江蘇省蘇州市相城區(qū)東橋中學(xué) 凌 健

有一年初三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期中試卷第28題的第（3）小題，筆者任教的兩個班得分率特別低，得滿分的寥寥無幾。為此筆者對這個題目進(jìn)行了深入的研究，試圖找出癥結(jié)所在，通過思考問題的本質(zhì)，找到了其中的共性和特性。本文給出對該題的一題多解，解后反思及教學(xué)反思，期待與同行交流。

一、試題呈現(xiàn)

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)是（8，0），點的坐標(biāo)是（0，6），點P從點O開始沿軸向點以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿y軸向點以相同的速度移動，若P、Q同時出發(fā)，移動時間為t（s）（0＜t＜6）。

圖1

（1）當(dāng)PQ//AB時，求t的值；

（2）是否存在這樣t的值，使得線段PQ將△AOB的面積分成1:5的兩部分。若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；

（3）當(dāng)t=2時，試判斷此時△POQ的外接圓與直線AB的位置關(guān)系，并說明理由。

二、解法展示

問題（3）要判斷當(dāng)t=2時△POQ的外接圓與直線AB的位置關(guān)系，先要計算出d和r，再通過d和r比較大小進(jìn)行判斷。由題意可知0P=2，OQ=4，△POQ是直角三角形，所以外接圓圓心在PQ中點M（1，2）處以只要求出MH（如圖2）的長度即可。

圖2

解法1：利用等積法求線段MH的長度。

如圖 3，連接 MB、MA、MO。

因為 S△AOB=S△ABM+S△AOM+S△BOM，

S△AOB=24，S△BOM=3，S△AOM=8，所以 S△ABM=13.

圖3

解法2：構(gòu)造相似模型求線段MH的長度

如圖4，過點M作ME⊥x軸于E，交AB于點C；過點M作MF⊥y軸于F，交AB于點D。

圖4

解法3：通過增量巧設(shè)簡化相似計算過程

如圖5，過點M作MD//x軸，交AB于點D；過點H作HK⊥DM于K。由題意可知，△MHK∽△BAO，可得MK：HK：MH=3:4:5，設(shè) MK=3a，HK=4a，由 M（1，2）可得 H（1+3a，2+4a）由直線 AB

圖5

解法4：將MH轉(zhuǎn)化為特殊位置的垂線段NG

如圖6，過點 M作MN//AB，交x軸于點N；過點N作NG⊥AB于點G由直線AB解析式為AB，可將直線MN的解析式設(shè)為

圖6

解法5：通過“折直垂”巧妙轉(zhuǎn)化為最值問題

如圖7，過點M作MH⊥AB于點H，連接OH；過點O作OK⊥AB于點K，若以PQ為直徑的圓M與AB相切，則OM=MH=2，由于OM+MH≥OH≥OK，而OK=4.8＞OM+MH=2矛盾，所以d＞r，直線AB與圓相離。

圖7

當(dāng)然，本題也可以用垂直的兩條直線斜率互為負(fù)倒數(shù)來解決，但由于超出了初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，這里就不予討論了。

三、命題思考

1.經(jīng)典問題，推陳出新，有的放矢，考查素養(yǎng)。

這道期中壓軸題以一次函數(shù)為背景，推陳出新，圖形簡潔，題干簡約易懂。第3小題集中考查了判斷直線與圓的位置關(guān)系，直角三角形外接圓的圓心確定方法，點到直線距離的精準(zhǔn)作圖能力，垂直條件的轉(zhuǎn)化方法，運用基本思想和方法構(gòu)造基本圖形計算垂線段長度等數(shù)學(xué)的核心概念和內(nèi)容。在解題的過程中對學(xué)生的解題能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)都提出了很高的要求。

2.一題多解，發(fā)散思維，殊途同歸，考查能力。

本考題第3小題的設(shè)問簡潔，言簡意賅，學(xué)生思路清晰，解法自然生成。判斷直線與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵要找到圓的半徑r和圓心到直線的距離d。由于圖中沒有d，故第一步就是作d。接著要轉(zhuǎn)化垂直這個條件，方法很多，起到鍛煉學(xué)生思維的作用。比較常用的有等積轉(zhuǎn)化，構(gòu)造K型相似等等，針對本題定三角形定直線也可以找到最值等特殊的解法。解法的起點很低，但解題過程中卻困難重重，每一種方法都對解題的抽象思維和邏輯推理要求很高，試題的區(qū)分度明顯。

鬼斧神工的解法，無不以學(xué)生分析問題，解決問題的能力為基礎(chǔ)，對學(xué)生能力的要求尤為突出。這些都給教師平時的教學(xué)提出了要求，指明了方向。

四、教學(xué)思考

1.要重視對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

王尚志教授指出，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包含數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六個方面。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就是從已知條件出發(fā)，對問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，通過邏輯推理，數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)運算等等解決問題。在日常的教學(xué)過程中，要重視對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展，一切以學(xué)生的發(fā)展為中心，以生為本，培養(yǎng)能力。在學(xué)習(xí)的過程中，要幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。對于數(shù)學(xué)問題，要幫助學(xué)生建立一套研究問題的方法，創(chuàng)造足夠的時間和空間，讓學(xué)生自主探究和創(chuàng)造。

2.要重視對學(xué)生“四基”“四能”的培養(yǎng)。

教師在教學(xué)的過程中要高度重視基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法和基本活動經(jīng)驗等內(nèi)容。在學(xué)習(xí)的過程中深化對基礎(chǔ)知識的理解并逐步遷移，讓學(xué)生經(jīng)歷知識產(chǎn)生、發(fā)展的全過程，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，分析問題和解決問題的能力。試卷中的試題，其本質(zhì)考查的是學(xué)生對書本上的基本概念和基礎(chǔ)知識的掌握程度和靈活應(yīng)用能力，因此不管題目的形式如何改變，但萬變不離其宗。要引導(dǎo)學(xué)生注意基礎(chǔ)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系和對一些問題通性通法的熟練掌握，重視基本技能和數(shù)學(xué)思維方法的應(yīng)用。本題我任教的兩個班級得分很低充分暴露出學(xué)生基礎(chǔ)不扎實和分析問題、解決問題能力不足的短板。

3.要重視對經(jīng)典問題的回顧和反思。

這道試題給了我們很多的教學(xué)啟示，比如，要重視對經(jīng)典問題的回顧和反思。平時?？嫉囊恍﹩栴}，要讓學(xué)生自己歸納總結(jié)。類似的問題，要讓學(xué)生總結(jié)題目的條件會有哪幾種形式，題目的問題有哪些常見的提問角度，解答的方法具體有哪些，最優(yōu)化的解答如何選擇等等。培養(yǎng)學(xué)生自己悟數(shù)學(xué)，將知識點連成線，線再連成片織成一張網(wǎng)，在不斷的回顧和反思的過程中提升能力，發(fā)展素養(yǎng)。

4.要重視基本圖形的研究。

所謂基本圖形就是將在“圖形與幾何”領(lǐng)域的學(xué)習(xí)過程中具有一定典型性的概念、公式、定理、例題、習(xí)題中反復(fù)出現(xiàn)、經(jīng)常用到的對應(yīng)圖形，是結(jié)論化的圖形，是圖形化的公式。借助基本圖形，可以使得復(fù)雜問題簡單化，有利于提高學(xué)生的幾何直觀能力。

例如，對于垂直條件的轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為K型相似是一種方法。研究的過程，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從圖形本身開始研究，慢慢進(jìn)行變式和變形，最后實現(xiàn)升華，讓學(xué)生根據(jù)圖形特征創(chuàng)造性的自主建構(gòu)基本圖形，最后通過總結(jié)條件和構(gòu)圖步驟等將知識點內(nèi)化，積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗。在遇到例如圖8的垂直問題時，學(xué)生就會創(chuàng)造性的建立圖9或圖10，利用相似轉(zhuǎn)化垂直條件了。

圖8

圖9

圖10

在平時的教學(xué)中要重視引導(dǎo)學(xué)生分析條件，聯(lián)想基本圖形。有了基本圖形的積累，學(xué)生能夠在它們的指引下主動探索，創(chuàng)造性的添加輔助線，發(fā)現(xiàn)解題思路，并解決問題。對基本圖形的研究，不僅僅是為發(fā)現(xiàn)了多少新的規(guī)律和結(jié)論，更為重要的是掌握圖形研究的步驟、方式方法和途徑，以及通過研究圖形不斷的提高圖形研究意識、形成圖形研究能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。