王秉相，程普鋒，鄭宇軒，周風(fēng)華

（寧波大學(xué)沖擊與安全工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 寧波 315211）

砂石等脆性材料由大量的脆性散體顆粒組成，具有松散、多孔、易壓縮等特性[1-2]，應(yīng)力波在此類松散脆性材料中的傳播[3]通常會(huì)呈現(xiàn)顯著的衰減規(guī)律。散體脆性顆粒作為消波耗能材料已被廣泛應(yīng)用于防護(hù)領(lǐng)域，用作沖擊、爆炸等的能量吸收[4-5]。因此，深入探討應(yīng)力波在散體脆性顆粒中的傳播規(guī)律和影響因素對(duì)防護(hù)工程具有重大意義，亦可為防護(hù)層的構(gòu)建提供一定的理論參考。

季順迎等[6]用石質(zhì)球體作為沖擊物，在散體顆粒底部安裝壓力傳感器，通過(guò)散體顆粒底部壓力的變化來(lái)分析其緩沖性能，研究了顆粒粒徑、顆粒形態(tài)等對(duì)緩沖性能的影響，由于石質(zhì)球與顆粒接觸過(guò)程存在不均勻性，因此實(shí)驗(yàn)結(jié)果的精度不高。趙躍堂等[7]基于平面波加載器，通過(guò)在不同深度土層中埋設(shè)壓力傳感器的方法來(lái)探究飽和土顆粒在爆炸加載下不同層的壓力變化，根據(jù)不同土層的壓力分布來(lái)分析波的傳播規(guī)律，由于在土顆粒中埋設(shè)壓力傳感器會(huì)改變土顆粒的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，因此該方法測(cè)得的壓力值與真實(shí)值存在一定差異。趙凱[8]實(shí)驗(yàn)研究了爆炸載荷作用下多層防護(hù)層結(jié)構(gòu)對(duì)爆炸波的衰減作用，獲得了多種分配層下波的衰減規(guī)律。魏久淇等[9]基于分離式霍普金森壓桿實(shí)驗(yàn)，通過(guò)透射桿峰值應(yīng)力與入射桿峰值應(yīng)力的比值來(lái)描述波的衰減，并探究了中高應(yīng)變率下鈣質(zhì)砂的力學(xué)響應(yīng)。由于鈣質(zhì)砂與透射桿之間存在較大的機(jī)械阻抗，直接將透射桿峰值應(yīng)力作為砂粒端面應(yīng)力的處理方式對(duì)波衰減的準(zhǔn)確性有一定影響。Yu 等[10]通過(guò)改進(jìn)SHPB 裝置，將入射波、反射波、透射波相結(jié)合來(lái)計(jì)算試件兩端的峰值應(yīng)力，提出了一種定量計(jì)算珊瑚砂試件中應(yīng)力波衰減規(guī)律的新方法，能更準(zhǔn)確地得到試件兩端面的應(yīng)力峰值，由于該數(shù)據(jù)分析方法是基于一維單向應(yīng)力波傳播理論，而應(yīng)力波在散體顆粒中傳播時(shí)可能會(huì)發(fā)生透射和反射，將涉及更復(fù)雜的多向波系，因此該方法存在一定誤差。

目前，應(yīng)力波在散體顆粒中傳播規(guī)律的實(shí)驗(yàn)研究尚不成熟，而數(shù)值模擬可以避免實(shí)驗(yàn)存在的一些技術(shù)難題，定性或半定量地分析散體顆粒中波的傳播規(guī)律。祁原等[11]利用離散元軟件PFC2D分析了可破碎顆粒在循環(huán)載荷下的耗能特性，并探究了顆粒破碎與系統(tǒng)能量耗散率的關(guān)系。鄭文[12]、黃俊宇[13]通過(guò)PFC3D建立散體顆粒模型，研究了石英砂顆粒在動(dòng)載荷下的力學(xué)響應(yīng)。迄今為止，數(shù)值模擬研究更多關(guān)注散體顆粒本構(gòu)模型的構(gòu)建和動(dòng)態(tài)力學(xué)性能，散體顆粒中應(yīng)力波的傳播規(guī)律尚缺乏系統(tǒng)研究。

本研究基于離散元顆粒流軟件PFC3D建立典型的石英砂顆粒模型，在保證模型顆粒與實(shí)際顆粒等粒徑的前提下，通過(guò)模型的等比例縮放，模擬側(cè)限條件下石英砂的動(dòng)態(tài)壓縮實(shí)驗(yàn)，并與實(shí)驗(yàn)側(cè)限壓縮本構(gòu)[14-16]進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證本模型參數(shù)的合理性，在此基礎(chǔ)上研究沖擊載荷下應(yīng)力波在散體顆粒中的傳播規(guī)律和影響因素。

1 離散元模型

PFC3D模型是由若干基礎(chǔ)顆粒（剛性顆粒）通過(guò)一定的黏結(jié)鍵組成的，通過(guò)定義基礎(chǔ)顆粒間的微觀參數(shù)來(lái)建立與模擬材料具有相同宏觀力學(xué)性能的離散元模型。由于離散元模型中的微觀參數(shù)難以通過(guò)實(shí)驗(yàn)手段直接獲得，且尚無(wú)有效的理論將其與實(shí)際材料的宏觀力學(xué)特性進(jìn)行關(guān)聯(lián)，因此目前均通過(guò)數(shù)值模擬校準(zhǔn)的方法建立二者之間的聯(lián)系[17]。對(duì)于散體顆粒，土力學(xué)中常采用側(cè)限壓縮本構(gòu)模型[18-20]來(lái)表示其本構(gòu)關(guān)系，即通過(guò)孔隙比-軸向應(yīng)力曲線來(lái)描述顆粒材料的壓縮、變形及破碎過(guò)程[21]。

建立如圖1 所示的簇顆粒模型來(lái)表述單個(gè)脆性顆粒，每個(gè)簇由60～70 個(gè)基礎(chǔ)顆粒組成，由于實(shí)際砂顆粒內(nèi)部存在缺陷和孔隙，刪除10%～20%的基礎(chǔ)顆粒來(lái)模擬實(shí)際顆粒的不規(guī)則外形和風(fēng)化腐蝕等對(duì)砂礫造成的損傷，通過(guò)調(diào)整簇中基礎(chǔ)顆粒的大小和顆粒間的孔隙以滿足實(shí)際顆粒尺寸，并保證簇的密度同實(shí)際砂粒密度一致。選取石英砂為典型的砂礫代表，其密度為2 636 kg/m3。通過(guò)Flat-Joint 黏結(jié)模型將松散的基礎(chǔ)顆粒用黏結(jié)鍵黏結(jié)，當(dāng)基礎(chǔ)顆粒間的法向接觸力或切向接觸力超過(guò)其臨界值時(shí)，黏結(jié)鍵將發(fā)生破壞失效。表1 為石英砂采用Flat-Joint 黏結(jié)模型時(shí)所對(duì)應(yīng)的微觀參數(shù)，其中Emod為接觸模量，F(xiàn)j-Kn為法向剛度，F(xiàn)j-Ks為切向剛度，F(xiàn)j-Coh為切向黏結(jié)強(qiáng)度，F(xiàn)j-Ten為法向黏結(jié)強(qiáng)度，Damp為阻尼系數(shù)。

圖 1 簇顆粒的生成過(guò)程Fig. 1 Generation process of cluster particle

表 1 Flat-Joint 模型微觀參數(shù)Table 1 Micro-parameters of the Flat-Joint model

單個(gè)石英砂顆粒的粒徑分布控制在150～250 μm之間，以42% 的自然堆積孔隙率生成散體顆粒，石英砂顆粒內(nèi)部采用Flat-Joint 黏結(jié)鍵黏結(jié)，顆粒之間為線性接觸。在保證粒徑大小同實(shí)際一致的情況下對(duì)模型進(jìn)行等比例縮放，生成直徑為2.2 mm、高為0.6 mm 的圓柱體試樣，如圖2 所示。圓柱體試樣的上、下壓板層設(shè)置為剛性墻體，徑向?yàn)閯傂约s束，保持下底板不動(dòng)，對(duì)上壓板向下持續(xù)施加10 m/s 的加載速度，得到圖2 中的歸一化孔隙比-軸向應(yīng)力曲線，模擬結(jié)果與文獻(xiàn)[13]中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果整體吻合較好，屈服應(yīng)力均為10 MPa 左右。

圖 2 石英砂壓縮曲線Fig. 2 Compression curve of quartz sand

2 散體顆粒中應(yīng)力波的傳播規(guī)律

如圖3 所示，建立直徑為1 mm、高為3.6 mm的圓柱試件，徑向?yàn)閯傂约s束，下端面為自由面，上端面向下施加一個(gè)速度為50 m/s 的沖擊加載，由于顆粒間應(yīng)力分布的離散性較大，在試件內(nèi)部引入測(cè)量球，通過(guò)測(cè)量球所在空間位置全部粒子的應(yīng)力平均值來(lái)描述應(yīng)力波幅值，測(cè)量球球心所在位置為應(yīng)力波傳播的距離，通過(guò)不同位置測(cè)量球測(cè)得的應(yīng)力幅值來(lái)表征應(yīng)力波在散體顆粒中的傳播規(guī)律。圖4 給出了試件不同位置的應(yīng)力波波形。整體而言，隨著傳播距離的增大，應(yīng)力波峰值逐漸減小，應(yīng)力波脈寬逐漸發(fā)散。

圖 3 散體顆粒模型及測(cè)量球位置Fig. 3 Particle model and positions of the measurement balls

采用觀察區(qū)域內(nèi)的應(yīng)力平均值來(lái)表征應(yīng)力波的傳播規(guī)律，測(cè)量球?qū)?yīng)力波傳播可能存在一定影響。由于研究?jī)?nèi)容為軸向的應(yīng)力波在散體顆粒中的傳播規(guī)律，因此將測(cè)量球的球心固定在圓柱試件的中心軸上，通過(guò)改變測(cè)量球的直徑大小d 來(lái)研究測(cè)量球?qū)?yīng)力波傳播規(guī)律的影響。圖5給出了通過(guò)不同直徑大小的測(cè)量球獲得的應(yīng)力波衰減規(guī)律。整體來(lái)看，所有衰減規(guī)律的變化趨勢(shì)是一致的，但測(cè)量球直徑越大，應(yīng)力波衰減越嚴(yán)重。測(cè)量球獲得的平均應(yīng)力并非一維應(yīng)力波，同時(shí)涉及了圓柱徑向的應(yīng)力波衰減，故測(cè)量球直徑越大，橫向衰減考慮的也越多。歸一化峰值應(yīng)力，無(wú)量綱化應(yīng)力波傳播距離， 其中， σs為 當(dāng)前峰值應(yīng)力， σ0為初始峰值應(yīng)力，Ls為應(yīng)力波傳播的距離，D 為圓柱試件的直徑。

圖 4 試件不同位置的應(yīng)力波波形Fig. 4 Stress wave forms at different positions of the test piece

圖 5 不同直徑的測(cè)量球?qū)?yīng)力波衰減的影響Fig. 5 Effect of measuring ball diameter on the attenuationof stress waves

如果測(cè)量球直徑過(guò)小，由于散體顆粒較大的分散性導(dǎo)致測(cè)量區(qū)域的應(yīng)力波動(dòng)較大；而當(dāng)選取的測(cè)量球直徑過(guò)大，特別是接近試件直徑時(shí)，將導(dǎo)致測(cè)量的區(qū)域靠近側(cè)面固壁端的應(yīng)力加倍。本研究選取測(cè)量球直徑為試件直徑的0.6 倍，此時(shí)應(yīng)力波衰減趨于穩(wěn)定。從圖5 中可以看到，峰值應(yīng)力隨傳播距離呈指數(shù)型衰減，具體可表示為

式中：A = 0.20，B = 0.76，β = 2.82。β 作為衰減因子，可以定量地描述應(yīng)力波在散體顆粒中的衰減程度，β 越大，說(shuō)明應(yīng)力波衰減程度越大。

為更精確地研究應(yīng)力波的衰減規(guī)律，在散體顆粒圓柱中引入更多測(cè)量球來(lái)觀測(cè)試件不同位置的應(yīng)力波形，取各處應(yīng)力波峰值，歸一化后繪于圖6(a)。整體而言，歸一化峰值應(yīng)力仍然呈現(xiàn)近似指數(shù)型衰減規(guī)律，通過(guò)對(duì)局部數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合可以得出，在傳播前期應(yīng)力波衰減明顯，對(duì)應(yīng)的衰減因子β = 5.40；而在傳播的中后期，應(yīng)力波衰減程度趨緩，對(duì)應(yīng)的衰減因子β = 1.16，遠(yuǎn)小于前期的衰減因子。對(duì)照應(yīng)力波傳播過(guò)后的顆粒細(xì)觀結(jié)構(gòu)，如圖6(b)所示，其中紅色區(qū)域代表顆粒間黏結(jié)鍵的斷裂。前期應(yīng)力波衰減顯著的區(qū)域正好對(duì)應(yīng)于顆粒大量破碎的區(qū)域，將其定義為破碎區(qū)，中后期衰減因子較小的區(qū)域正好對(duì)應(yīng)于顆粒較少甚至沒(méi)有發(fā)生破碎的區(qū)域，將其定義為微/未破碎區(qū)。由圖6 可知，顆粒的破碎區(qū)主要集中在試件的加載端，而恰好加載端附近區(qū)域的峰值應(yīng)力衰減最為嚴(yán)重，遠(yuǎn)離加載端的微/未破碎區(qū)的顆粒破碎程度顯著低于破碎區(qū)，對(duì)應(yīng)的應(yīng)力波峰值應(yīng)力衰減不明顯，趨于穩(wěn)定，說(shuō)明顆粒的破碎和應(yīng)力波衰減具有直接關(guān)系。

圖 6 應(yīng)力波衰減規(guī)律及顆粒破碎Fig. 6 Attenuation law of the stress wave and the image of particle fragmentation

3 散體顆粒中應(yīng)力波衰減的影響因素

3.1 顆粒破碎對(duì)應(yīng)力波衰減的影響

將圖3 離散元模型中顆粒內(nèi)部的黏結(jié)鍵強(qiáng)度設(shè)置為1 000 MPa（正常情況為50 MPa），在數(shù)值模擬過(guò)程中黏結(jié)鍵將不發(fā)生斷裂，即顆粒不破碎，保持其他微觀參數(shù)不變，在50 m/s 的加載速度下進(jìn)行數(shù)值模擬對(duì)比。將應(yīng)力波在不同位置的峰值應(yīng)力繪于圖7，并用式（1）進(jìn)行擬合，可得不破碎顆粒中的應(yīng)力波衰減因子β = 1.20，而正常黏結(jié)強(qiáng)度下的可破碎顆粒在微/未破碎區(qū)中應(yīng)力波衰減因子β = 1.16，兩者相差無(wú)幾。

將正常黏結(jié)強(qiáng)度下的可破碎顆粒在破碎區(qū)中的應(yīng)力波峰值應(yīng)力進(jìn)行擬合，得到應(yīng)力波衰減因子β = 5.40，顯著大于不可破碎顆粒的應(yīng)力波衰減因子（β = 2.92），如圖8 所示。顆粒破碎過(guò)程中，基礎(chǔ)顆粒間的黏結(jié)鍵斷裂需要消耗能量，并且顆粒破碎使整個(gè)散體顆粒系統(tǒng)中的力鏈更加復(fù)雜，由于應(yīng)力波是單向傳播，且顆粒間具有復(fù)雜的應(yīng)力波透反射現(xiàn)象，因此宏觀上表現(xiàn)為應(yīng)力波峰值應(yīng)力大幅衰減，卸載波形嚴(yán)重彌散。

圖 7 不同區(qū)域擬合曲線無(wú)量綱傳播距離Fig. 7 Dimensionless propagation distance of fitted curves in different regions

為深入研究應(yīng)力波衰減過(guò)程中局部衰減因子β 與顆粒局部破碎程度的關(guān)系，設(shè)定基礎(chǔ)顆粒間的黏結(jié)鍵強(qiáng)度范圍為20～100 MPa，數(shù)值模擬得到顆粒在破碎區(qū)的局部破碎程度為8%～60%，對(duì)應(yīng)破碎區(qū)局部的應(yīng)力波衰減曲線指數(shù)擬合得到β 為3.50～6.10。如圖9 所示，β 和顆粒的破碎程度具有顯著的正相關(guān)性，即β 隨顆粒破碎程度的增加而增大，近似呈指數(shù)關(guān)系，說(shuō)明顆粒破碎是影響散體顆粒中應(yīng)力波衰減的一個(gè)重要因素。

圖 8 應(yīng)力波在顆粒破碎/不破碎時(shí)的衰減規(guī)律Fig. 8 Attenuation laws of stress wave when particles are broken/unbroken

圖 9 顆粒破碎程度隨衰減因子β 的變化曲線Fig. 9 Degree of particle fragmentation with respect to the attenuation factor β

3.2 加載脈寬對(duì)應(yīng)力波衰減的影響

應(yīng)力波在散體顆粒間傳播時(shí)會(huì)發(fā)生透射和反射，涉及復(fù)雜的多向波系，在彈性散體顆粒中會(huì)發(fā)生散射現(xiàn)象，即隨著傳播距離的增大，應(yīng)力波脈寬會(huì)彌散，如圖4 所示。應(yīng)力波的衰減程度隨著傳播距離的增大而逐漸趨緩，除了受到顆粒破碎程度的影響之外，應(yīng)力波的彌散也會(huì)對(duì)其產(chǎn)生一定的影響。為避免顆粒破碎帶來(lái)的干擾，對(duì)不可破碎散體顆粒模型（黏結(jié)鍵強(qiáng)度為1 000 MPa）進(jìn)行不同脈寬的沖擊加載。圖10 給出了相同峰值應(yīng)力、不同脈寬的應(yīng)力波隨傳播距離的衰減規(guī)律。由圖10 可知，加載波形脈寬越大，應(yīng)力波隨傳播距離增大所產(chǎn)生的峰值應(yīng)力衰減越少，彌散也越小，加載初始，應(yīng)力波具有相近峰值應(yīng)力而脈寬不同，當(dāng)傳播一定距離之后，應(yīng)力波具有相近脈寬而峰值應(yīng)力不同。對(duì)不同脈寬的應(yīng)力波傳播過(guò)程中的峰值應(yīng)力利用式（1）進(jìn)行擬合，得到如圖11 所示的擬合曲線和對(duì)應(yīng)的衰減因子β。由圖11 可知，隨著應(yīng)力波脈寬的增大，β 從1.46 減小到0.61，應(yīng)力波脈寬亦能對(duì)應(yīng)力波在散體顆粒中的傳播產(chǎn)生較大影響。造成該現(xiàn)象的主要原因是：散體顆粒對(duì)高頻波具有顯著的彌散作用，會(huì)大幅削弱短脈寬的高頻波峰值應(yīng)力，而對(duì)于長(zhǎng)脈寬的低頻波影響相對(duì)較小。

圖 10 不同脈寬的應(yīng)力波傳播規(guī)律Fig. 10 Propagation of stress waves with different pulse widths

圖 11 不同脈寬的應(yīng)力波峰值擬合曲線Fig. 11 Curves of stress wave peaks with different pulse widths

3.3 加載速度對(duì)應(yīng)力波衰減的影響

圖12 給出了散體顆粒在不同加載速度（30～110 m/s）下，應(yīng)力波峰值隨傳播距離的衰減規(guī)律。從圖12 中可以看出，加載速度越大，β 值越大，即應(yīng)力波的衰減程度隨著加載速度的增大而增大，在靠近加載端尤為明顯?？紤]到顆粒破碎是應(yīng)力波衰減的重要影響因素，將顆粒內(nèi)部的黏結(jié)鍵強(qiáng)度設(shè)置為1 000 MPa，此時(shí)，顆粒不發(fā)生破碎，擬合曲線如圖13 所示。圖13 結(jié)果表明，在顆粒不發(fā)生破碎的前提下，在一個(gè)較寬泛的加載速度（1～100 m/s）范圍內(nèi)，應(yīng)力波在散體顆粒中的衰減規(guī)律基本不變。

圖 12 不同加載速度下可破碎顆粒的峰值應(yīng)力擬合曲線Fig. 12 Peak stress fitting curves of the crushable particles at different loading velocities

圖 13 不同加載速度下不可破碎顆粒的峰值應(yīng)力擬合曲線Fig. 13 Peak stress fitting curves of the uncrushable particles at different loading velocities

將加載速度、衰減因子β、顆粒黏結(jié)鍵的破碎比建立聯(lián)系，如圖14 所示。由圖14 可知，隨著加載速度的增大，β 呈上升趨勢(shì)，應(yīng)力波的衰減程度變大，觀察黏結(jié)鍵的破碎比發(fā)現(xiàn)，隨著加載速度的增大，其破碎比也呈增大趨勢(shì)，且β 與黏結(jié)鍵的破碎比有相似的變化趨勢(shì)。觀察圖14 中不破碎顆粒的衰減因子，可以看到不同加載速度對(duì)不破碎顆粒的應(yīng)力波衰減影響較小。由此可知，應(yīng)力波衰減的速度相關(guān)性本質(zhì)上是由散體顆粒的沖擊破碎引起的，加載速度越大，顆粒破壞程度越大，進(jìn)而應(yīng)力波的衰減程度越大；而在顆粒不破碎的情況下，加載速度增大時(shí)，衰減程度變化不明顯。

圖 14 衰減因子、黏結(jié)鍵破碎比與加載速度的關(guān)系Fig. 14 Relationship between attenuation factor, bond breaking ratio and loading velocity

4 結(jié) 論

利用離散元顆粒流軟件PFC3D建立了散體顆粒模型，通過(guò)側(cè)限壓縮實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性?；谠撾x散元模型，研究了散體顆粒在沖擊載荷下應(yīng)力波的傳播規(guī)律和主要影響因素。主要結(jié)論如下。

（1）應(yīng)力波在散體顆粒中傳播時(shí)，其峰值應(yīng)力呈指數(shù)型衰減，且脈寬逐漸彌散。衰減因子β 可定量描述應(yīng)力波的衰減程度，β 值越大，應(yīng)力波的衰減越顯著。

（2）散體顆粒在沖擊加載后，根據(jù)顆粒的微觀破壞形貌，可分為破碎區(qū)和微/未破碎區(qū)，兩者的峰值應(yīng)力也均呈指數(shù)衰減。破碎區(qū)的衰減程度遠(yuǎn)大于微/未破碎區(qū)，顆粒的破碎是影響散體顆粒中應(yīng)力波衰減的一個(gè)重要因素。

（3）加載脈寬是影響應(yīng)力波在散體顆粒中衰減的另一個(gè)主要因素，加載脈寬越小，應(yīng)力波峰值衰減越大。應(yīng)力波在散體顆粒中的傳播初期，應(yīng)力峰值顯著衰減，是顆粒破碎和短脈寬高頻波的共同作用。

（4）應(yīng)力波衰減與加載速度顯著相關(guān)，應(yīng)力波峰值應(yīng)力衰減隨加載速度的增大而增大。但實(shí)際上卻是顆粒破碎在宏觀上的表象，加載速度越大，顆粒破壞程度越大，進(jìn)而應(yīng)力波的衰減程度越大。如果顆粒不發(fā)生破碎，加載速度增大時(shí)，應(yīng)力波在散體顆粒中的衰減變化不明顯。