核動力研究設(shè)計院核反應(yīng)堆系統(tǒng)設(shè)計技術(shù)重點實驗室 成都 610213）

2（西安交通大學(xué)核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 西安 710049）

20世紀(jì)70年代以后，得益于粗網(wǎng)節(jié)塊法［1-2］的迅速發(fā)展，以組件均勻化理論［3-4］和粗網(wǎng)節(jié)塊方法為理論框架的兩步法計算方案逐漸成為了壓水堆工程計算中普遍采用的燃料管理中子學(xué)數(shù)值計算方法。伴隨著粗網(wǎng)節(jié)塊法的大量工程應(yīng)用，適用于組件均勻化的均勻化理論得到了長足的發(fā)展?；诰鶆蚧话阍恚?］，結(jié)合早期有限差分堆芯計算的傳統(tǒng)均勻化方法，Kord Smith基于等效均勻化理論提出了能夠用于工程計算的廣義等效均勻化方法［6-7］，即在等效均勻化參數(shù)中引入不連續(xù)因子以達(dá)到各節(jié)塊的守恒條件，此方法很好地滿足了絕大部分商用壓水堆的工程應(yīng)用需求。

隨著科學(xué)研究的不斷深入、計算條件和堆芯核設(shè)計計算精度的不斷提高，傳統(tǒng)的兩步法計算方案面臨著越來越嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。為提高堆芯設(shè)計計算精度且滿足對新型反應(yīng)堆堆芯計算的精度要求，基于均勻化理論的改進型兩步法計算方案全堆芯Pinby-pin計算［8］成為了下一代堆芯數(shù)值計算方法的研究熱點。全堆芯Pin-by-pin計算減少了堆芯計算過程中的近似與假設(shè)，能夠更加精細(xì)地考慮堆芯布置的非均勻性，直接求出單棒功率分布，便于堆芯燃料管理計算和相應(yīng)的堆芯安全分析。

有別于不連續(xù)因子在傳統(tǒng)組件均勻化計算中的應(yīng)用，超級均勻化方法（Super Homogenization Method，SPH）是Pin-by-pin均勻化計算中廣泛采用的均勻化技術(shù)之一。本文采用超級均勻化方法計算了燃料組件的Pin-by-pin等效均勻化常數(shù)，針對存在中子泄漏現(xiàn)象的反射層參數(shù)計算采用空間泄漏相關(guān)的超級均勻化方法。為了分析包含超級均勻化因子在內(nèi)的Pin-by-pin等效均勻化常數(shù)在新型反應(yīng)堆堆芯計算中的計算精度，本文在非均勻性較強、中子泄漏較大的三維C5G7基準(zhǔn)題上分析了其計算效果。

1 超級均勻化方法

20世紀(jì)90年代，針對均勻化原理中的三個守恒關(guān)系，Herbet提出了有別于廣義等效均勻化方法的SPH方法［9-10］。SPH方法的核心思想是通過超級均勻化因子（SPH因子）直接調(diào)整柵元均勻化截面使得均勻化前后各能群反應(yīng)率保持守恒，但放寬了對中子泄漏率守恒這一約束條件。這種方法不需要均勻化少群常數(shù)中保存額外的均勻化常數(shù)（不連續(xù)因子），在有很大內(nèi)存需求量的全堆芯Pin-by-pin計算中具有明顯優(yōu)勢。超級均勻化方法不受具體堆芯計算模型限制，既可以保證均勻化前后輸運-擴散守恒，也可保證輸運-輸運守恒，對于不同的均勻化過程只體現(xiàn)在超級均勻化因子修正少群常數(shù)時的不同。

均勻化少群截面的計算通常采用通量體積權(quán)重方法，如式（1）：

式中：g為第g能群；h為第h能群；i為柵元編號；V為柵元體積；φ為反應(yīng)堆中子通量密度，cm-2·s-1；Σ為宏觀截面，cm-1；hom為均勻化后的參數(shù)；het為均勻化前的參數(shù)。公式假設(shè)柵格計算得到的非均勻中子通量密度等于均勻中子通量密度。這個假設(shè)在只有均勻化少群截面與擴散系數(shù)作為等效均勻化常數(shù)的情況下是不成立的。超級均勻化方法通過調(diào)整均勻化少群截面使得式（1）成立：

在保證反應(yīng)率守恒的條件下：

聯(lián)立式（2）和式（4），超級均勻化因子的計算式如下：

式（5）中非均勻柵元平均中子通量密度由柵格高階輸運計算直接獲得；均勻柵元平均中子通量密度的求解必須與下游堆芯計算中所使用的中子學(xué)求解方法保持一致。超級均勻化因子通過均勻柵元平均中子通量密計算得到，而獲得中子通量密度的計算所需的均勻化少群常數(shù)與擴散系數(shù)又需要通過超級均勻化因子的修正，因此超級均勻化因子的計算是一個反復(fù)迭代的計算過程。

在柵格計算中對單燃料組件采用全反射邊界條件進行計算，整個問題在均勻化前后不存在中子泄漏，即意味著利用超級均勻化因子保證反應(yīng)率守恒的同時還保證了中子泄漏率的守恒，燃料組件特征值也因此而守恒。當(dāng)超級均勻化方法應(yīng)用于真空邊界，即反射層參數(shù)計算時，超級均勻化因子的迭代計算的收斂性無法保證。這是因為在真空邊界下入射中子流為零的邊界條件無法保證出射中子流密度的守恒，迭代過程中改變均勻化少群截面的同時，影響著整個問題的中子泄漏率及其特征值。因此，此類邊界條件存在時，超級均勻化因子迭代計算的收斂性無法保證，且在收斂的情況下依舊無法保證整個問題中子泄漏率和特征值的守恒。

針對此類邊界下的超級均勻化因子的迭代計算，空間泄漏相關(guān)的超級均勻化方法能夠讓迭代計算很好的收斂并保證各柵元中子泄漏率的守恒，其核心思想是以柵元級少群反照率邊界條件保證均勻化前后各柵元的中子泄漏率守恒柵元級少群反照率計算公式如下：

式中：βi，g表示第i個柵元第g群反照率；h表示非均勻輸運計算的細(xì)群編號。

泄漏相關(guān)的超級均勻化方法把柵元級少群反照率的計算更新加入到超級均勻化因子的迭代求解過程中，計算流程如圖1所示。

圖1 泄漏相關(guān)的超級均勻化方法計算流程圖Fig.1 Calculation flow chart of the spatial neutron-leakage dependent SPH method

圖2 C5G7基準(zhǔn)題三維堆芯幾何結(jié)構(gòu)Fig.2 Layout and geometry of C5G7 benchmark 3D whole core problem

2 數(shù)值驗證與分析

為了分析包含超級均勻化因子在非均勻性較強、中子泄漏較大反應(yīng)堆堆芯的中子學(xué)計算精度，本節(jié)基于三維C5G7基準(zhǔn)題進行數(shù)值驗證與分析。

C5G7基準(zhǔn)題徑向由4個17×17柵元的壓水堆燃料組件組成，柵元中心距為1.26 cm，所有燃料柵元采用兩區(qū)材料布置，燃料與包殼打混成一種材料構(gòu)成柵元內(nèi)區(qū)，內(nèi)區(qū)半徑為0.54 cm，其他類型柵元，如導(dǎo)向管、裂變腔室等皆按兩區(qū)材料布置，外區(qū)均為冷卻劑區(qū)域。4個燃料組件包含兩個UO2燃料組件和兩個MOX燃料組件，呈棋盤方式布置，導(dǎo)致堆芯非均勻性強烈，且堆芯徑向反射層全部由冷卻劑組成，堆芯徑向中子泄漏較大。三維C5G7基準(zhǔn)題軸向高度為64.26 cm，其中堆芯活性區(qū)高度為42.84 cm，頂部反射層厚度為21.42 cm。為增強堆芯非均勻性及中子通量密度畸變程度，在三維堆芯的UO2組件和MOX組件中插入不同深度的控制棒，其幾何結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示。所有燃料組件插入控制棒時均在導(dǎo)向管內(nèi)插入24根控制棒柵元，由堆芯頂部插入，因此軸向反射層中帶有控制棒材料，頂部反射層結(jié)構(gòu)布置如圖3所示。

本文采用以下三種計算方案進行對比分析：

1）參考解由基準(zhǔn)題報告中的多群蒙特卡羅計算提供，多群蒙特卡羅計算中活性區(qū)被等間距的分為三層，自下而上分別編號1～3；

2）全堆芯Pin-by-pin計算基于7群指數(shù)函數(shù)展開SPN方法進行。柵元均勻化少群常數(shù)由西安交通大學(xué)NECP 實驗室開發(fā)的Bamboo-Lattice［11］程序計算所得，計算輸入采用基準(zhǔn)題報告提供的各材料7群宏觀截面，堆芯SPN計算軸向采用45層等距分層；

3）傳統(tǒng)組件均勻化兩步法計算基于2群粗網(wǎng)節(jié)塊法進行。組件均勻化少群常數(shù)同樣由Bamboo-Lattice程序計算所得。較大的網(wǎng)格劃分不影響粗網(wǎng)節(jié)塊法計算精度，因此軸向采用與多群蒙特卡羅計算相同的網(wǎng)格。

多群蒙特卡羅計算的特征值參考解在98%的置信區(qū)間為1.077 77±0.000 06。堆芯Pin-by-pin計算得到的三維堆芯棒功率分布如圖4所示，三維C5G7基準(zhǔn)題各計算方案的特征值誤差和各組件功率相對誤差如表1所示，棒功率相對誤差如表2所示，堆芯各層棒功率及積分棒功率相對誤差分布如圖5所示。

圖3 C5G7基準(zhǔn)題三維堆芯軸向反射層結(jié)構(gòu)布置Fig.3 Layout of the C5G7 benchmark axial reflector

圖4 C5G7基準(zhǔn)題三維堆芯棒功率分布Fig.4 Pin power distribution of the C5G7 benchmark 3D whole core problem

圖5 C5G7基準(zhǔn)題堆芯Pin-by-pin計算各層棒功率和軸向積分棒功率相對誤差分布Fig.5 Relative error distribution of the pin power of each layer and axial integrating rod based on Pin-by-pin computation of C5G7 benchmark

由表1可知，堆芯Pin-by-pin計算和傳統(tǒng)兩步法計算結(jié)果相對于參考解的特征值誤差分別為-0.001 6和-0.000 87，兩種計算方案在特征值計算上精度相當(dāng)且都較為精確。而由堆芯內(nèi)軸向積分組件功率及各分層燃料組件功率相對誤差可知，組件均勻化的傳統(tǒng)兩步法計算不適用于非均勻性強烈且具有較大中子泄漏的類C5G7堆芯問題，其組件功率相對誤差接近10%；而堆芯Pin-by-pin計算則在組件功率計算上保持有較高的計算精度，結(jié)果顯示：最大組件功率相對誤差為第三層左上角UO2組件的-4.31%，C5G7三維堆芯中軸向第三層相對功率水平較低，相對誤差稍大，如圖4所示。

由表2可知，堆芯Pin-by-pin計算最大棒功率偏差出現(xiàn)在靠近頂部反射層的第三層堆芯活性區(qū)，為-5.26%；傳統(tǒng)兩步法計算的軸向積分棒功率及各層棒功率相對偏差均高達(dá)20%以上。堆芯Pin-by-pin計算各層棒功率相對誤差分布和軸向積分棒功率相對誤差分布如圖5所示，在功率水平較高的軸向活性區(qū)第一層及第二層中，棒功率相對誤差較小，最大棒功率相對誤差不超過3%；在功率水平較低的軸向活性區(qū)第三層中，棒功率相對誤差稍大，最大誤差不超過6%。

表1 三維C5G7基準(zhǔn)題的特征值誤差和各組件功率相對誤差結(jié)果Table 1 3D C5G7 benchmark results of kinfand assembly-power relative error

表2 三維C5G7基準(zhǔn)題的棒功率相對誤差結(jié)果Table 2 3D C5G7 benchmark results of pin-power relative error

3 結(jié)語

本文在堆芯Pin-by-pin計算中采用SPH方法作為均勻化技術(shù)，對燃料組件計算了SPH因子，產(chǎn)生了Pin-by-pin等效均勻化參數(shù)；針對存在中子泄漏現(xiàn)象的反射層組件，采用空間泄漏相關(guān)的超級均勻化方法產(chǎn)生了反射層組件的等效均勻化參數(shù)?；谌SC5G7基準(zhǔn)題，分析了堆芯Pin-by-pin計算中應(yīng)用超級均勻化因子在非均勻性較強、中子泄漏較大反應(yīng)堆堆芯的計算精度，與傳統(tǒng)組件均勻化計算方法相比，應(yīng)用了超級均勻化方法的堆芯Pin-by-pin計算精度更高。