潘公宇，陳玉瑤

（江蘇大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013）

1 引言

隨著高速公路的發(fā)展，車速的提高，人們對于汽車乘坐舒適性提出了更高的要求，而發(fā)動機(jī)作為汽車的動力源所引發(fā)的振動越來越被人們所關(guān)注。傳統(tǒng)的發(fā)動機(jī)被動懸置已無法滿足人們的要求，而主動懸置由于其動態(tài)范圍寬，響應(yīng)速度快，功耗低已成為當(dāng)前研究的熱點。其系統(tǒng)主要是由作動器，傳感器和控制單元構(gòu)成，通過傳感器檢測發(fā)動機(jī)振動的信號傳到控制器，控制器控制作動器產(chǎn)生主動控制力[1-2]。如果中間某些環(huán)節(jié)的響應(yīng)時間較長，系統(tǒng)就會產(chǎn)生時滯。時滯對主動懸置的影響很大，會出現(xiàn)主動控制力與發(fā)動機(jī)運(yùn)動狀態(tài)不合拍，嚴(yán)重影響車輛振動性能。目前關(guān)于時滯補(bǔ)償控制的研究大多集中在模糊控制或者滑?？刂品秶鷥?nèi)，模糊控制設(shè)計尚缺乏系統(tǒng)性以及滑模控制的抖動問題，使得復(fù)雜系統(tǒng)的控制難以奏效[3-4]。而建立了發(fā)動機(jī)三自由度主動懸置模型，通過變換表達(dá)，將泰勒級數(shù)整合到LQG 控制器設(shè)計TLQG 控制器，解決了由于LQG 控制與泰勒級數(shù)直接無法結(jié)合的問題，從而解決了發(fā)動機(jī)主動懸置的時滯問題，通過仿真表明可以改善發(fā)動機(jī)隔振性能。

2 壓電作動器主動懸置模型

2.1 壓電作動器特性及壓電方程

壓電陶瓷作動器是壓電陶瓷在實際應(yīng)用中的一個重要領(lǐng)域，主要原理是利用壓電陶瓷的逆壓電效應(yīng)。作動器是發(fā)動機(jī)主動懸置的核心組成部分，作動器的性能在一定程度上決定了主動懸置系統(tǒng)的隔振性能。因此選擇合適的作動器是設(shè)計主動懸置的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，而具有較好機(jī)電耦合特性的壓電作動器，正適合應(yīng)用在主動控制系統(tǒng)中。厚型壓電作動器是由幾十個甚至上百個堆疊在一起的薄型壓電陶瓷作動器基于力學(xué)上的串聯(lián)組成的[5]，如圖1 所示。

圖1 壓電堆示意圖Fig.1 Piezoelectric Stack Diagram

根據(jù)壓電陶瓷的力學(xué)特性可以得到壓電陶瓷的輸出變形和輸出力方程[6]如下

式（1）反映了某一壓電作動器加載電壓，作動反力和驅(qū)動位移三者之間的理論關(guān)系。

2.2 壓電陶瓷作動器的實驗研究

前文對壓電陶瓷作動器進(jìn)行的理論分析不能驗證壓電陶瓷作動器在實際使用中的特性，同時壓電陶瓷作動器的使用參數(shù)也不能通過理論來得到。因此，建立了壓電作動器的實驗臺，通過一系列的實驗來探索壓電作動器的特性。本試驗在江蘇大學(xué)力學(xué)院實驗室的支持幫助下完成的，實驗中使用的實驗設(shè)備有實驗臺架、用來給壓電陶瓷作動器提供電壓的電源、力傳感器、位移傳感器、數(shù)據(jù)采集器以及分析系統(tǒng)。

圖2 壓電作動器實驗臺架Fig.2 Experim Ental Bench of Piezoelectric Actuator

圖3 壓電陶瓷作動器動態(tài)輸出位移Fig.3 Dynamic Output Displacement of Piezoceramic Actuator

圖4 壓電陶瓷作動器動態(tài)輸出力Fig.4 Dynamic Output Force of Piezoceramic Actuator

圖5 壓電陶瓷作動器等效動剛度Fig.5 Equivalent Dynamic Stiffness of Piezoceramic Actuator

從上圖壓電陶瓷作動器的實驗可以看出輸出力，動態(tài)位移量與電壓基本成線性關(guān)系，通過實驗數(shù)據(jù)的擬合，可以寫出壓電陶瓷作動反力與電壓的關(guān)系：

同時作動器的剛度隨著施加電壓頻率的變化而產(chǎn)生微小的變化，可以認(rèn)為頻率對剛度的影響不大，在主動控制時，可以將作動器剛度當(dāng)成一個定值[7]。在控制器求出懸置系統(tǒng)所需的主動控制力FMR（t）之后，根據(jù)式中的FMR（t）和U（t）的關(guān)系計算系統(tǒng)所需的控制電壓，從而對主動懸置進(jìn)行控制。

2.3 發(fā)動機(jī)時滯主動懸置模型

由于信號處理所帶來的時滯極小，只考慮壓電陶瓷作動器響應(yīng)所帶來的時滯，建立3 自由度主動懸置模型，如圖6 所示。

圖6 三自由度主動懸置時滯系統(tǒng)模型Fig.6 Model of Active Suspension System with Three Degrees of Freedom

圖中：xe—發(fā)動機(jī)位移；xb—車身的位移；xw—輪胎的位移；me—發(fā)動機(jī)等效質(zhì)量；mb—車身的等效質(zhì)量；mw—發(fā)動機(jī)等效質(zhì)量；ke—主動懸置等效剛度；ce—主動懸置等效阻尼；FMR—懸置主動控制力；kb—懸架等效剛度；cb—懸架等效阻尼；kt—輪胎等效剛度；Fe—發(fā)動機(jī)激振力；q—路面不平度輸入。

3 自由度發(fā)動機(jī)主動懸置模型的動力學(xué)方程為：

定義狀態(tài)矢量：

式中

3 基于遺傳算法LQG 控制器的設(shè)計

3.1 LQG 最優(yōu)控制器的設(shè)計

在發(fā)動機(jī)主動懸置LQG 控制器設(shè)計過程中，發(fā)動機(jī)振動加速度，懸置的動行程，懸架的動撓度，輪胎的動載荷是需要綜合考慮的四個性能指標(biāo)[8]，在此利用加權(quán)系數(shù)綜合考慮上述4 個性能指標(biāo)，確定懸置的綜合性能如下：

根據(jù)最優(yōu)控制理論和主動懸置微分方程可以寫成標(biāo)準(zhǔn)二次型：

利用Matlab 軟件提供的LQR 函數(shù)可以求得最優(yōu)反饋增益矩陣K，表達(dá)式如下：

式中：S、E—黎卡提方程的解以及系統(tǒng)的特征值向量。根據(jù)LQG

最優(yōu)控制理論，由下面表達(dá)式求出理想主動控制力。

3.2 基于遺傳算法加權(quán)系數(shù)的設(shè)計

采用發(fā)動機(jī)主動懸置的性能指標(biāo)懸置動行程（xe-xb）2，懸架動撓度（xb-xw）2，輪胎的動載荷（xw-q）2，構(gòu)建用于遺傳算法的適應(yīng)度函數(shù)，可以構(gòu)建下列形式的適應(yīng)度函數(shù)。

式中：AVB（x），SWB（x），DTD（x）—發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)中的輪胎動載荷，懸架動撓度，以及懸置動行程的均方根值。AVBpas，SWBpas，DTDpas—對應(yīng)被動時相應(yīng)的性能。優(yōu)化變量δ=［δ1，δ2，δ3］，采用遺傳算法搜索加權(quán)系數(shù)δ1，δ2，δ3步驟如下：

（1）遺傳算法產(chǎn)生加權(quán)系數(shù)初始種群，LQG 控制器加權(quán)系數(shù)δ1，δ2，δ3共三個變量，故個體表達(dá)式為δ=［δ1，δ2，δ3］使用實數(shù)編碼的形式，加權(quán)系數(shù)在初始種群內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生。

（2）將初始種群個體依次賦值給LQG 控制器加權(quán)系數(shù)δ1，δ2，δ3，由式（7）求出LQG 控制反饋增益矩陣K，通過求解式（8）獲取作動器最優(yōu)控制力u，將其代入主動懸置模型中，通過控制仿真可以獲得主動懸置性能指標(biāo)AVB（x），SWS（x），DTD（x）。

（3）根據(jù)式（9）得出種群個體的適應(yīng)度值，并且將適應(yīng)度函數(shù)的極小值作為終止條件，若滿足條件，退出程序并輸出最優(yōu)個體值，如不滿足，轉(zhuǎn)至（4）。

（4）通過遺傳算法中選擇，交叉，變異等操作實現(xiàn)保留精英個體和產(chǎn)生種群新個體，運(yùn)算過程轉(zhuǎn)入（2）[9]。

利用MATLAB/Simulink 軟件，并借助軟件中遺傳算法優(yōu)化工具箱進(jìn)行優(yōu)化搜索計算，最終獲得最優(yōu)個體：

4 泰勒級數(shù)結(jié)合LQG 控制器時滯補(bǔ)償控制

4.1 泰勒級數(shù)結(jié)合LQG 控制產(chǎn)生的預(yù)估力

由于主動隔振時滯的存在，壓電陶瓷作動器需要經(jīng)過一定的時間才能對輸入做出響應(yīng)，這會降低控制的實時性，從而惡化系統(tǒng)的性能。在時滯補(bǔ)償控制系統(tǒng)中，我們考慮利用泰勒級數(shù)的預(yù)估功能，并結(jié)合LQG 控制，對系統(tǒng)的控制力進(jìn)行預(yù)估，進(jìn)而起到時滯補(bǔ)償?shù)淖饔谩?/p>

泰勒級數(shù)僅在時滯較小時才具有較好的預(yù)估作用，壓電陶瓷作動器由于其響應(yīng)快，反應(yīng)時間短，上海交通大學(xué)對壓電陶瓷作動器時滯反饋控制進(jìn)行實驗研究，時滯大約20ms 左右[10-11]，所以用泰勒級數(shù)對系統(tǒng)進(jìn)行時滯補(bǔ)償控制是合理的。

在t時刻，利用泰勒級數(shù)結(jié)合傳統(tǒng)的LQG 控制提前預(yù)測出t+τ 時刻的主動控制力Fp（t），以此對系統(tǒng)進(jìn)行時滯補(bǔ)償。Fp（t）的表達(dá)式如下：

為了分析該問題，給出了τ=20ms 時理想主動控制力Fa（t）和預(yù)估力Fp（t）之間的比較圖，如圖7 所示。圖7 中，LQGT1 表示1 階泰勒級數(shù)得到的預(yù)估力；ILQG 代表利用理想LQG 控制（即時滯為零的無措施LQG 控制）求得的主動力。

利用泰勒級數(shù)對控制力進(jìn)行預(yù)測時，一階泰勒級數(shù)對于理想的控制力有放大作用，如圖7 所示。因此用一階泰勒級數(shù)進(jìn)行控制力的預(yù)測，故將式（10）改為：

圖7 一階數(shù)泰勒級數(shù)預(yù)估力比較圖Fig.7 Comparison Diagram of First Order Taylor Series Prediction Force

4.2 LQG 結(jié)合泰勒級數(shù)TLQG 控制器的設(shè)計

在式（11）的基礎(chǔ)上，對式（4）進(jìn)行擴(kuò)展得到擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)方程如下：

相應(yīng)的懸置二次型性能指標(biāo)J為：

其中，N1=［0 0 0 0 0 0 0］T；R1=［0］

由于R1=0；LQG 控制器無法設(shè)計；故要對方程（14）中Fa（t）進(jìn)行變換；

為滿足R1＞0，對式（11）中Fa（t）進(jìn)行如下變換：

經(jīng)過變換后，新的擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)方程和二次型性能指標(biāo)的表達(dá)式分別如下：

其中，U2=［Fp（t）］；

由于β＞＞α＞0，因此變換前的Fa（t）和變換后的βFa（t）+αFp（t）幾乎相等，從而基本不改變原系統(tǒng)的動力學(xué)特性。

由于R2＞0，滿足LQG 控制器設(shè)計條件，因此可以將泰勒級數(shù)與LQG 控制器結(jié)合設(shè)計TLQG 控制器。

發(fā)動機(jī)主動懸置的TLQG 控制器框圖，如圖8 所示。

圖中的擴(kuò)展方程為：

方程（17）的作用是為了將泰勒級數(shù)與主動懸置系統(tǒng)狀態(tài)方程整合成擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)方程來設(shè)計TLQG 控制器。

TLQG 控制器主動控制力的輸出為：

式中：K2—最優(yōu)反饋增益矩陣，可以通過下式求得：

式中：S2—黎卡提方程的解；

E2—系統(tǒng)的特征值向量。

圖8 主動懸置TLQG 控制圖Fig.8 TLQG Control Chart of Active Mount

5 系統(tǒng)仿真

5.1 隨機(jī)路面輸入仿真

在Simulink 建模環(huán)境下模擬B級路面，輸入為濾波白噪聲，車輛速度為72km/h，路面不平度系數(shù)為64×10-6m3，下截止頻率為0.1Hz，路面仿真圖，如圖9 所示。

圖9 B 級路面不平度輸入Fig.9 Road Roughness Input at Grade B

5.2 發(fā)動機(jī)懸置時滯仿真模型及分析

時滯τ=20ms 采用LQG 控制主動、時滯τ=20ms 采用LQG時滯補(bǔ)償?shù)闹鲃討抑檬疽鈭D，如圖10、圖11 所示。

圖10 時滯τ=20ms 采用LQG 控制主動Fig.10 Time Delay τ=20ms，Active Mount with LQG Control

圖11 時滯τ=20ms 采用LQG 時滯補(bǔ)償?shù)闹鲃討抑肍ig.11 Time Delay τ=20ms，Active Mount with TLQG Control

5.3 仿真結(jié)果分析

表1 時滯為20ms 時仿真結(jié)果Tab.1 Simulation Results when the Time Delay is 20ms

為了比較結(jié)果，分別計算出各項 性能指標(biāo)在時滯τ=20ms時，車身的質(zhì)心加速度；發(fā)動機(jī)的質(zhì)心加速度；懸架的動撓度；懸置的動行程；輪胎的動位移均方根值等參數(shù)。并列表，如表（1）所示。由表可知，在時滯為20mms 時，傳統(tǒng)LQG 控制在發(fā)動機(jī)質(zhì)心加速度，車身質(zhì)心加速度與被動懸置相比反而分別增大了10.3%，2.3%，這并不利于車輛平順性的改善。采用LQG 結(jié)合泰勒級數(shù)時滯補(bǔ)償?shù)腡LQG 控制，與被動懸置相比，發(fā)動機(jī)的質(zhì)心加速度，車身的質(zhì)心加速度，懸置的動行程等參數(shù)分別降低了15.8%，6.2%，8.3%，而懸架的動撓度，輪胎動載荷相比之下卻能基本保持不變。說明所設(shè)計的TLQG 控制器對于提高車輛的平順性有一定的作用。

圖12 磁流變時滯τ=20ms 懸置綜合性能評價指標(biāo)JFig.12 Time Delay τ=20ms，Comprehensive Performance J

由圖12 的仿真結(jié)果，相對于被動懸置，時滯為20mms 時，LQG 控制懸置的綜合性能不如被動懸置，而對于LQG 時滯補(bǔ)償?shù)膽抑镁C合性能好于被動懸置，這也驗證了仿真的正確性。

6 結(jié)論

（1）研究了壓電陶瓷力學(xué)特性，通過實驗近似建立了主動控制力與電壓的關(guān)系。

（2）建立三自由度發(fā)動機(jī)主動懸置模型，考慮系統(tǒng)時滯并建立其動力學(xué)方程。通過變換將泰勒級數(shù)與LQG 控制器結(jié)合設(shè)計TLQG 控制器，為發(fā)動機(jī)時滯補(bǔ)償控制提供理論基礎(chǔ)。

（3）仿真結(jié)果表明時滯τ=20ms 時相對于被動懸置，以及在最優(yōu)控制下的發(fā)動機(jī)懸置，設(shè)計的TLQG 控制器對發(fā)動機(jī)質(zhì)心加速度，懸置動行程及車身質(zhì)心加速度這幾個性能指標(biāo)都有一定的改善，從而一定程度上改善發(fā)動機(jī)的隔振性能。