齊永利

摘? ?要：解題無定法，貴在得法。中考數(shù)學(xué)題的解法往往不止一種，但如果選取不當(dāng)，就會(huì)使解題過程復(fù)雜化，甚至?xí)`入歧途導(dǎo)致錯(cuò)誤。若能正確使用輔助線則可開啟解題的思維閘門，起到四兩撥千斤的效果，既可使問題化難為易，又可化繁為簡。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué);垂直關(guān)系;輔助線

中圖分類號(hào)：G633.6? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? 文章編號(hào)：1009-010X（2020）11-0027-03

垂線垂直是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，幾乎和整個(gè)初中幾何各個(gè)部分知識(shí)都有直接聯(lián)系，也就是貫穿整個(gè)初中三年的幾何內(nèi)容。而輔助線作為解題的切入點(diǎn)，常常給解題起到“催化劑”和“點(diǎn)睛之筆”的作用。一條（多條）輔助線，常常給予師生更好的思路和更好的方法。因此，正確地使用輔助線，做到“召之即來，揮之即去”，對學(xué)生解題非常有幫助，這便是輔助線的精髓所在。筆者翻閱近年中考試題，總結(jié)常見有以下幾種類型。

類型一：見角平分線，向角兩邊作垂線

例1.（2019·陜西）如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB，垂足為E.若DE=1，則BC的長為（ ）

【分析】過點(diǎn)D作DF⊥AC于F如圖所示，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=DF=1，解直角三角形即可得到結(jié)論.

【解答】過點(diǎn)D作DF⊥AC于F如圖所示，∵AD為∠BAC的平分線，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF=1，在Rt△BED中，∠B=30°，∴BD=2DE=2，在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF為等腰直角三角形，∴CD=，∴BC=BD+CD=2+，故選：A.

【評注】本題考查了角平分線的性質(zhì)，解直角三角形，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵。

類型二：見等腰三角形，作底邊上的高

例2.如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BA延長線上一點(diǎn)，E在AC上，且AD=AE，求證：DE⊥BC.

【分析】過A作AM⊥BC于M，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出∠BAC=2∠BAM，由三角形外角的性質(zhì)及等邊對等角的性質(zhì)得出∠BAC=2∠D，則∠BAM=∠D，根據(jù)平行線的判定得出DE∥AM，進(jìn)而得到DE⊥BC.

【證明】如圖，過A作AM⊥BC于M，

∵AB=AC，∴∠BAC=2∠BAM，

∵AD=AE，∴∠D=∠AED，

∴∠BAC=∠D+∠AED=2∠D，

∴∠BAC=2∠BAM=2∠D，∴∠BAM=∠D，

∴DE∥AM，∵AM⊥BC，∴DE⊥BC.

【評注】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，平行線的判定等知識(shí)，難度適中。準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵。

類型三：見銳角（三角函數(shù)），構(gòu)造直角三角形

例3.（2019·葫蘆島）如圖，河的兩岸a、b互相平行，點(diǎn)A、B、C是河岸b上的三點(diǎn)，點(diǎn)P是河岸a上的一個(gè)建筑物，某人在河岸b上的A處測得∠PAB=30°，在B處測得∠PBC=75°，若AB=80米，則河兩岸之間的距離約為 米.（≈1.73，結(jié)果精確到0.1米）

【分析】過點(diǎn)A作AE⊥a于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BD⊥PA于點(diǎn)D，然后銳角三角函數(shù)的定義分別求出AD、PD后即可求出兩岸之間的距離。

【解答】過點(diǎn)A作AE⊥a于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BD⊥PA于點(diǎn)D，∵∠PBC=75°，∠PAB=30°

∴∠DPB=45°，∵AB=80，∴BD=40，AD=40，∴PD=DB=40，∴AP=AD+PD=40+40，∵a∥b，∴∠EPA=∠PAB=30°，∴AE=AP=20+20≈54.6，故答案為：54.6

【評注】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用含30°角的直角三角形性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義，本題屬于中等題型.

類型四：與圓有關(guān)的垂線段

（一）有切點(diǎn)，連半徑，得垂直

例4.（2019·阜新）如圖，CB為⊙O的切線，點(diǎn)B為切點(diǎn)，CO的延長線交⊙O于點(diǎn)A，若∠A=25°，則∠C的度數(shù)是（ ）

A.25° B.30° C.35° D.40°

【分析】連接OB，CB與⊙O相切于點(diǎn)B，得到∠OBC=90°，根據(jù)條件得到∠COB的度數(shù)，然后用三角形內(nèi)角和求出∠C的度數(shù)即可.

【解答】如圖：連接OB，∵OB=OA，∴∠A=∠OBA，∵∠A=25°，∴∠COB=∠A+∠OBA=2∠A=2×25°=50°，∵AB與⊙O相切于點(diǎn)B，∴∠OBC=90°，∴∠C=90°-∠BOC=90°-50°=40°.故選：D.

【評注】本題考查的是切線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，先求出∠COB的度數(shù)，然后在三角形中求出∠C的度數(shù).正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

（二）無切點(diǎn)，作垂直，證半徑

例5.（2019·遼陽）如圖，BE是⊙O的直徑，點(diǎn)A和點(diǎn)D是⊙O上的兩點(diǎn)，連接AE、AD、DE，過點(diǎn)A作射線交BE的延長線于點(diǎn)C，使∠EAC=∠EDA.

求證：AC是⊙O的切線.

【分析】（1）連接OA，過O作OF⊥AE于F，得到∠EAO+∠AOF=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理得到∠EDA=∠AOF，推出OA⊥AC，得到AC是⊙O的切線;

【證明】（1）連接OA，過O作OF⊥AE于F，

∴∠AFO=90°，∴∠EAO+∠AOF=90°，

∵OA=OE，∴∠EOF=∠AOF=∠AOE，

∵∠EDA=∠AOE，∴∠EDA=∠AOF，

∵∠EAC=∠EDA，∴∠EAC=∠AOF，

∴∠EAO+∠EAC=90°，

∵∠EAC+∠EAO=∠CAO，∴∠CAO=90°，

∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切線;

【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定與性質(zhì)：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。判定切線時(shí)“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過圓心作這條直線的垂線”;有切線時(shí)，常常“遇到切點(diǎn)連圓心得半徑”。也考查了扇形的面積的計(jì)算，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵。

類型五：作垂直，構(gòu)相似

例6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=4，AB=5.點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=■（k>0）的圖象上，DA⊥OA，點(diǎn)P在y軸負(fù)半軸上，OP=7.

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)和線段PB的長;

（2）當(dāng)∠PDB=90°時(shí)，求反比例函數(shù)的解析式.

【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出OB，即可得出答案;（2）設(shè)D的坐標(biāo)是（4，y），證△BDM∽△DPM，得出比例式，代入即可求出y，把D的坐標(biāo)代入求出即可.

【解答】（1）∵AB=5，OA=4，∠AOB=90°，∴由勾股定理得：OB=3，即點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，3），∵OP=7，∴線段PB的長是7+3=10;

（2）過D作DM⊥y軸于M，∵PD⊥BD，

∴∠BDP=∠DMB=∠DMP=90°，

∴∠DBM+∠BDM=90°，

∠BDM+∠MDP=90°，

∴∠DBM=∠PDM，∴△DBM∽△PDM，

∵OA=4，AD⊥x軸，∴設(shè)D的坐標(biāo)是（4，y）（y>0），

解得：y=1，（y=-5舍去），

即D點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，1），

把D的坐標(biāo)代入y=得：k=4，

即反比例函數(shù)的解析式是y=.

【評注】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，相似三角形的性質(zhì)和判定，用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，題目比較典型，難度不大.

類型六：作垂直，用勾股

例7.（2019·天門改編）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿邊OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng);動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿邊BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，PQ2=y.寫出y關(guān)于t的函數(shù)解析式及t的取值范圍。

【分析】過點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，由點(diǎn)P，Q的出發(fā)點(diǎn)、速度及方向可找出當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出PE、EQ的長，再利用勾股定理即可求出y關(guān)于t的函數(shù)解析式（由時(shí)間=路程÷速度可得出t的取值范圍）;

【解答】過點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，如圖所示.

當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)（0≤t≤4），

點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3t，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（8-2t，6），

∴PE=6，EQ=|8-2t-3t|=|8-5t|，

∴PQ2=PE2+EQ2=36+|8-5t|2=25t2-80t+100，

∴y=25t2-80t+100（0≤t≤4）.

【點(diǎn)評】通過做垂線得到直角三角形利用勾股定理，找出y關(guān)于t的函數(shù)解析式是解決本題的關(guān)鍵。