黃文杰 向鳳紅 毛劍琳

（昆明理工大學(xué)信息工程與自動化學(xué)院）

板球系統(tǒng)具有非線性系統(tǒng)的不確定性，是一類強耦合、欠驅(qū)動動力學(xué)系統(tǒng)的代表［1］。在這個系統(tǒng)中， 大量的優(yōu)化方案被應(yīng)用于小球的定點、軌跡跟蹤等運動。 李愛蓮和吳何琛在圖像處理上的優(yōu)化方案也被成功應(yīng)用于其中［2，3］。 PID控制作為一種經(jīng)典且有效的方法不僅在試驗研究中廣泛應(yīng)用， 工業(yè)生產(chǎn)中的PID控制也很常見。 然而，Roy P等學(xué)者發(fā)現(xiàn)， 由于板球系統(tǒng)對控制精度的要求較高，且實際控制中具有不確定性，PID控制始終無法在板球系統(tǒng)的控制中保持較好的物理非線性完整度［4，5］。 20世紀(jì)70年代以后，智能算法大量問世，遺傳算法（GA）［6］、粒子群算法（PSO）［7］及蟻群算法（ACO）［8］等運算能力較強的控制算法相繼與PID控制法相結(jié)合， 大幅度提高了其尋優(yōu)能力。但是，GA算法在處理較高維數(shù)的參數(shù)時，易早熟并陷入局部收斂；PSO算法參數(shù)較多，在處理關(guān)聯(lián)性較大的參數(shù)能力上顯出不足；ACO算法則有收斂速度慢導(dǎo)致控制時間長的問題［9～11］。 因此，這些算法應(yīng)用于板球系統(tǒng)這一類欠驅(qū)動、強耦合的非線性控制系統(tǒng)時，其效果并不理想。

筆者提出了一種新的可應(yīng)用于板球系統(tǒng)的基于帝國競爭算法（ICA）的PID控制方法。 選取GBP2001型板球系統(tǒng)作為研究對象， 主要對小球進行定點控制。將試驗數(shù)據(jù)導(dǎo)入Matlab軟件，與傳統(tǒng)的PID算法和GA-PID算法進行對比， 看出筆者提出的ICA-PID算法在板球定點控制過程中取得了較好的效果。

1 GBP2001型板球系統(tǒng)建模

以固高GBP2001型板球系統(tǒng)（圖1）作為試驗平臺， 以平板的支撐點作為原點建立坐標(biāo)系，分別在x、y兩個方向?qū)Π迩蛳到y(tǒng)完成解耦， 得出x方向和y方向的二維分解示意圖如圖2所示。

圖1 GBP2001型板球系統(tǒng)

圖2 板球系統(tǒng)二維分解示意圖

板球系統(tǒng)包括小球位置坐標(biāo)（x，y）、平板轉(zhuǎn)動角度（q1，q2）等變量，由于板球系統(tǒng)是復(fù)雜的非線性系統(tǒng)， 難以獲取其精確的數(shù)學(xué)模型， 對建模過程中在不影響系統(tǒng)特性的情況下作以下假設(shè)：

a. 小球在平板上無滑動和繞小球垂直中心軸旋轉(zhuǎn)的運動；

b. 忽略小球與平板的角度以及平板面積的影響；

c. 小球在平板上時始終與之保持相接觸的狀態(tài)；

d. 建模過程中，將小球和平板之間所有摩擦忽略不計。

建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型對于控制器的設(shè)計非常重要，由于板球系統(tǒng)屬于一類復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，為此筆者從能量的角度建立以拉格朗日法為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)模型。 板球系統(tǒng)中的各個參數(shù)見表1。

表1 板球系統(tǒng)參數(shù)表

以平板的幾何中心點為原點建立坐標(biāo)系，由于在忽略損耗的情況下能量保持守恒，設(shè)小球動能為Tb，平板的動能為Tp，則總動能T=Tb+Tp。 對小球和平板分別列出能量方程：

同理， 板球系統(tǒng)總勢能V包括小球勢能Vb與平板勢能Vp，即V=Vb+Vp。 由于在能量分析中取平板為零勢能點，故Vp=0。 小球勢能如下：

以拉格朗日法建立函數(shù)如下：

在實際操作中， 電機轉(zhuǎn)動位置不受力矩影響，故將式（3）、（4）線性化后可得方程：

2 板球系統(tǒng)控制器設(shè)計

2.1 PID控制器

PID控制器已經(jīng)廣泛應(yīng)用在工業(yè)生產(chǎn)的過程控制中，它具有安裝簡單、魯棒性強等特點。 PID控制原理如圖3所示。

圖3 PID控制原理

控制算法為：

其中，Kp為比例系數(shù)，Ki為積分系數(shù)，Kd為微分系數(shù)；r（t1）、r（t2）、r（t3）是系統(tǒng)的3個輸入量，用控制誤差e（t）來表示：

2.2 板球系統(tǒng)的GA-PID控制器

遺傳算法是借鑒了進化論和遺傳學(xué)的一種基于自然選擇和群體遺傳機理的搜索算法［12］。 其算法機理主要包括選擇、 交叉及變異等操作，經(jīng)過優(yōu)勝劣汰的過程，種群向最優(yōu)解不斷進化。 因此， 遺傳算法就是群體不斷淘汰和進化的過程，交叉概率Pc和變異概率Pm的值共同決定了算法的收斂性。 板球系統(tǒng)中應(yīng)用遺傳算法優(yōu)化PID參數(shù)主要有以下幾個步驟：

a. 隨機產(chǎn)生N個二進制字符串， 取初始種群數(shù)量為100、迭代次數(shù)為20、交叉概率Pc為0.5、變異概率Pm為0.05；

b. 計算各個體的適應(yīng)度值以便參數(shù)尋優(yōu)；

c. 應(yīng)用遺傳算法的復(fù)制、交叉和變異算子對群體進行操作；

d. 選擇適應(yīng)度高的個體，同時淘汰適應(yīng)度低的個體；

e. 重復(fù)步驟c、d， 直至算法收斂或達到終止條件；

f. 最終的Kp、Ki、Kd值表示群體中適應(yīng)度最好的字符串。

2.3 ICA的應(yīng)用流程

2.3.1 初始化過程

在ICA中，初始解（country）由向量定義。 筆者研究的問題可以轉(zhuǎn)化成大小為1×N的向量：

每個國家的成本值用函數(shù)f（country）來評估，類似于遺傳算法中的適應(yīng)度函數(shù)：

初始化帝國競爭算法，最初國家的數(shù)量定義為Npop， 選擇Nimp作為實力最強的國家建立帝國，其余的Ncol（Ncol=Npop-Nimp）作為帝國殖民地。因此，帝國由帝國主體和一系列殖民地組成。 在最初的帝國集團里， 殖民地數(shù)量必須與其能量大小有關(guān)， 能量大的帝國擁有的殖民地數(shù)量也就越多，反之，則越少。 各個殖民地在帝國主體間按照比例被分配，其分配方法如下：

其中cn是第n個帝國的初始成本，減掉帝國中成本最大值后即為相對成本值Cn；pn為第n個帝國初始化分配后的勢力大小；NCn是第n個帝國分配到的殖民地數(shù)量。 殖民地在最初分配時依據(jù)隨機分配的原則，但勢力強大的帝國會擁有更多的初始殖民地，勢力弱小的帝國會被分配到更少的殖民地數(shù)量。

2.3.2 同化過程

在形成了最初的帝國之后，每個帝國的殖民地都開始通過向其相關(guān)的方向發(fā)展來提高自己的實力。 這個過程的目的是為了使殖民地問題解的結(jié)構(gòu)與帝國所代表解的結(jié)構(gòu)更相似，所以被稱為同化過程（圖4）。

圖4 同化過程示意圖

如圖4所示， 殖民地向帝國方向移動x個單位，其中x是一個隨機變量，服從均勻分布，可表示為：

其中，未同化之前帝國與殖民地之間的距離為d；γ是大于1的實數(shù)，保證殖民地能從不同的方向靠近帝國。 最初的運動方向本質(zhì)上不是殖民地和帝國之間的矢量，為了模擬這個事實，將偏差參數(shù)θ并入同化過程中有助于提高搜索能力。 θ的恰當(dāng)選擇對于帝國的集群化和多元化有很大影響，通常θ取π/4能夠很好地達到全局收斂效果［13］。

2.3.3 革命過程

與遺傳算法中的突變過程相似，ICA允許國家的社會政治特征突然出現(xiàn)變化，這個過程被稱為革命。 革命過程的出現(xiàn)能夠防止同化后算法在早期迭代中就收斂到局部最優(yōu)解。

2.3.4 更新及合并過程

在同化和革命過程之后，一個殖民地可能達到一個比它的成本還低的位置， 如同人類社會中，大多數(shù)帝國主義國家會選擇一個具有生存優(yōu)勢的位置確定都城，這種情況下就需要互換殖民地與帝國的地位：當(dāng)前帝國變?yōu)橹趁竦兀趁竦厝〈?dāng)前帝國。 圖5為帝國更新示意圖。

圖5 帝國更新示意圖

2.3.5 競爭過程

一個帝國集團經(jīng)過更新、合并等過程之后會具備一定的整體實力，這種整體實力是指主體帝國與所擁有的殖民地的能量的總和。 總成本TCn用帝國初始成本和包含的殖民地成本相加計算：

其中，wi為帝國集團的殖民地的代價函數(shù)值；ξ是介于0～1之間的非負數(shù)，ξ越小，帝國的總成本就越接近帝國國家的成本，反之越小。

帝國競爭算法最重要的步驟之一是構(gòu)建帝國集團之間的競爭過程。 在這個機制中，最弱國中最弱的殖民地有極大的可能會被較強的帝國搶奪，各個帝國集團在競爭中生存。 最終導(dǎo)致的結(jié)果就是強的帝國越來越強， 弱的帝國越來越弱。 為了開始這一過程，首先要對每個帝國的總成本進行標(biāo)準(zhǔn)化，并計算占有概率Pn：

R為與Q大小相同， 參數(shù)介于0～1之間的通過均勻分布隨機數(shù)組成的向量。由向量Q減去R來計算向量D，D值最大的帝國即可占有自由殖民地。這種帝國獲取殖民地的方式只需極小的計算量，極大地提高了算法的計算效率。 與遺傳算法在交叉操作時選擇母類的輪盤賭過程相似，但該算法因為不需要計算累積分布函數(shù)，能夠以更少的迭代次數(shù)尋找到全局最優(yōu)點， 大幅提高了尋優(yōu)速度，從而減少了板球系統(tǒng)的控制時間。

2.3.6 帝國崩潰與融合過程

在帝國競爭中， 影響力小的帝國會被強大的帝國掠奪從而逐漸失去他們的殖民地， 這導(dǎo)致弱小的帝國隨著時間的推移而崩潰， 最后所有的殖民地都被最強大的帝國占領(lǐng)。 當(dāng)所有帝國中最強大的一個帝國保存下時算法終止，設(shè)置一定的迭代次數(shù)， 可選取算法停止時勢利最強的帝國作為輸出的最優(yōu)解。 將上述算法應(yīng)用于板球系統(tǒng)PID控制器的整定過程中，并設(shè)置跟蹤單位階躍響應(yīng)曲線的對比試驗驗證算法的優(yōu)越性。

3 板球系統(tǒng)控制試驗

3.1 板球系統(tǒng)仿真試驗

采用傳統(tǒng)PID、GA-PID和筆者提出的ICA-PID這3種控制方法分別進行試驗， 其中GA-PID控制算法根據(jù)文獻［14］的策略，設(shè)置種群數(shù)量為100、變異概率為0.05、交叉概率為0.5；ICA-PID算法中設(shè)總國家數(shù)為200、帝國數(shù)為8。 3種算法優(yōu)化同一個數(shù)學(xué)模型：

PID參數(shù)尋優(yōu)后， 單位階躍響應(yīng)如圖6所示，參數(shù)對比見表2。

圖6 單位階躍響應(yīng)對比曲線

表2 參數(shù)對比

綜上可以得出，采用ICA整定的PID階躍響應(yīng)比傳統(tǒng)PID和GA-PID對控制器的尋優(yōu)效果好，在板球系統(tǒng)控制試驗中具有調(diào)節(jié)時間短、收斂速度快和穩(wěn)態(tài)誤差小的優(yōu)點。

3.2 板球系統(tǒng)軌跡跟蹤試驗

為驗證ICA-PID控制算法的實際可行性，另外設(shè)置了基于固高GBP2001型板球系統(tǒng)作為試驗平臺的定點軌跡跟蹤試驗， 開始控制時初始PID參數(shù)值設(shè)置為Kp=20、Ki=1、Kd=120。 采用上述3種控制算法分別完成小球運動并穩(wěn)定停止在原點的控制試驗，記錄小球穩(wěn)定后的試驗數(shù)據(jù)。

在忽略小球初始位置、光照強度等干擾因素的影響下進行試驗，將最終數(shù)據(jù)導(dǎo)入到Matlab，以仿真曲線的形式反映小球在x、y兩個方向上的坐標(biāo)誤差變化和運動軌跡（圖7），具體數(shù)據(jù)見表3。

圖7 小球坐標(biāo)誤差變化和運動軌跡

表3 小球軌跡跟蹤誤差對比

在定點控制試驗中，ICA-PID控制算法的小球軌跡較為簡潔， 穩(wěn)定后的誤差值相對較小，基本滿足了控制精度的需求。 根據(jù)表3，在控制時間方面， 相比于傳統(tǒng)PID控制算法，ICA-PID控制算法能夠大幅度縮短控制時間，減小控制誤差并且優(yōu)化了PID控制整定參數(shù)不良的缺點， 其優(yōu)化效果相比GA-PID算法在穩(wěn)定性和縮小超調(diào)量方面也具有優(yōu)勢。

4 結(jié)束語

主要研究了GPB2001非線性板球控制系統(tǒng)，提出了ICA-PID算法整定PID控制參數(shù)，以實現(xiàn)板球系統(tǒng)控制的優(yōu)化。 單位階躍響應(yīng)和小球定點控制仿真試驗，證明了ICA-PID算法在整定PID參數(shù)方面具有較強的參數(shù)尋優(yōu)能力，在板球系統(tǒng)中能夠成功應(yīng)用并且得到不錯的控制效果。