馬文英

【摘要】數(shù)學(xué)是“思維”的科學(xué)，運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)能力的核心要素。用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方式進(jìn)行數(shù)運(yùn)算的教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷大膽猜想、小心求證、變式遷移的過程，從而在落實(shí)基于數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)運(yùn)算教學(xué)目標(biāo)的同時(shí)，又能發(fā)掘出知識(shí)本身蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生的思維。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 思維 數(shù)學(xué)思想 分?jǐn)?shù)計(jì)算

[提出問題]學(xué)科核心內(nèi)容是某一學(xué)科的主要內(nèi)容、關(guān)鍵內(nèi)容，是聯(lián)系學(xué)科各部分的中心和紐帶，能反映該學(xué)科的基本問題，是學(xué)科形成穩(wěn)定的內(nèi)容結(jié)構(gòu)后保持不變的那些東西。新課標(biāo)在1～3年級(jí)和4～6年級(jí)的知識(shí)技能學(xué)段目標(biāo)中均指出要讓學(xué)生能夠掌握必要的運(yùn)算技能，準(zhǔn)確進(jìn)行運(yùn)算。數(shù)的運(yùn)算便是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心內(nèi)容之一，無論是哪個(gè)版本的教材，在整個(gè)小學(xué)階段學(xué)習(xí)內(nèi)容中都占有相當(dāng)大的比重，它是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本內(nèi)容。

我們學(xué)校數(shù)學(xué)組長期進(jìn)行著“小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)與實(shí)施研究”課題研究，小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)就是基于小學(xué)生的年齡特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，依據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）的目標(biāo)要求，小學(xué)生借助實(shí)驗(yàn)材料進(jìn)行觀察、操作、猜測、計(jì)算、驗(yàn)證和推理等活動(dòng)過程，來檢驗(yàn)數(shù)學(xué)事實(shí)（數(shù)學(xué)概念、公式、定理、規(guī)律等）、驗(yàn)證數(shù)學(xué)猜想、探索數(shù)學(xué)規(guī)律、解決數(shù)學(xué)問題的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。

本學(xué)期我們重點(diǎn)研究了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在數(shù)運(yùn)算教學(xué)中的應(yīng)用，通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究，讓學(xué)生針對(duì)算理形成猜想、進(jìn)行驗(yàn)證、最終獲得，這樣的教學(xué)方式和學(xué)習(xí)方式既讓學(xué)生明白了算理，學(xué)會(huì)了算法，還發(fā)展了思維。本文以蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”為例進(jìn)行闡述。

[實(shí)施問題]“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”是蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)第二單元《分?jǐn)?shù)乘法》第一課時(shí)的內(nèi)容，分?jǐn)?shù)乘法也是小學(xué)數(shù)學(xué)中乘法內(nèi)容的最后一項(xiàng)。在此之前學(xué)生已經(jīng)掌握了整數(shù)乘法，經(jīng)歷了整數(shù)乘法、小數(shù)乘法的學(xué)習(xí)過程，理解了分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)，并能正確計(jì)算分?jǐn)?shù)加、減法。

依據(jù)對(duì)學(xué)生實(shí)際情況的分析及以往教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，這節(jié)課中后階段往往會(huì)出現(xiàn)這些現(xiàn)象：出示例題后絕大部分學(xué)生能獨(dú)立地根據(jù)乘法的意義算出最后的結(jié)果，用++的方法算出×3的結(jié)果，最后總結(jié)出分?jǐn)?shù)乘整數(shù)計(jì)算法則是分母不變，分子乘整數(shù)。這時(shí)教師往往覺得整堂課的教學(xué)目標(biāo)已經(jīng)達(dá)成，之后的半節(jié)課就是不斷地練習(xí)計(jì)算，學(xué)生學(xué)習(xí)情緒不高，覺得枯燥、乏味。課后作業(yè)得到的反饋也與設(shè)想的結(jié)果大相徑庭，首先是計(jì)算錯(cuò)誤的方式五花八門：整數(shù)乘分母，整數(shù)同時(shí)乘分子和分母等。其次，學(xué)生的思維方式也產(chǎn)生了微妙的變化，課堂里僅從一個(gè)例子就得出了計(jì)算法則，一定程度上給了學(xué)生這樣的暗示：探究問題舉一個(gè)例子就可以了，長此以往在學(xué)生眼里探究似乎就是這樣的不嚴(yán)謹(jǐn)。

由此可見，對(duì)于數(shù)運(yùn)算的教學(xué)，將目標(biāo)僅僅著眼于“雙基”是狹隘的。教師可以嘗試用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方式，讓學(xué)生經(jīng)歷操作、推理、驗(yàn)證等過程，在扎實(shí)落實(shí)基于數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)目標(biāo)的同時(shí)，又能發(fā)掘出知識(shí)本身蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生的思維，讓數(shù)運(yùn)算教學(xué)厚重起來。

[教學(xué)實(shí)踐]

一、大膽猜想——尊重學(xué)生的直覺思維

對(duì)于數(shù)的運(yùn)算，學(xué)生在進(jìn)入課堂前并非一無所知，他們總會(huì)有一些想法，或?qū)蝈e(cuò)，與其小心翼翼想繞過它，不如直面它，然后戰(zhàn)勝它。羅素說“參差多態(tài)是幸福的源泉?！闭n堂亦如此。

【分?jǐn)?shù)乘整數(shù)課堂教學(xué)片段一：大膽猜想】

本節(jié)課執(zhí)教教師沒有使用任何情境導(dǎo)入，而是直截了當(dāng)、開門見山揭示課題：“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”。

師：如果用（b≠0）表示分?jǐn)?shù)，用n表示整數(shù)，憑直覺，大膽猜想一下，你認(rèn)為像這樣的分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，可以怎樣計(jì)算？

學(xué)生大膽說出了自己的想法：有以下3種，

師：這些猜想，是不是都合理呢？口說無憑，必須要進(jìn)行——驗(yàn)證。

學(xué)生在經(jīng)過獨(dú)立思考、同桌交流探究后得出：

②號(hào)方法不合理。因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)乘整數(shù)，結(jié)果應(yīng)該比這個(gè)分?jǐn)?shù)大，而分母變成“b×n”、分子不變，整個(gè)分?jǐn)?shù)值會(huì)小于原分?jǐn)?shù)值，所以不合理。

③號(hào)也不合理。因?yàn)榉肿雍头帜竿瑫r(shí)乘n，分?jǐn)?shù)大小不變，這是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。

基于學(xué)生自發(fā)產(chǎn)生的問題展開學(xué)習(xí) ，讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生。在學(xué)生的心里，分?jǐn)?shù)是一種包含著分子和分母兩個(gè)數(shù)的數(shù)，那么在計(jì)算分?jǐn)?shù)乘整數(shù)時(shí)究竟整數(shù)是乘分母還是乘分子，還是兩個(gè)都乘呢？直面正確，學(xué)生學(xué)會(huì)了正確的算法;直面錯(cuò)誤，學(xué)生依然能習(xí)得正確的算法，但還多了學(xué)生經(jīng)歷的邏輯推理的過程。邏輯是針對(duì)問題進(jìn)行理性思維的方式，關(guān)系到我們思想的正確性和有效性。如學(xué)習(xí)小數(shù)乘法，學(xué)生會(huì)從小數(shù)加法算法遷移得出小數(shù)乘法計(jì)算也可能是“相同數(shù)位對(duì)齊”，不妨就此展開討論，通過估算和分析就能發(fā)現(xiàn)結(jié)果不合理，那這樣的方法自然是錯(cuò)誤的。

二、小心求證——發(fā)展學(xué)生的分析思維

算法的抽象離不開算理的支撐，只有深刻理解了算理，才能更好地感悟和運(yùn)用算法。在學(xué)生探究算理的過程中，本身就涵蓋著推理、抽象、建模等基本的數(shù)學(xué)思想，扎實(shí)推進(jìn)驗(yàn)證環(huán)節(jié)，促進(jìn)學(xué)生思維能力的提升。學(xué)生在片段一中，已經(jīng)有了對(duì)分?jǐn)?shù)乘整數(shù)算法的初步猜想：×n=，猜想是否成立呢？給學(xué)生時(shí)空，讓他們小心求證。

【分?jǐn)?shù)乘整數(shù)課堂教學(xué)片段二：小心求證】

在驗(yàn)證環(huán)節(jié)執(zhí)教教師給學(xué)生提供了如下實(shí)驗(yàn)單：

經(jīng)過獨(dú)立探究，學(xué)生呈現(xiàn)了各式各樣的例子和驗(yàn)證方法。

①把分?jǐn)?shù)乘整數(shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)乘整數(shù)。如×3=0.2×3=0.6= →×3=。

②畫圖。

③根據(jù)乘法的意義，借助加法和乘法之間的聯(lián)系，讓學(xué)生經(jīng)歷“乘法 → 加法 → 乘法”的推導(dǎo)過程，最終抽象出算法：×3 = +? += 。

整個(gè)驗(yàn)證環(huán)節(jié)其他學(xué)生在交流分享自己的驗(yàn)證方法時(shí)也認(rèn)真傾聽他人，或認(rèn)同或補(bǔ)充或反駁。

如針對(duì)方法①學(xué)生就進(jìn)行了辨析，是不是分?jǐn)?shù)乘整數(shù)都可以用小數(shù)乘法計(jì)算？最終明確用小數(shù)乘法計(jì)算有局限，若轉(zhuǎn)化成的小數(shù)很復(fù)雜就不方便計(jì)算了，因此還是要尋找屬于分?jǐn)?shù)乘整數(shù)本身的計(jì)算方法。

針對(duì)方法②，學(xué)生認(rèn)為可以和方法③整合思考，它們都是運(yùn)用了乘法的意義，只是表現(xiàn)形式不同。在這個(gè)交流過程中學(xué)生們達(dá)成共識(shí)，原來分?jǐn)?shù)乘法與之前學(xué)習(xí)的整數(shù)乘法、小數(shù)乘法意義一樣，從而溝通了小學(xué)階段所有種類的乘法運(yùn)算算理和算法。最后針對(duì)方法③抽象出分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的算法模型：×3 = ++，可以簡寫為=。并且結(jié)合圖形和之前的推導(dǎo)過程讓學(xué)生從不同角度再次對(duì)算法中兩個(gè)“3”做出解釋，增進(jìn)數(shù)學(xué)理解，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

驗(yàn)證的過程充滿了抽象、推理、轉(zhuǎn)化、模型等基本思想，深入激活了學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，學(xué)生在這個(gè)過程中經(jīng)歷的是思維的碰撞，處處是學(xué)生思維能力的拔節(jié)點(diǎn)。

三、變式遷移——內(nèi)化學(xué)生的批判思維

如果數(shù)學(xué)思想方法在新授中屬于“隱含、滲透”階段，那么在鞏固練習(xí)中就進(jìn)入了明確、固定的階段，也是數(shù)學(xué)思想方法的獲得和應(yīng)用的過程。精心設(shè)計(jì)練習(xí)也是固化數(shù)學(xué)思想方法、提升思維能力的一條途徑。

【分?jǐn)?shù)乘整數(shù)課堂教學(xué)片段三：變式遷移】

出示兩道鞏固練習(xí)：4×;2÷9×4。針對(duì)第2題，同學(xué)們反映：這題有點(diǎn)麻煩。

教師介入：能不能也把它看作是分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的算式？學(xué)生們恍然大悟，是啊，2÷9不就是嘛，其實(shí)就是算 ×4，原來還能這樣轉(zhuǎn)化??！

到這里教師并沒有終止對(duì)學(xué)生思維的挑戰(zhàn)，難度繼續(xù)升級(jí)。

“鞏固新知”環(huán)節(jié)教學(xué)目標(biāo)的定位應(yīng)該要實(shí)現(xiàn)多元，從“雙基”走向“四基”，從“兩能”走向“四能”，對(duì)學(xué)生思想方法的掌握和思維發(fā)展水平的評(píng)估也應(yīng)該納入“鞏固新知”的環(huán)節(jié)。以上教師設(shè)計(jì)的鞏固練習(xí)題既讓學(xué)生復(fù)習(xí)了分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的算法，又培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力。一次經(jīng)歷生出了新的意義，學(xué)生在已有基礎(chǔ)上對(duì)知識(shí)有更新的思考，更重要的是這種思考已然提升為一種數(shù)學(xué)方法或一種數(shù)學(xué)思想。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的學(xué)習(xí)方式帶給學(xué)生的是“充分地經(jīng)歷”，是“深刻地體驗(yàn)”，也是“數(shù)學(xué)地思考”，在此之后學(xué)生對(duì)數(shù)運(yùn)算的算理就會(huì)有自己的一套思考方法，如之后的分?jǐn)?shù)除法，因此數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是在扎實(shí)落實(shí)基于數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)目標(biāo)的同時(shí)，又發(fā)掘出了知識(shí)本身蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展了學(xué)生的思維。

綜上所述，運(yùn)算能力作為數(shù)學(xué)能力的核心，本身就涵蓋著抽象、推理、建模等基本的數(shù)學(xué)思想，通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方式讓學(xué)生經(jīng)歷提出猜想、進(jìn)行驗(yàn)證、得出結(jié)論、鞏固應(yīng)用，可以讓教學(xué)超越具體的知識(shí)和技能深入思維層面，讓學(xué)生能夠通過數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維。由具體的方法與策略過渡到一般性思維策略的教學(xué)與思維品質(zhì)的提升，最終讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)思維，獲得適應(yīng)終身發(fā)展的核心素養(yǎng)。正如布魯納所說，教學(xué)不僅應(yīng)當(dāng)盡可能使學(xué)生牢固地掌握科學(xué)內(nèi)容，還應(yīng)當(dāng)盡可能使學(xué)生成為自主且主動(dòng)的思想家，這樣的學(xué)生當(dāng)他在正規(guī)的學(xué)校教育結(jié)束之后，將會(huì)獨(dú)立地向前邁進(jìn)。

【參考文獻(xiàn)】

田潤根，胡明.小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)的運(yùn)算”教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的實(shí)踐研究[J].西北成人教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2015（4）.