魏宗康,徐白描

(北京航天控制儀器研究所·北京·100854)

0 引 言

三軸穩(wěn)定平臺系統(tǒng)由臺體、內(nèi)框架、外框架和基座組成，相對于捷聯(lián)系統(tǒng)的優(yōu)點在于通過框架隔離載體的角運動，使平臺臺體相對于慣性空間始終保持穩(wěn)定，為導(dǎo)航解算用的加速度計提供一個良好的工作環(huán)境?，F(xiàn)有的文獻[1-2]認(rèn)為，臺體相對慣性空間穩(wěn)定的三軸平臺存在“框架鎖定”現(xiàn)象，即內(nèi)框架角為90°時平臺臺體軸和外框架軸相重合從而使平臺失去一個自由度。在發(fā)生框架鎖定時，如果平臺基座沿垂直于臺體軸和外框架軸的第三個正交軸存在轉(zhuǎn)動時，則通過平臺外框架軸和內(nèi)框架軸的軸承約束，將帶動整個臺體繞該第三個正交軸轉(zhuǎn)動從而使其不能相對慣性空間保持穩(wěn)定。為此，三軸平臺在工程應(yīng)用中在內(nèi)框架軸上增加限位擋釘以避免內(nèi)框架角工作于大角度，這就使得三軸平臺只能應(yīng)用于機動姿態(tài)有限的載體上。

但隨著飛機、運載火箭和彈道式導(dǎo)彈對機動變軌飛行需求的增加，要求慣性平臺在全姿態(tài)、大機動運動時臺體仍能保持穩(wěn)定。為此，在原來兩框架三軸平臺的基礎(chǔ)上，通過在最外面增加一個隨動框架構(gòu)成四軸平臺用來避免“框架鎖定”現(xiàn)象的發(fā)生。為了使四軸平臺的內(nèi)框架工作于0°，文獻[3-4]提出了一種全方位四軸平臺隨動回路方案。當(dāng)外框架角為±90°時，可通過將隨動框架轉(zhuǎn)動90°的方法使內(nèi)框架角回零，同時使外框架離開±90°位置，使四軸平臺重新具備閉合隨動回路的工作條件。這就帶來一個新的問題是，既然內(nèi)框架角始終工作于0°，那么四軸平臺就退化為一個由臺體軸、外框架軸和隨動框架軸構(gòu)成的三軸平臺了，是不是三軸平臺也能實現(xiàn)全姿態(tài)、大機動狀態(tài)下的工作？

國內(nèi)對三軸平臺內(nèi)框架限幅的主要依據(jù)是參考文獻[1]，所建立的三軸平臺運動模型中包含了內(nèi)框架角的正切函數(shù)和正割函數(shù)，轉(zhuǎn)動慣量和力矩變換的計算公式中也包含了內(nèi)框架角度的正切值或正割值，因此當(dāng)內(nèi)框架角度為±90°時，計算的結(jié)果趨于無窮大，但該結(jié)論不符合物理規(guī)律。因此，本文建立了一種新的三軸平臺動力學(xué)方程、伺服回路模型，并提出了一種適應(yīng)全姿態(tài)的解耦方法，可對回路中的力矩耦合和轉(zhuǎn)動慣量耦合進行解耦，實現(xiàn)了三條回路的獨立控制。針對伺服回路系統(tǒng)中的變參數(shù)問題，本文提出了變增益控制策略，仿真結(jié)果表明該控制方法可保證伺服回路性能不變，具有更好的魯棒性。

1 三軸陀螺穩(wěn)定平臺的框架系統(tǒng)動力學(xué)方程

包含臺體、內(nèi)框架、外框架和基座的三軸平臺結(jié)構(gòu)如圖1所示，設(shè)βzk為內(nèi)框架相對臺體的轉(zhuǎn)動角度，βyk為外框架相對內(nèi)框架的轉(zhuǎn)動角度，βxk為基座相對外框架的轉(zhuǎn)動角度。在βzk=0、βyk=0、βxk=0時，臺體坐標(biāo)系OXpYpZp、內(nèi)框架坐標(biāo)系OXp1Yp1Zp1、外框架坐標(biāo)系OXp2Yp2Zp2和基座坐標(biāo)系OX1Y1Z1重合。此時，平臺框架可以隔離基座的角運動，臺體相對慣性空間穩(wěn)定。

圖1 框架歸零時的三軸平臺結(jié)構(gòu)Fig.1 Three axes platform structure when frame angle values are zeros

圖2 三軸平臺4個坐標(biāo)系之間的關(guān)系Fig.2 The relation within four coordinates of three axes platform

在建立平臺系統(tǒng)的動力學(xué)方程時，定義ωxp、ωyp、ωzp分別為臺體坐標(biāo)系相對于慣性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動角速度在Xp、Yp、Zp軸上的投影分量；ωxp1、ωyp1、ωzp1分別為內(nèi)框架坐標(biāo)系相對于慣性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動角速度在Xp1、Yp1、Zp1軸上的投影分量；ωxp2、ωyp2、ωzp2分別為外框架坐標(biāo)系相對于慣性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動角速度在Xp2、Yp2、Zp2軸上的投影分量；ωx1、ωy1、ωz1分別為載體坐標(biāo)系相對于慣性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動角速度在X1、Y1、Z1軸上的投影分量。

采用歐拉法分別列寫出臺體、內(nèi)框架和外框架的動力學(xué)方程。

(1) 臺體的動力學(xué)方程：

(1)

式中，Jxp、Jyp、Jzp為臺體(包括陀螺儀殼體)對Xp、Yp、Zp軸的轉(zhuǎn)動慣量；Mxp、Myp、Mzp為臺體Xp、Yp、Zp軸上的外力矩；MDzp為臺體軸力矩電機的反饋力矩。

(2) 內(nèi)框架的動力學(xué)方程：

(2)

式中，Jxp1、Jyp1、Jzp1為內(nèi)框架對Xp1、Yp1、Zp1軸的轉(zhuǎn)動慣量；Mxp1、Myp1、Mzp1分別為內(nèi)框架軸上的外力矩，不包括電機力矩的反饋力矩；MDy1為內(nèi)框架軸力矩電機反饋力矩。

(3) 外框架的動力學(xué)方程為：

(3)

式中，Jxp2、Jyp2、Jzp2為內(nèi)框架對Xp2、Yp2、Zp2軸的轉(zhuǎn)動慣量；Mxp2、Myp2、Mzp2分別為外框架軸上的外力矩，不包括電機力矩的反饋力矩；MDx2外框架軸力矩電機反饋力矩。

(4) 基座隨著載體運動時對外框架施加的力矩為

(4)

式中，Mx1、My1、Mz1為基座受到載體的作用力矩。

2 存在奇異值的三軸平臺臺體合成動力學(xué)方程

式(1)～(4)是分析平臺系統(tǒng)運動規(guī)律的基礎(chǔ)，對其求解可得三軸平臺的臺體三軸動力學(xué)方程。在具體求解過程中，忽略二階慣性干擾力矩，可以列寫出各框架力矩作用到臺體三個軸Xp、Yp、Zp的動力學(xué)方程。根據(jù)參考文獻[1]的推導(dǎo)思路，依據(jù)內(nèi)框架動力學(xué)方程，有

(5)

(6)

以及外框架OXp2軸動力學(xué)方程

Mxp1=

(7)

需要注意，當(dāng)βyk=90°時，上式中的1/cosβyk將趨于無窮大，βyk為奇異值。把式(6)代入式(7)，再把式(7)代入式(5)，并把式(5)代入式(1)，即可求得三軸穩(wěn)定慣性平臺系統(tǒng)的臺體合成動力學(xué)方程為

(8)

其中，

Jzp1cos2βzktan2βyk+Jxp2cos2βzksec2βyk；

Jzp1sin2βzktan2βyk+Jxp2sin2βzksec2βyk；

Jxp2sec2βyk)sin2βzk。

根據(jù)該動力學(xué)方程，三軸平臺伺服回路如圖3所示。圖中，由框架至臺體的干擾力矩的耦合矩陣為

(9)

在現(xiàn)有平臺系統(tǒng)中只采用了平面坐標(biāo)分解器進行力矩解耦，平面分解器的表達式為

(10)

但上述結(jié)果存在以下問題：

(1) 當(dāng)βyk趨于±90°時，如果外框架Xp2、臺體Zp軸上存在有限力矩Mxp2和Mzp，臺體Xp和Yp軸將接收到趨于無限大的被動力矩。從物理意義上來說，在框架軸輸入有限能量時將在臺體產(chǎn)生無限能量，顯然不符合客觀規(guī)律。

分析錯誤的原因，根源在于兩個方面，其一是式(6)中把內(nèi)框架Mzp1用臺體軸力矩Mzp-MDzp表示，即該方法認(rèn)為內(nèi)框架的干擾力矩是由臺體的運動造成的；其二是式(7)，在求解Mxp1時只用到外框架OXp2軸的動力學(xué)方程，而沒有用到OZp2軸的動力學(xué)方程。

圖3 基于平面坐標(biāo)分解器的三軸平臺伺服回路Fig.3 Three axes platform servo based on plane coordinate resolver

3 適應(yīng)全姿態(tài)的三軸平臺系統(tǒng)臺體合成動力學(xué)方程

通過把內(nèi)框架力矩Mzp1用外框架力矩Mxp2和Mzp2的合成來表示，采用表達式

Mzp1=[M7-(Mxp2-MDx2)]sinβyk- (M9-Mzp2)cosβyk

(11)

把上式代入式(7)，有

Mxp1=-[M7-(Mxp2-MDx2)]cosβyk-

(M9-Mzp2)sinβyk

(12)

忽略二階小量，具體推導(dǎo)過程見圖4。

圖4 三軸平臺動力學(xué)方程推導(dǎo)流程Fig.4 Derivation flow of kinematic equation of three axes platform

(13)

其中，

4 三軸平臺系統(tǒng)伺服回路全姿態(tài)解耦設(shè)計

在慣性穩(wěn)定平臺伺服系統(tǒng)工作時，作為伺服回路執(zhí)行機構(gòu)的三個力矩電機分別裝在臺體軸、內(nèi)框架軸和外框架軸上，在不同框架角時伺服回路會存在著力矩耦合?？蚣芟到y(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量最終通過慣性干擾力矩對臺體的作用體現(xiàn)出來，包括轉(zhuǎn)動慣量間的耦合、慣量積的耦合等，但最關(guān)鍵的是框架轉(zhuǎn)動慣量在臺體上的耦合。為此，在設(shè)計三軸慣性穩(wěn)定平臺系統(tǒng)的伺服回路控制器時，需要進行解耦。

目前的三軸平臺的內(nèi)框架角工作范圍較小，一般不會超過±40°的范圍，所以對伺服回路進行解耦時只考慮了力矩解耦，即所謂的坐標(biāo)分解器。隨著內(nèi)框架角工作范圍達到±180°時，轉(zhuǎn)動慣量耦合對伺服回路的影響不可忽略，主要表現(xiàn)為兩個方面：(1)三個回路交鏈的耦合作用會直接影響靜態(tài)精度和動態(tài)精度；(2)三個回路增益大小的變化會影響相位裕度。這些都會影響平臺臺體相對慣性空間的穩(wěn)定性和精度。為此，本文提出了一種新的三軸穩(wěn)定平臺系統(tǒng)伺服回路解耦方法，如圖5所示。圖中，由框架至臺體的干擾力矩的耦合矩陣為

(14)

(15)

(16)

圖5 基于轉(zhuǎn)動慣量和力矩解耦的三軸平臺伺服回路Fig.5 Three axes platform servo based on moment of inertia and moment decoupling

圖6 解耦后的X軸平臺伺服回路Fig.6 Decoupled servo loop of X-axis platform

5 三軸平臺系統(tǒng)伺服回路變增益控制設(shè)計

圖在不同框架角時的值Fig.7 The value of according to different frame angle

本文提出一種三軸慣性穩(wěn)定平臺系統(tǒng)伺服回路變增益控制方法，實現(xiàn)步驟如下：

(1)根據(jù)臺體上安裝的陀螺儀輸出的角速度，得到臺體在Xp軸、Yp軸和Zp軸上的角速度分量ωxp、ωyp、ωzp；

(2)經(jīng)過解耦后，得到臺體Zp軸的合成轉(zhuǎn)動角速度βz、內(nèi)框架Yp1軸的合成轉(zhuǎn)動角速度βy；外框架Xp2軸的合成轉(zhuǎn)動角速度βx；

性能指標(biāo)要求包括靜態(tài)精度指標(biāo)、動態(tài)精度指標(biāo)和對象不確定性指標(biāo)：(1)靜態(tài)精度指標(biāo)為伺服回路為一個II型系統(tǒng)，因此，需增加一個積分環(huán)節(jié)；(2)動態(tài)精度主要考慮在低頻段盡量增加伺服回路的力矩剛度；(3)對象不確定性主要考慮高頻未建模特性。由于精度指標(biāo)和對象不確定性指標(biāo)是一對矛盾量，因此，在設(shè)計控制器時需要在上述兩個指標(biāo)之間取折中[7-8]。

在具體設(shè)計時，以X軸伺服回路為例，采用H∞控制設(shè)計的βyk=0°、βzk=0°時的控制器為[11-12]

Cx,0(s)=

(19)

伺服回路開環(huán)傳遞函數(shù)如圖8所示，可以看出，在帶寬范圍內(nèi)的低頻段，開環(huán)傳遞函數(shù)幅值大于性能界函數(shù)的值，而在帶寬范圍外的高頻段，開環(huán)傳遞函數(shù)幅值小于對象不確定性的值；伺服回路的帶寬為163.2(rad/s)，相位裕度為53.9°，滿足設(shè)計要求。

圖8 X軸伺服回路開環(huán)伯德圖Fig.8 The magnitude versus phase plot of X-axes servo loop

圖9 X軸伺服回路開環(huán)幅值伯德圖Fig.9 The magnitude plot of X-axes servo loop

為比較變增益的效果，不考慮系統(tǒng)中的飽和特性，設(shè)框架角βyk=90°、βzk=0°，外框架受到一個常值干擾力矩Mx1=1(N·m)的作用，電機力矩MDx2的響應(yīng)過程見圖10中的上圖，控制器輸出ux的電流見圖10中的下圖。無增益補償時的伺服回路單位階躍響應(yīng)如圖10中紅線所示，黑線為采用變增益控制的伺服回路單位階躍響應(yīng)，可以看出，變增益控制具有響應(yīng)時間快、超調(diào)量小、精度高的優(yōu)點。

圖10 X軸伺服回路單位階躍響應(yīng)Fig.10 The step response plot of X-axes servo loop

6 結(jié) 論

本文針對載體全姿態(tài)、大機動運動的應(yīng)用需求，探討了三軸平臺在臺體相對于慣性空間穩(wěn)定時的全姿態(tài)伺服控制方法，有如下結(jié)論：

(1) 傳統(tǒng)上認(rèn)為三軸平臺存在“框架鎖定”而不能實現(xiàn)全姿態(tài)功能的觀點是有局限性的，主要原因為理論推導(dǎo)有不足之處，在工程實際中又采用限位擋釘使內(nèi)框架角工作于小角度等具體措施；本文建立了新的三軸平臺伺服回路動力學(xué)模型，實現(xiàn)了三軸平臺任意框架角時的全姿態(tài)運動描述。

(2)工程實現(xiàn)中三軸平臺采用平面坐標(biāo)分解器實現(xiàn)伺服回路解耦有其局限性，解耦的條件是假設(shè)內(nèi)框架角工作于小角度；本文提出了一種新的伺服回路解耦方法，不僅可實現(xiàn)全姿態(tài)條件下框架力矩耦合的解耦，還可實現(xiàn)轉(zhuǎn)動慣量耦合的解耦，實現(xiàn)了真正物理意義上的解耦。

(3) 現(xiàn)有的伺服回路控制器為固定參數(shù)超前滯后頻率域控制器，具有較好的魯棒穩(wěn)定性，但在全姿態(tài)條件下個別性能會下降；本文提出了一種變增益控制方法，實時補償伺服回路在不同框架角時的增益變化，確保了伺服回路的性能不變。