張 芳 英 朱 睦 正

（河西學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 張掖 734000）

矩陣初等變換是《高等代數(shù)》課程的一個(gè)重要組成部分，在該課程中有著特殊的地位與作用，其思想貫穿于高等代數(shù)的始終，是研究和學(xué)習(xí)該課程的一個(gè)重要工具和手段，在矩陣的理論研究中占有非常重要的地位.

1 矩陣初等變換在高等代數(shù)中的應(yīng)用

1.1 求矩陣（向量組）的秩

矩陣（向量組）的秩是矩陣（向量組）的一個(gè)重要特征，是反映矩陣（向量組）本質(zhì)的一個(gè)不變量.求矩陣（向量組）秩的常規(guī)方法是求極大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)或求矩陣（向量組）最高階非零子式的階數(shù)，但這倆方法的缺點(diǎn)都是技巧性比較強(qiáng)，不能機(jī)械運(yùn)算.下考慮矩陣初等變換法求矩陣（向量組）的秩.

定理1［1］若矩陣A 與B 相似，則.

步驟如下：

（1）矩陣行初等變換化矩陣A 為階梯形矩陣B；

（2）階梯形矩陣B 非零行的行數(shù)即為A 的秩.

矩陣行、列初等變換可單獨(dú)亦可混合使用，因?yàn)榫仃嚨男?、列初等變換都不改變矩陣的秩.

1.2 求逆矩陣

定義［1］如果n 級(jí)方陣A 和B 滿足條件AB=BA=E，則稱A 和B 均可逆且互為逆矩陣.

根據(jù)逆矩陣的定義，求矩陣A 的逆就是尋找矩陣B 使得AB=BA=E 成立.由于AA*=A*A= ||A E，取B=A*||A 則滿足矩陣可逆定義的條件，從而是矩陣A 的逆矩陣，即A-1=B=A*||A .因?yàn)檫@里的A*是矩陣A 的轉(zhuǎn)置伴隨矩陣，此方法也被稱為伴隨矩陣法［1］.

根據(jù)可逆矩陣是有限個(gè)初等矩陣的乘積，一方面BA=E可視為對矩陣A 左乘可逆矩陣B（系列初等矩陣），即對矩陣A 進(jìn)行系列行初等變換；另一方面AB=E 亦可視為對矩陣A 右乘可逆矩陣B（系列初等矩陣），即對矩陣A 進(jìn)行系列列初等變換［2］.

特別注意，對A 左乘可逆矩陣B 時(shí)沒有右乘任何矩陣，所以進(jìn)行行初等變換時(shí)不能進(jìn)行列初等變換.對A 右乘可逆矩陣B 時(shí)沒有左乘任何矩陣，所以進(jìn)行列初等變換時(shí)亦不能進(jìn)行行初等變換.

解 對矩陣( )

A,E 進(jìn)行行初等變換，

相比伴隨矩陣法，矩陣行初等變換法求逆矩陣更加簡單.因?yàn)榘殡S矩陣法求矩陣的逆時(shí)，矩陣階數(shù)越高，要求的代數(shù)余子式就越多，從而運(yùn)算量就越大，而初等變換只需要進(jìn)行行初等變換即可.特別注意，不能使用矩陣列初等變換.

1.3 求解線性方程組

用消元法解線性方程組，實(shí)質(zhì)就是將它的增廣矩陣經(jīng)過一系列行初等變換化為階梯形矩陣.

解 利用行初等變換將增廣矩陣化成階梯形，則

相比消元法，矩陣初等變換法求解線性方程組更加直觀和簡潔，不需要未知量直接參與運(yùn)算，只需要對增廣矩陣( A?b) 施行行初等變換.同時(shí)，線性方程組的解其實(shí)是常數(shù)列向量由系數(shù)矩陣列向量線性表出的系數(shù)，絕對不能施行列初等變換，即要抓住矩陣（向量組）初等變換的本質(zhì).

1.4 解矩陣方程

例4［4］求矩陣方程AX=B 的解，其中

解 構(gòu)造3行6列的矩陣并施行行初等變換

矩陣方程AX=B 的解為

利用矩陣初等變換解決有關(guān)問題時(shí)，要改變行、列初等變換對等思想，應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況盡量強(qiáng)調(diào)“列向量，行變換”.這里類似于增廣矩陣進(jìn)行行初等變換求線性方程組的解，要絕對避免矩陣的列變換.

1.5 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

定理3［1］任意二次型f=(x1,x2,…,xn)=XTAX 一定可以通過非退化線性替換X=CY 化為標(biāo)準(zhǔn)形.

根據(jù)定理3，可以得到化二次型的矩陣為對角矩陣的初等變換法：

例5［5］將二次型f=+2+52x1x2+6x2x3化為二次標(biāo)準(zhǔn)型.

解 令

其中

C 為線性替換矩陣，所作的非退化線性替換為

特別注意，由于是合同變換，行、列初等變換必須同時(shí)使用.

1.6 化基為標(biāo)準(zhǔn)正交基

施密特正交化方法［1］是化基為標(biāo)準(zhǔn)正交基的基本方法，但該方法計(jì)算繁瑣，運(yùn)算量大.下面利用矩陣初等變換法解決［6］.

設(shè)歐氏空間Rn的一組基是

令A(yù)=( α1,α2,…,αn)，則ATA是一個(gè)n 階正定矩陣，必與E 合同，存在n 階可逆矩陣Q，使得QT( ATA) Q=(QTAT)( AQ )=E，即ATA 合同于單位矩陣且AQ 的列向量組是Rn的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.從而，得到利用矩陣初等變換法化基為標(biāo)準(zhǔn)正交基的方法

則AQ 的列向量組即為所求的標(biāo)準(zhǔn)正交基.

解 設(shè)A=( α1,α2,α3,α4)，則

利用( η1,η2,η3,η4)=( α1,α2,α3,α4)Q，可得所求標(biāo)準(zhǔn)正交基為

相比施密特正交化方法［1］，矩陣行初等變換法更為直觀且計(jì)算量小.

2 矩陣初等變換的教學(xué)建議

2.1 講明原理，說清方法

教學(xué)的目的是抓住復(fù)雜內(nèi)容的實(shí)質(zhì)，梳理核心思想和思路，講明白原理，說清楚關(guān)鍵的步驟和具體的做法.例如，求矩陣A 的逆矩陣就是尋找可逆矩陣B 使得AB=BA=E，將矩陣B 視為系列初等矩陣的乘積，從而引入行初等變換或列初等變換，進(jìn)而說明二者絕對不可以同時(shí)使用.

2.2 緊扣矩陣初等變換本質(zhì)，強(qiáng)調(diào)“列向量，行變換”［6］

矩陣初等變換的本質(zhì)是向量組的等價(jià).例如，線性方程組的向量理解就是常數(shù)列向量能否寫出系數(shù)矩陣列向量的線性組合，組合系數(shù)就是方程的解.對增廣矩陣進(jìn)行行初等變換實(shí)際上就是在尋找矩陣列向量的極大無關(guān)組，直觀理解就是消元法，所以矩陣列初等變換是不合適的.

2.3 多做練習(xí)，加深理解

學(xué)好數(shù)學(xué)最好的辦法莫過于動(dòng)手做題，高等代數(shù)也不例外.通過具體的例子去理解抽象的定義和證明，將定理的結(jié)論運(yùn)用到具體的例子中，從而加深對概念、定理和方法的理解和掌握.良好的解答證明題的能力是學(xué)好高等代數(shù)的重要標(biāo)志之一.

3 總結(jié)

矩陣的初等變換是高等代數(shù)課程的重要組成部分，其思想貫穿于高等代數(shù)的始終.本文討論了矩陣初等變換在高等代數(shù)中矩陣的秩、矩陣的逆、二次型標(biāo)準(zhǔn)化和標(biāo)準(zhǔn)正交基等問題中的應(yīng)用，并就該知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)策略進(jìn)行了一些探討.教師在教學(xué)工作中應(yīng)當(dāng)講明原理，說清方法，強(qiáng)調(diào)行列初等變換的區(qū)別，有針對性地讓學(xué)生做一定練習(xí)以便進(jìn)一步理解矩陣初等變換的思想，提升靈活應(yīng)用矩陣初等變換法簡化或解決實(shí)際問題的能力，夯實(shí)專業(yè)理論基礎(chǔ).