鄭 宇，張志龍，施衛(wèi)科，張 健，安 東，孫京陽

(中國運載火箭技術研究院 空間物理重點實驗室，北京 100076)

引言

轉臺是航空航天半實物仿真系統(tǒng)的重要裝備[1]，主要用來慣導系統(tǒng)在空中的位姿，以對其追蹤性能進行測試。轉臺一般有三個自由度，分別模擬慣導系統(tǒng)的俯仰、偏航和滾轉。對于大型轉臺，外部還擴展了兩個自由度，作為紅外目標模擬器，即大型五軸轉臺。這種大扭矩轉臺一般采用臥式布局，外框由2個液壓馬達同時驅動，其扭矩大，可以實現(xiàn)很高的加速度和很快的響應速度。然而由于存在外框的機械耦合和中框偏心旋轉帶來的慣量擾動，對外框2個馬達的同步控制帶來很大挑戰(zhàn)。國內外學者對此進行了大量研究[2-8]。其中自適應魯棒控制器[9-10]結合了自適應控制器和滑?？刂破鞯膬?yōu)點，即能夠應對系統(tǒng)的不確定參數(shù)，同時對非結構不確定性有很強的魯棒性[11-12],是提高轉臺雙馬跟蹤和同步性能的有效手段。

然而，自適應魯棒的控制效果很大程度上依賴于建模精度。目前針對轉臺的同步控制方法均是將由中框偏心旋轉帶來的慣量擾動作為干擾來進行處理，不能有效的改善2個馬達的跟蹤和同步性能。為此，本研究推導了轉臺的詳細動力學模型，該模型考慮了外框機械耦合和中框慣量擾動對2個馬達的影響?；谠撃Ｐ?，提出了變慣量自適應魯棒同步控制算法。通過Lyapunov方法證明，選擇合適的控制器增益，該算法可以保證系統(tǒng)的跟蹤誤差和同步誤差同時收斂到一定鄰域。最后基于Simulink仿真，通過與傳統(tǒng)的PID控制器對比，驗證了該算法的有效性。

1 轉臺建模

1.1 建模假設

圖1為所研究雙馬達驅動電液伺服轉臺的結構簡圖，是典型的三自由度臥式轉臺。轉臺采用O形外框，由2個液壓馬達同時驅動繞俯仰軸運動；中框為U形，由1個液壓伺服馬達單端驅動繞偏航軸運動；內框由力矩電機驅動繞滾轉軸運動。零位時，O形外框位于垂直平面內。

圖1 臥式轉臺結構簡圖

由于本研究主要考慮外框2個馬達的同步控制，為簡化建模流程，給出如下假設：

假設1：忽略內框沿滾轉軸旋轉的偏心影響；

假設2：將中框運動等效為質點繞偏航軸的旋轉運動；

假設3：認為馬達1與外框剛性固連，馬達2與外框的連接剛度為K；

假設4：由于馬達的頻寬遠高于轉臺的機械頻寬，因此忽略馬達的動態(tài)特性。

對于假設3，由于外框的剛度很大，可以用馬達1的轉角來近似外框的轉角。實際使用中，為馬達1安裝旋轉編碼器測量外框角度和角速度；馬達2與外框的連接軸上安裝力矩傳感器，測量其與外框的角度差。

1.2 轉臺動力學模型

簡化后的系統(tǒng)模型如圖2所示，其中J1，J2，Jo分別為馬達1、馬達2、外框的等效旋轉慣量；m為中框與內框的等效質點；d為中框等效質點的偏心距；α1，α2分別為馬達1、馬達2繞俯仰軸的旋轉角度；β為中框繞偏航軸的旋轉角度；T1，T2分別為馬達1、馬達2處的合力矩。

圖2 坐標系

建立如圖坐標系，其中原點O位于外框中心；Y軸平行于俯仰軸并指向馬達1；Z軸通過圓心并垂直向上。

建立沿Y軸旋轉方向的力矩平衡方程：

(1)

(2)

其中J′=J1+Jo+m(sinβd)2為轉臺與馬達1的等效總慣量；g為重力加速度。式(1)為轉臺與馬達1的力矩平衡方程；式(2)為馬達2的力矩平衡方程。

1.3 摩擦力模型

僅考慮2個馬達的黏性摩擦力矩和庫倫摩擦力矩：

(3)

其中,τfi為馬達i的摩擦力矩；cfi為黏性摩擦系數(shù)；bfi為庫倫摩擦系數(shù)；Sgn(·)為符號函數(shù)。因此合力矩可以表達為：

Ti=ui-τfi

(4)

其中，ui為馬達i的力矩輸入。將式(3)、式(4)帶入式(1)、式(2)，并將結果寫成矩陣形式，得到系統(tǒng)動力學模型：

(5)

從系統(tǒng)模型(5)可以看出，其慣量矩陣是時變非線性的，等效總慣量J′體現(xiàn)了中框旋轉造成的慣量擾動對系統(tǒng)的影響。

重新定義如下狀態(tài)變量：

(6)

由此可得系統(tǒng)狀態(tài)方程如下：

其中,x=[x1,x2]T，y為系統(tǒng)輸出。定義系統(tǒng)誤差變量：

(7)

(8)

假設5：系統(tǒng)所有的不確定性參數(shù)和集中不確定性都是有界的，即滿足：

(9)

其中,θmin=[θ1min,θ2min,…,θ8min]為不確定性參數(shù)的下界常數(shù)向量；θmax=[θ1max,θ2max,…,θ8max]為不確定性參數(shù)的上界常數(shù)向量；δ為已知正向量，始終為2個向量各元素的比較。

2 變慣量自適應魯棒同步控制(ARSCI)

針對轉臺實際工作中，外框兩側馬達由于機械耦合、變慣量干擾等原因造成的不同步問題，本研究所設計控制器旨在保證轉臺外框跟蹤性能的基礎上，進一步減小兩側馬達的同步誤差，從而提高轉臺的運動性能。

2.1 不連續(xù)映射與參數(shù)自適應律

(10)

其中，i=1,…,8。采用如下自適應律：

(11)

其中，Γ為正定的自適應律參數(shù)矩陣，τ為需要后續(xù)章節(jié)設計的自適應函數(shù)向量。對于任意自適應函數(shù)τ，不連續(xù)映射式(10)均具備以下性質：

2.2 自適應魯棒同步控制器設計

給定如下控制率：

u=ua+us,us=us1+us2

(12)

(13)

其中,ε為任意小正數(shù)，代表了對集中不確定性的抑制水平。由文獻[13]可以給出非線性魯棒補償項的一種表達形式：

其中,ξ為正向量，其每個元素滿足：

ξi≥||Φi||||θM||+δi

其中,Φi為Φ的第i列；θM=θmax-θmin；δi為δ的第i個元素。

系統(tǒng)控制框圖如圖3所示。

圖3 控制框圖

2.2 控制器性能分析

設計如下Lyapunov函數(shù)：

V(t)=eTΛ1e

(14)

其中

顯然,Λ1和J均為正定矩陣，因此V(t)也是正定的。

對控制律(12)給出如下定理：

給定如下自適應函數(shù)：

τ=ΦTe2

(15)

且設定合適的參數(shù)矩陣H1，H2使得如下矩陣Λ2正定：

則控制律(12)保證：

(1) 系統(tǒng)所有狀態(tài)變量有界，且李雅普諾夫函數(shù)滿足如下約束：

(2) 如果不存在集中不確性參數(shù)，即Δ=0，則系統(tǒng)所有狀態(tài)變量漸進收斂，即當t→∞時，e→0。

證明：對Lyapunov函數(shù)(14)兩邊求導，并帶入式(8)和控制律(12)可得：

利用不等式(13)可得：

為證定理(2)，重新定義以下Lyapunov函數(shù)：

對上式兩邊同時求導，假設Δ=0，并帶入自適應律(11)和自適應函數(shù)(15)可得：

由不連續(xù)映射的性質2和不等式(13)可得：

由此定理(2)得證。

值得注意的是，定理(1)表明，無論自適應函數(shù)如何選取，只要選擇合適的增益，所設計控制器都能保證所有系統(tǒng)狀態(tài)收斂到一定領域內。自適應參數(shù)的收斂方向是確保所有系統(tǒng)狀態(tài)收斂到此領域，而不是朝向其真實值。

3 仿真研究

3.1 仿真對比

設置以下兩組仿真，以驗證所提算法的有效性：

(1) PID：2個馬達均采用PID控制器?？刂破鲄?shù)為：KP=15000，KI=1000,KD=30000；

(2) ARSCI：采用變慣量自適應魯棒同步控制?？刂破鲄?shù)H1=diag(5000, 5000)，H2=diag(2000, 2000)；自適應參數(shù)矩陣Γ=diag(0.01,0.01,0.001,1e6,0.1,0.1,1,1)；不確定性參數(shù)初始值θ0=[40.6，0.6，0.6，8000，5，5，40，40]；不確定性參數(shù)上界θmax=[46，16.25，1，15000，10，10，100，100]；不確定性參數(shù)下界θmin=[35.5，0，0.5，5000，2，2，20，20]。

輸入曲線分別采用0.5 Hz低頻和2 Hz高頻正弦曲線：

運動過程中，中框做轉角為30°的1 Hz正弦運動。仿真參數(shù)見表1。

表1 仿真參數(shù)

3.2 仿真結果

圖4和圖5分別給出了低頻輸入指令下，PID控制器和ARSCI控制器的外框跟蹤誤差曲線，即αd-α1。PID控制器下，最大跟蹤誤差0.2°，且呈周期性變化；雖然ARSCV控制器的初始跟蹤誤差為0.2°，但15 s 后迅速收斂至0附近，這是因為在仿真模型中，集中不確性為0，符合定理(2)的結論。

圖6和圖7為低頻輸入指令下，PID控制器和ARSCV控制器的同步誤差曲線，即α1-α2。PID控制器，最大同步誤差為0.2°；ARSCI控制器最大同步誤差0.1°，且迅速收斂到0。由此可見低頻輸入下，ARSCI的跟蹤和同步性能均顯著優(yōu)于傳統(tǒng)的PID控制器。

圖4 低頻與PID控制器下的跟蹤誤差

圖5 低頻與ARSCI控制器下的跟蹤誤差

圖6 低頻與PID控制器下的同步誤差

圖7 低頻與ARSCI控制器下的同步誤差

圖8和圖9為高頻輸入指令下，PID控制器和ARSCI控制器的外框跟蹤誤差曲線。與圖4相比，高頻下PID控制器的跟蹤誤差顯著增大，而ARSCI控制的跟蹤性能沒有顯著變化。

圖8 高頻與PID控制器下的跟蹤誤差

圖9 高頻與ARSCI控制器下的跟蹤誤差

圖10和圖11分別為高頻輸入指令下，PID控制器和ARSCI控制器的同步誤差輸入?？梢妭鹘y(tǒng)PID控制器在不改變控制器參數(shù)的情況下，高頻性能迅速衰減。而ARSCI的跟蹤和同步性能在低頻和高頻輸入下均能保證優(yōu)異的性能。

圖10 高頻與PID控制器下的同步誤差

圖11 高頻與ARSCI控制器下的同步誤差

圖12和圖13分別給出了低頻和高頻輸入指令下，ARSCI控制器不確定性參數(shù)在自適應控制率下的收斂情況?？梢?，隨著時間的推移，所有不確定性參數(shù)均收斂到特定值。但是收斂值并不是參數(shù)的真實值。根據所給出的定理，參數(shù)的收斂方向是確保系統(tǒng)狀態(tài)變量收斂。

圖12 低頻下ARSCI不確定性參數(shù)變化

圖13 高頻下ARSCI不確定性參數(shù)變化

4 結論

本研究針對臥式電液伺服轉臺外框馬達的同步問題，推導了轉臺的詳細動力學模型。該模型考慮由中框旋轉造成的慣量擾動對外框驅動馬達的影響。根據所推導的模型，提出了變慣量自適應魯棒同步控制算法，通過Lyapunov方法，證明所提控制算法的穩(wěn)定性。仿真研究表明，所提算法在低頻和高頻下，均能保證系統(tǒng)的跟蹤和同步性能，且隨著時間的推移，跟蹤誤差和同步誤差均收斂到一定領域。

同時，從仿真結果也可以看出，所給出的自適應控制率保證不確定性參數(shù)向系統(tǒng)誤差減小的方向收斂，顯然該方向不一定是不確定性參數(shù)的真實值。如何能夠在確保系統(tǒng)誤差減小的同時，保證不確定性參數(shù)收斂到真實值，是本研究未來的主要工作。